Страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

130. Найдите область определения функции $y = f(x):$

1) $f(x) = \frac{1}{x^2} - 3;$

2) $f(x) = x^{4.5} + 2;$

3) $f(x) = x^{-2.5} + 2;$

4) $f(x) = -\frac{1}{x^3} + 4.$

1) $f(x) = \frac{1}{x^2} - 3$

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Данная функция содержит дробь $\frac{1}{x^2}$, знаменатель которой не может быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^2 = 0$

$x = 0$

Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

В виде интервала это записывается как $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) $f(x) = x^{4,5} + 2$

Это степенная функция с нецелым показателем степени. Представим показатель в виде несократимой обыкновенной дроби: $4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}$.

Функция имеет вид $f(x) = x^{\frac{9}{2}} + 2$.

Степенная функция с дробным показателем $a = \frac{p}{q}$, где дробь несократима и знаменатель $q$ — четное число, определена только для неотрицательных значений основания.

В нашем случае показатель равен $\frac{9}{2}$, его знаменатель $q=2$ — четное число. Следовательно, основание степени $x$ должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции — это множество всех неотрицательных действительных чисел.

В виде интервала это записывается как $[0; +\infty)$.

Ответ: $[0; +\infty)$.

3) $f(x) = x^{-2,5} + 2$

Это степенная функция с отрицательным нецелым показателем степени. Представим показатель в виде несократимой обыкновенной дроби: $-2,5 = -\frac{25}{10} = -\frac{5}{2}$.

Функция имеет вид $f(x) = x^{-\frac{5}{2}} + 2$.

Из-за отрицательного показателя функцию можно переписать как $f(x) = \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} + 2$.

Здесь действуют два ограничения:

1. Для степенной функции с дробным показателем $\frac{5}{2}$ (знаменатель $q=2$ — четное число) основание должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Знаменатель дроби $x^{\frac{5}{2}}$ не должен быть равен нулю. Условие $x^{\frac{5}{2}} \neq 0$ означает, что $x \neq 0$.

Объединяя оба условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем строгое неравенство $x > 0$.

Таким образом, область определения функции — это все положительные действительные числа.

В виде интервала это записывается как $(0; +\infty)$.

Ответ: $(0; +\infty)$.

4) $f(x) = -\frac{1}{x^3} + 4$

Данная функция содержит дробь $-\frac{1}{x^3}$, знаменатель которой не может быть равен нулю.

Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:

$x^3 = 0$

$x = 0$

Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 0.

В виде интервала это записывается как $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

131. Определите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 5;$

2) $f(x) = \frac{1}{x^4} + 3,5;$

3) $f(x) = x^{3,7} - 2;$

4) $f(x) = \frac{1}{x^5} + \frac{1}{7}.$

1)

Дано:

Функция $f(x) = x^{\frac{1}{2}} - 5$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Функцию можно записать в виде $f(x) = \sqrt{x} - 5$.

Область определения степенной функции $x^a$ с нецелым показателем $a = \frac{1}{2}$ — это множество неотрицательных чисел. Следовательно, область определения данной функции $D(f) = [0; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = \sqrt{x}$. Ее множество значений $E(g) = [0; +\infty)$. То есть, $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения.

Функция $f(x)$ получается из функции $g(x)$ сдвигом вдоль оси ординат на 5 единиц вниз. Таким образом, для нахождения множества значений $f(x)$ нужно из каждого значения $g(x)$ вычесть 5.

Поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $f(x) = \sqrt{x} - 5 \ge 0 - 5 = -5$.

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие или равные -5.

Ответ: $E(f) = [-5; +\infty)$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = \frac{1}{x^4} + 3,5$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^4 \ne 0$, откуда $x \ne 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Рассмотрим выражение $x^4$. Так как показатель степени четный, $x^4 > 0$ для любого $x \ne 0$.

Следовательно, выражение $\frac{1}{x^4}$ также всегда будет строго положительным: $\frac{1}{x^4} > 0$.

При $x \to 0$, $x^4 \to 0^+$, и $\frac{1}{x^4} \to +\infty$.

