Номер 122, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

122.1) $\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = \sqrt{4x-7}$;

2) $\sqrt{x+\sqrt{x-3}} = \sqrt{3(x-1)}$,

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1}$;

4) $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2}$.

1) $\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = \sqrt{4x-7}$

Дано:

Иррациональное уравнение $\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = \sqrt{4x-7}$.

Найти:

Корни данного уравнения.

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$

$2x-3 \ge 0 \implies x \ge \frac{3}{2} \implies x \ge 1.5$

$4x-7 \ge 0 \implies x \ge \frac{7}{4} \implies x \ge 1.75$

Объединяя эти условия, получаем $x \ge 1.75$.

Кроме того, поскольку правая часть уравнения ($\sqrt{4x-7}$) является неотрицательной, левая часть также должна быть неотрицательной:

$\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} \ge 0$

$\sqrt{x+2} \ge \sqrt{2x-3}$

$x+2 \ge 2x-3$

$5 \ge x$

Таким образом, окончательная ОДЗ: $1.75 \le x \le 5$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3})^2 = (\sqrt{4x-7})^2$

$(x+2) - 2\sqrt{(x+2)(2x-3)} + (2x-3) = 4x-7$

$3x-1 - 2\sqrt{2x^2+x-6} = 4x-7$

3. Уединим радикал:

$-2\sqrt{2x^2+x-6} = 4x-7 - (3x-1)$

$-2\sqrt{2x^2+x-6} = x-6$

$2\sqrt{2x^2+x-6} = 6-x$

4. Снова возведем в квадрат. Для этого правая часть $6-x$ должна быть неотрицательной, то есть $6-x \ge 0 \implies x \le 6$. Это условие выполняется для нашей ОДЗ.

$(2\sqrt{2x^2+x-6})^2 = (6-x)^2$

$4(2x^2+x-6) = 36 - 12x + x^2$

$8x^2+4x-24 = 36 - 12x + x^2$

$7x^2+16x-60 = 0$

5. Решим полученное квадратное уравнение:

$D = 16^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-60) = 256 + 1680 = 1936 = 44^2$

$x_1 = \frac{-16+44}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$

$x_2 = \frac{-16-44}{2 \cdot 7} = \frac{-60}{14} = -\frac{30}{7}$

6. Проверим корни по ОДЗ ($1.75 \le x \le 5$):

$x_1=2$ удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = -30/7 \approx -4.28$ не удовлетворяет ОДЗ.

Выполним проверку для $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2+2} - \sqrt{2(2)-3} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2-1 = 1$

$\sqrt{4(2)-7} = \sqrt{8-7} = \sqrt{1} = 1$

$1=1$. Корень верный.

Ответ: $2$

2) $\sqrt{x} + \sqrt{x-3} = \sqrt{3(x-1)}$

Дано:

Иррациональное уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{x-3} = \sqrt{3(x-1)}$.

Найти:

Корни данного уравнения.

Решение:

1. Найдем ОДЗ:

$x \ge 0$

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

$3(x-1) \ge 0 \implies x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x} + \sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{3x-3})^2$

$x + 2\sqrt{x(x-3)} + x-3 = 3x-3$

$2x-3 + 2\sqrt{x^2-3x} = 3x-3$

3. Уединим радикал:

$2\sqrt{x^2-3x} = 3x-3 - (2x-3)$

$2\sqrt{x^2-3x} = x$

4. Снова возведем в квадрат. Так как по ОДЗ $x \ge 3$, то правая часть $x$ неотрицательна.

$(2\sqrt{x^2-3x})^2 = x^2$

$4(x^2-3x) = x^2$

$4x^2-12x = x^2$

$3x^2-12x = 0$

$3x(x-4) = 0$

5. Находим корни:

$x_1 = 0$

$x_2 = 4$

6. Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 3$):

$x_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2=4$ удовлетворяет ОДЗ.

Проверка для $x=4$:

$\sqrt{4} + \sqrt{4-3} = 2 + \sqrt{1} = 3$

$\sqrt{3(4-1)} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$

$3=3$. Корень верный.

Ответ: $4$

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1}$

Дано:

Иррациональное уравнение $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1}$.

Найти:

Корни данного уравнения.

Решение:

1. Найдем ОДЗ:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

$3x-1 \ge 0 \implies x \ge 1/3$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{3x-1})^2$

$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x-1) = 3x-1$

$2x + 2\sqrt{x^2-1} = 3x-1$

3. Уединим радикал:

$2\sqrt{x^2-1} = 3x-1 - 2x$

$2\sqrt{x^2-1} = x-1$

4. Снова возведем в квадрат. Правая часть $x-1$ должна быть неотрицательной: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Это условие совпадает с нашей ОДЗ.

$(2\sqrt{x^2-1})^2 = (x-1)^2$

$4(x^2-1) = x^2-2x+1$

$4x^2-4 = x^2-2x+1$

$3x^2+2x-5 = 0$

5. Решим квадратное уравнение:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

$x_1 = \frac{-2+8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-2-8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

6. Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 1$):

$x_1=1$ удовлетворяет ОДЗ.

$x_2=-5/3$ не удовлетворяет ОДЗ.

Проверка для $x=1$:

$\sqrt{1+1} + \sqrt{1-1} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$

$\sqrt{3(1)-1} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Корень верный.

Ответ: $1$

4) $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2}$

Дано:

Иррациональное уравнение $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2}$.

Найти:

Корни данного уравнения.

Решение:

1. Найдем ОДЗ:

$4x+8 \ge 0 \implies x \ge -2$

$3x-2 \ge 0 \implies x \ge 2/3$

$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2/3$.

2. Упростим уравнение, вынеся общий множитель из-под первого корня:

$\sqrt{4(x+2)} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2}$

$2\sqrt{x+2} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2}$

3. Перенесем слагаемые с $\sqrt{x+2}$ в одну сторону:

$2\sqrt{x+2} - \sqrt{x+2} = \sqrt{3x-2}$

$\sqrt{x+2} = \sqrt{3x-2}$

4. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{3x-2})^2$

$x+2 = 3x-2$

$4 = 2x$

$x=2$

5. Проверяем корень по ОДЗ ($x \ge 2/3$):

$x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Проверка для $x=2$:

$\sqrt{4(2)+8} - \sqrt{3(2)-2} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4-2=2$

$\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$

$2=2$. Корень верный.

Ответ: $2$