Номер 128, страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

128.1) $f(x) = x^{\pi};$

2) $f(x) = x^{-\pi};$

3) $f(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{4}};$

4) $f(x) = (3x)^{\frac{1}{3}}.$

1)

Дано:

Функция $f(x) = x^{\pi}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Для нахождения производной степенной функции вида $f(x) = x^n$ применяется общая формула дифференцирования: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

В данном случае показатель степени $n = \pi$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$f'(x) = (x^{\pi})' = \pi \cdot x^{\pi-1}$.

Ответ: $f'(x) = \pi x^{\pi-1}$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\pi}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Как и в предыдущем примере, используем формулу для производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

В этом случае показатель степени $n = -\pi$.

Применяем формулу, подставляя $n = -\pi$:

$f'(x) = (x^{-\pi})' = -\pi \cdot x^{-\pi-1}$.

Ответ: $f'(x) = -\pi x^{-\pi-1}$.

3)

Дано:

Функция $f(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{4}}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Данная функция является сложной функцией. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом), которое гласит: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = u^{\frac{1}{4}}$, а внутренняя функция $h(x) = \frac{x}{2}$.

Сначала найдем производные этих функций по отдельности:

Производная внешней функции: $g'(u) = (u^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4} u^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4} u^{-\frac{3}{4}}$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = \left(\frac{x}{2}\right)' = \left(\frac{1}{2}x\right)' = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим найденные производные в цепное правило:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{4} \left(\frac{x}{2}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \left(\frac{x}{2}\right)^{-\frac{3}{4}}$.

Для удобства можно упростить полученное выражение:

$\frac{1}{8} \left(\frac{x}{2}\right)^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{8} \left(\frac{2}{x}\right)^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{8} \frac{2^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2^3 x^{\frac{3}{4}}} = 2^{\frac{3}{4}-3} x^{-\frac{3}{4}} = 2^{-\frac{9}{4}} x^{-\frac{3}{4}}$.

Запишем ответ в виде дроби с корнем:

$2^{-\frac{9}{4}} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{2^{\frac{9}{4}} x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{(2^9 x^3)^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{512x^3}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{512x^3}}$.

4)

Дано:

Функция $f(x) = (3x)^{\frac{1}{3}}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Эта функция также является сложной. Применим цепное правило. Здесь внешняя функция $g(u) = u^{\frac{1}{3}}$ и внутренняя функция $h(x) = 3x$.

Находим их производные:

$g'(u) = (u^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}$.

$h'(x) = (3x)' = 3$.

Применяем цепное правило:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{3}(3x)^{-\frac{2}{3}} \cdot 3 = (3x)^{-\frac{2}{3}}$.

Упростим выражение, представив его в виде дроби с корнем в знаменателе:

$(3x)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(3x)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{9x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{9x^2}}$.