При $x \to \pm\infty$, $x^4 \to +\infty$, и $\frac{1}{x^4} \to 0$.

Таким образом, множество значений функции $g(x) = \frac{1}{x^4}$ есть интервал $(0; +\infty)$.

Функция $f(x)$ получается из функции $g(x)$ сдвигом вдоль оси ординат на 3,5 единицы вверх.

Поскольку $\frac{1}{x^4} > 0$, то $f(x) = \frac{1}{x^4} + 3,5 > 0 + 3,5 = 3,5$.

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие 3,5.

Ответ: $E(f) = (3,5; +\infty)$.

3)

Дано:

Функция $f(x) = x^{3,7} - 2$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Показатель степени $3,7$ является нецелым числом. По определению, степенная функция $x^a$ с нецелым показателем $a$ рассматривается для $x \ge 0$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [0; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = x^{3,7}$. Поскольку показатель степени $3,7 > 0$, функция является возрастающей на всей области определения.

Найдем наименьшее значение функции. Оно достигается при наименьшем значении аргумента $x=0$.

$g(0) = 0^{3,7} = 0$.

При $x \to +\infty$, $g(x) \to +\infty$.

Таким образом, множество значений функции $g(x)$ есть луч $[0; +\infty)$.

Функция $f(x)$ получается из функции $g(x)$ сдвигом вдоль оси ординат на 2 единицы вниз.

Поскольку $x^{3,7} \ge 0$, то $f(x) = x^{3,7} - 2 \ge 0 - 2 = -2$.

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, большие или равные -2.

Ответ: $E(f) = [-2; +\infty)$.

4)

Дано:

Функция $f(x) = \frac{1}{x^5} + \frac{1}{7}$.

Найти:

Множество значений функции $E(f)$.

Решение:

Область определения функции: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x^5 \ne 0$, откуда $x \ne 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Рассмотрим функцию $g(x) = \frac{1}{x^5}$. Поскольку показатель степени 5 нечетный, знак $x^5$ совпадает со знаком $x$.

Если $x > 0$, то $x^5 > 0$, и $g(x) = \frac{1}{x^5} > 0$. При $x \to 0^+$, $g(x) \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $g(x) \to 0^+$. Значит, на интервале $(0; +\infty)$ функция $g(x)$ принимает все значения из интервала $(0; +\infty)$.

Если $x < 0$, то $x^5 < 0$, и $g(x) = \frac{1}{x^5} < 0$. При $x \to 0^-$, $g(x) \to -\infty$. При $x \to -\infty$, $g(x) \to 0^-$. Значит, на интервале $(-\infty; 0)$ функция $g(x)$ принимает все значения из интервала $(-\infty; 0)$.

Объединяя эти два случая, получаем, что множество значений функции $g(x) = \frac{1}{x^5}$ есть $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, то есть все действительные числа, кроме 0.

Функция $f(x)$ получается из функции $g(x)$ сдвигом вдоль оси ординат на $\frac{1}{7}$ единицы вверх.

Это означает, что каждое значение $g(x)$ увеличивается на $\frac{1}{7}$. Если $g(x) \ne 0$, то $f(x) = g(x) + \frac{1}{7} \ne 0 + \frac{1}{7} = \frac{1}{7}$.

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все действительные числа, кроме $\frac{1}{7}$.

Ответ: $E(f) = (-\infty; \frac{1}{7}) \cup (\frac{1}{7}; +\infty)$.

Используя простейшие преобразования графиков функций, постройте графики функции $y = f(x)$ (132—133):

132. 1) $f(x) = -\frac{1}{x^3}$;

2) $f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$;

3) $f(x) = x^{0,5} - 2$;

4) $f(x) = 3 + 2x^{0,5}$.

1) $f(x) = -\frac{1}{x^3}$

Решение

Для построения графика функции $f(x) = -\frac{1}{x^3}$ используем метод преобразования графиков, взяв за основу график известной функции.

1. Базовой функцией является степенная функция $y_0(x) = \frac{1}{x^3}$. Это нечетная функция, ее график симметричен относительно начала координат и расположен в I и III координатных четвертях. График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; -1)$. Оси координат являются асимптотами.

