Номер 123, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

123.1) $\sqrt{3-x} + \frac{6}{\sqrt{3-x}} = 5;$

2) $x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 9} = 3;$

3) $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x+3}} = 2;$

4) $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3.$

1)

Дано:

$\sqrt{3-x} + \frac{6}{\sqrt{3-x}} = 5$

Найти:

$x$

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть строго положительным, так как корень находится в знаменателе дроби.

$3-x > 0 \implies x < 3$

Для решения введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{3-x}$. Исходя из определения арифметического квадратного корня и ОДЗ, $t > 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t + \frac{6}{t} = 5$

Умножим обе части уравнения на $t$, так как $t \neq 0$:

$t^2 + 6 = 5t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

$t_1 = 2$, $t_2 = 3$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$, поэтому оба являются действительными решениями для $t$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$:

Случай 1: $t = 2$

$\sqrt{3-x} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3-x = 4$

$x_1 = 3 - 4 = -1$

Случай 2: $t = 3$

$\sqrt{3-x} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3-x = 9$

$x_2 = 3 - 9 = -6$

Оба найденных значения $x_1 = -1$ и $x_2 = -6$ удовлетворяют ОДЗ ($x < 3$).

Ответ: $-6; -1$.

2)

Дано:

$x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 9} = 3$

Найти:

$x$

Решение:

Определим ОДЗ. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x^2 - x + 9 \ge 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35$.

Поскольку $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен, парабола $y = x^2 - x + 9$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $x^2 - x + 9 > 0$ для любых $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - x + 9}$. По определению корня, $t \ge 0$.

Из замены следует, что $t^2 = x^2 - x + 9$, откуда можно выразить $x^2 - x = t^2 - 9$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(t^2 - 9) + t = 3$

Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + t - 12 = 0$

Решим его по теореме Виета: сумма корней равна -1, произведение равно -12. Корни:

$t_1 = 3$, $t_2 = -4$

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -4$ является посторонним. Оставляем только $t_1 = 3$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - x + 9} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - x + 9 = 9$

$x^2 - x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-1) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$

Оба корня являются действительными числами и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0; 1$.

3)

Дано:

$\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2$

Найти:

$x$

Решение:

Определим ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$2-x \ge 0 \implies x \le 2$

Знаменатель дроби $\sqrt{2-x}+3$ всегда положителен, так как $\sqrt{2-x} \ge 0$, и значит $\sqrt{2-x}+3 \ge 3$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{2-x}$. Условие для $t$: $t \ge 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t + \frac{4}{t+3} = 2$

Умножим обе части уравнения на $(t+3)$, так как это выражение не равно нулю:

$t(t+3) + 4 = 2(t+3)$

$t^2 + 3t + 4 = 2t + 6$

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, произведение равно -2. Корни:

$t_1 = 1$, $t_2 = -2$

Согласно условию $t \ge 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним. Используем только $t = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{2-x} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$2-x = 1$

$x = 1$

Проверим корень по ОДЗ: $1 \le 2$. Корень подходит.

Ответ: $1$.

4)

Дано:

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3$

Найти:

$x$

Решение:

Определим ОДЗ. Подрадикальные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю ($x \neq 0$, $x \neq -1$).

$\frac{x}{x+1} \ge 0$ и $\frac{x+1}{x} \ge 0$

Оба эти условия выполняются одновременно, когда $x$ и $x+1$ имеют одинаковые знаки. Это возможно в двух случаях:

1. $x > 0$ и $x+1 > 0 \implies x > 0$

2. $x < 0$ и $x+1 < 0 \implies x < -1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$. В области допустимых значений $\frac{x}{x+1} > 0$, поэтому $t > 0$.

Заметим, что второе подкоренное выражение является обратным к первому: $\frac{x+1}{x} = \frac{1}{\frac{x}{x+1}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{t}$.

Подставим замену в уравнение:

$t + 2 \cdot \frac{1}{t} = 3$

Умножим обе части на $t$ (так как $t > 0$):

$t^2 + 2 = 3t$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, произведение равно 2. Корни:

$t_1 = 1$, $t_2 = 2$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

Случай 1: $t = 1$

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 1 \implies \frac{x}{x+1} = 1$

$x = 1 \cdot (x+1) \implies x = x+1 \implies 0 = 1$. Это неверное равенство, следовательно, решений в этом случае нет.

Случай 2: $t = 2$

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 2 \implies \frac{x}{x+1} = 4$

$x = 4(x+1)$

$x = 4x + 4$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

Проверим найденный корень по ОДЗ. $x = -\frac{4}{3} \approx -1.33$. Это значение принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.