Номер 134, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

134. Графическим способом найдите, сколько корней имеет уравнение:

1) $\frac{1}{x^2} = 4,5;$

2) $x^2 - x^{3,7} = 0;$

3) $\frac{1}{x^3} = x^4;$

4) $\sqrt{x} = - \frac{1}{x^2}.$

1)

Решение. Чтобы найти количество корней уравнения $ \frac{1}{x^2} = 4,5 $, построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = 4,5$. Количество точек пересечения графиков будет равно количеству корней уравнения.

График функции $y = \frac{1}{x^2}$ — это кривая, состоящая из двух ветвей, расположенных в первом и втором координатных квадрантах, симметричных относительно оси OY. Ось OX является горизонтальной асимптотой, а ось OY — вертикальной асимптотой.

График функции $y = 4,5$ — это прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку $(0; 4,5)$.

Из графика видно, что прямая $y = 4,5$ пересекает кривую $y = \frac{1}{x^2}$ в двух точках. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2 корня.

2)

Решение. Преобразуем уравнение $x^2 - x^{3,7} = 0$ к виду $x^2 = x^{3,7}$. Чтобы найти количество корней, построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = x^{3,7}$. Выражение $x^{3,7}$ определено для $x \ge 0$.

График функции $y = x^2$ — парабола, проходящая через начало координат.

График функции $y = x^{3,7}$ — степенная функция, также проходящая через начало координат. Поскольку показатель степени $3,7 > 2$, при $0 < x < 1$ график функции $y = x^{3,7}$ лежит ниже графика $y=x^2$, а при $x > 1$ — выше.

Из графика видно, что графики пересекаются в двух точках: $(0; 0)$ и $(1; 1)$. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2 корня.

3)

Решение. Чтобы найти количество корней уравнения $\frac{1}{x^3} = x^4$, построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{1}{x^3}$ и $y = x^4$.

График функции $y = \frac{1}{x^3}$ — гипербола, расположенная в первом и третьем координатных квадрантах.

График функции $y = x^4$ — кривая, похожая на параболу, расположенная в первом и втором координатных квадрантах.

Пересечение графиков возможно только в первом квадранте, где $x > 0$. В этой области функция $y = \frac{1}{x^3}$ убывает, а функция $y = x^4$ возрастает, поэтому они могут пересечься не более одного раза.

Из графика видно, что графики пересекаются в одной точке $(1; 1)$. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1 корень.

4)

Решение. Чтобы найти количество корней уравнения $\sqrt{x} = -\frac{1}{x^2}$, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -\frac{1}{x^2}$.

Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Значения этой функции неотрицательны ($y \ge 0$). Её график расположен в первом координатном квадранте.

Область определения функции $y = -\frac{1}{x^2}$ — это $x \neq 0$. Для любого $x$ из области определения $x^2 > 0$, поэтому $-\frac{1}{x^2} < 0$. Значения этой функции всегда отрицательны. Её график расположен в третьем и четвертом координатных квадрантах.

Так как для всех допустимых значений $x$ (а именно $x > 0$) левая часть уравнения $\sqrt{x}$ положительна, а правая часть $-\frac{1}{x^2}$ отрицательна, равенство невозможно. Графики функций не пересекаются.

Ответ: 0 корней (корней нет).