2. Искомая функция $f(x) = -y_0(x) = -\frac{1}{x^3}$. Знак "минус" перед функцией означает симметричное отражение (зеркалирование) графика базовой функции относительно оси абсцисс (Ox). Таким образом, ветвь графика из I четверти ($y>0$) отразится в IV четверть ($y<0$), а ветвь из III четверти ($y<0$) отразится во II четверть ($y>0$).

Точки, характерные для нового графика: $(1; -1)$ и $(-1; 1)$. Асимптоты остаются прежними: $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).

Ответ: График функции $f(x) = -\frac{1}{x^3}$ получается из графика $y=\frac{1}{x^3}$ путем симметричного отражения относительно оси Ox. Полученный график изображен на рисунке выше.

2) $f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$

Решение

Для построения графика функции $f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$ используем метод преобразования графиков.

1. Базовой функцией является степенная функция $y_0(x) = \frac{1}{x^6}$. Это четная функция, так как показатель степени 6 — четное число. Ее график симметричен относительно оси ординат (Oy) и расположен в I и II координатных четвертях. График проходит через точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$. Ось Ox ($y=0$) является горизонтальной асимптотой, а ось Oy ($x=0$) — вертикальной асимптотой.

2. Искомая функция $f(x) = y_0(x) + 3,5 = \frac{1}{x^6} + 3,5$. Это означает, что для получения графика $f(x)$ необходимо график базовой функции $y_0(x)$ сместить (параллельно перенести) на 3,5 единицы вверх вдоль оси Oy.

При этом преобразовании все точки графика смещаются вверх. Вертикальная асимптота $x=0$ остается на месте, а горизонтальная асимптота смещается с $y=0$ на $y=3,5$. Точки $(1; 1)$ и $(-1; 1)$ переходят в точки $(1; 1+3,5)=(1; 4,5)$ и $(-1; 1+3,5)=(-1; 4,5)$.

Ответ: График функции $f(x) = \frac{1}{x^6} + 3,5$ получается из графика $y=\frac{1}{x^6}$ путем его сдвига на 3,5 единицы вверх по оси Oy. Горизонтальная асимптота смещается на $y=3,5$. График представлен выше.

3) $f(x) = x^{0,5} - 2$

Решение

Для построения графика функции $f(x) = x^{0,5} - 2$, что эквивалентно $f(x) = \sqrt{x} - 2$, используем метод преобразования графиков.

1. Базовой функцией является $y_0(x) = x^{0,5} = \sqrt{x}$. Область определения этой функции $x \ge 0$. Ее график — это верхняя ветвь параболы, симметричной относительно оси Ox. График начинается в точке $(0; 0)$ и проходит через точки $(1; 1)$, $(4; 2)$, $(9; 3)$.

2. Искомая функция $f(x) = y_0(x) - 2 = \sqrt{x} - 2$. Это означает, что для получения графика $f(x)$ необходимо график базовой функции $y_0(x)$ сместить на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

При этом преобразовании все точки графика смещаются вниз. Начальная точка $(0; 0)$ переходит в точку $(0; -2)$. Точки $(1; 1)$, $(4; 2)$ переходят соответственно в $(1; -1)$ и $(4; 0)$. Область определения не изменяется: $x \ge 0$.

Ответ: График функции $f(x) = x^{0,5} - 2$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем его сдвига на 2 единицы вниз по оси Oy. График начинается в точке $(0; -2)$ и пересекает ось Ox в точке $(4; 0)$. График представлен выше.

4) $f(x) = 3 + 2x^{0,5}$

Решение

Для построения графика функции $f(x) = 3 + 2x^{0,5}$, что эквивалентно $f(x) = 3 + 2\sqrt{x}$, используем метод последовательных преобразований графиков.

1. Базовой функцией является $y_0(x) = \sqrt{x}$. Ее график — это ветвь параболы, выходящая из начала координат $(0; 0)$ и проходящая через точки $(1; 1)$, $(4; 2)$.

2. Первое преобразование — растяжение вдоль оси Oy. Функция $y_1(x) = 2\sqrt{x}$. График этой функции получается из графика $y_0(x)$ растяжением в 2 раза от оси Ox. Каждая ордината точки графика умножается на 2. Точки $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(4; 2)$ переходят в точки $(0; 0)$, $(1; 2)$, $(4; 4)$.

3. Второе преобразование — сдвиг вверх. Искомая функция $f(x) = 2\sqrt{x} + 3 = y_1(x) + 3$. Ее график получается из графика $y_1(x)$ сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси Oy.

В результате этого сдвига точки $(0; 0)$, $(1; 2)$, $(4; 4)$ переходят в точки $(0; 3)$, $(1; 5)$, $(4; 7)$. Область определения функции $x \ge 0$. График начинается в точке $(0; 3)$ и возрастает.

Ответ: График функции $f(x) = 3 + 2x^{0,5}$ получается из графика $y = \sqrt{x}$ путем его растяжения в 2 раза вдоль оси Oy и последующего сдвига на 3 единицы вверх. График начинается в точке $(0; 3)$. График представлен выше.

133.1) $f(x) = \frac{2}{(x-1)^2} + 4;$

2) $f(x) = - \frac{3}{(x+2)^3} + 1,5;$

3) $f(x) = (x+1)^{\frac{3}{4}} - 2,5;$

4) $f(x) = (x+1)^{-\frac{3}{4}} + 3,5.$

Поскольку в задании не указано, что именно нужно сделать с функциями, наиболее вероятной задачей является нахождение области определения для каждой из них.

1) $f(x) = \frac{2}{(x-1)^2} + 4$

Решение:
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь, знаменатель которой не должен быть равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$(x-1)^2 = 0$
$x-1 = 0$
$x = 1$
Таким образом, $x=1$ является недопустимым значением. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 1.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) $f(x) = -\frac{3}{(x+2)^3} + 1,5$

Решение:
Аналогично первому случаю, функция содержит дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$(x+2)^3 = 0$
$x+2 = 0$
$x = -2$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, за исключением $x=-2$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

3) $f(x) = (x+1)^{\frac{3}{4}} - 2,5$

Решение:
Данная функция является степенной с дробным показателем $3/4$. Функцию можно записать в виде $f(x) = \sqrt[4]{(x+1)^3} - 2,5$.
Поскольку в знаменателе показателя степени стоит четное число (4), это означает наличие корня четной степени. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным.
$x+1 \ge 0$
$x \ge -1$
Область определения функции — все числа, большие или равные $-1$.
Ответ: $D(f) = [-1; +\infty)$.

4) $f(x) = (x+1)^{-\frac{3}{4}} + 3,5$

Решение:
В этой функции степенной показатель является отрицательным и дробным. Отрицательная степень $a^{-n}$ эквивалентна $\frac{1}{a^n}$.
$f(x) = \frac{1}{(x+1)^{\frac{3}{4}}} + 3,5 = \frac{1}{\sqrt[4]{(x+1)^3}} + 3,5$
Здесь возникают два ограничения:
1. Выражение под корнем четной степени (четвертой) должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $(x+1)^{\frac{3}{4}} \ne 0 \implies x+1 \ne 0 \implies x \ne -1$.
Объединяя оба условия ($x \ge -1$ и $x \ne -1$), получаем, что $x$ должен быть строго больше $-1$.
$x > -1$
Таким образом, область определения функции — это все числа, строго большие $-1$.
Ответ: $D(f) = (-1; +\infty)$.

134. Графическим способом найдите, сколько корней имеет уравнение:

1) $\frac{1}{x^2} = 4,5;$

2) $x^2 - x^{3,7} = 0;$

3) $\frac{1}{x^3} = x^4;$

4) $\sqrt{x} = - \frac{1}{x^2}.$

1)

Решение. Чтобы найти количество корней уравнения $ \frac{1}{x^2} = 4,5 $, построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = 4,5$. Количество точек пересечения графиков будет равно количеству корней уравнения.

График функции $y = \frac{1}{x^2}$ — это кривая, состоящая из двух ветвей, расположенных в первом и втором координатных квадрантах, симметричных относительно оси OY. Ось OX является горизонтальной асимптотой, а ось OY — вертикальной асимптотой.

График функции $y = 4,5$ — это прямая, параллельная оси OX и проходящая через точку $(0; 4,5)$.

Из графика видно, что прямая $y = 4,5$ пересекает кривую $y = \frac{1}{x^2}$ в двух точках. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2 корня.

2)

Решение. Преобразуем уравнение $x^2 - x^{3,7} = 0$ к виду $x^2 = x^{3,7}$. Чтобы найти количество корней, построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = x^{3,7}$. Выражение $x^{3,7}$ определено для $x \ge 0$.

График функции $y = x^2$ — парабола, проходящая через начало координат.

График функции $y = x^{3,7}$ — степенная функция, также проходящая через начало координат. Поскольку показатель степени $3,7 > 2$, при $0 < x < 1$ график функции $y = x^{3,7}$ лежит ниже графика $y=x^2$, а при $x > 1$ — выше.

Из графика видно, что графики пересекаются в двух точках: $(0; 0)$ и $(1; 1)$. Следовательно, уравнение имеет два корня.

Ответ: 2 корня.

3)

Решение. Чтобы найти количество корней уравнения $\frac{1}{x^3} = x^4$, построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{1}{x^3}$ и $y = x^4$.

График функции $y = \frac{1}{x^3}$ — гипербола, расположенная в первом и третьем координатных квадрантах.

График функции $y = x^4$ — кривая, похожая на параболу, расположенная в первом и втором координатных квадрантах.

Пересечение графиков возможно только в первом квадранте, где $x > 0$. В этой области функция $y = \frac{1}{x^3}$ убывает, а функция $y = x^4$ возрастает, поэтому они могут пересечься не более одного раза.

Из графика видно, что графики пересекаются в одной точке $(1; 1)$. Следовательно, уравнение имеет один корень.

Ответ: 1 корень.

4)

Решение. Чтобы найти количество корней уравнения $\sqrt{x} = -\frac{1}{x^2}$, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x}$ и $y = -\frac{1}{x^2}$.

Область определения функции $y = \sqrt{x}$ — это $x \ge 0$. Значения этой функции неотрицательны ($y \ge 0$). Её график расположен в первом координатном квадранте.

Область определения функции $y = -\frac{1}{x^2}$ — это $x \neq 0$. Для любого $x$ из области определения $x^2 > 0$, поэтому $-\frac{1}{x^2} < 0$. Значения этой функции всегда отрицательны. Её график расположен в третьем и четвертом координатных квадрантах.

Так как для всех допустимых значений $x$ (а именно $x > 0$) левая часть уравнения $\sqrt{x}$ положительна, а правая часть $-\frac{1}{x^2}$ отрицательна, равенство невозможно. Графики функций не пересекаются.

Ответ: 0 корней (корней нет).

135. Решите систему неравенств графическим способом:

1) $\begin{cases} y > x^2, \\ y \le x + 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y \ge -x^2, \\ y < -x; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y < x^3, \\ y \ge x^2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y \le x^5; \\ y > -x^4. \end{cases}$

1) $\begin{cases} y > x^2 \\ y \le x+4 \end{cases}$

Решение:

Для решения системы неравенств графическим способом построим в одной системе координат графики функций $y = x^2$ и $y = x + 4$.

1. График функции $y = x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вверх. Так как неравенство $y > x^2$ строгое, точки на параболе не являются решением, поэтому на графике она изображается пунктирной линией. Решением этого неравенства является область плоскости, расположенная выше параболы.

2. График функции $y = x + 4$ — это прямая. Для её построения найдём две точки, например, (0, 4) и (-4, 0). Так как неравенство $y \le x + 4$ нестрогое, точки на прямой являются решением, поэтому она изображается сплошной линией. Решением этого неравенства является область плоскости, расположенная ниже этой прямой, включая саму прямую.

3. Найдём точки пересечения графиков, решив систему уравнений:

$\begin{cases} y = x^2 \\ y = x+4 \end{cases}$

Отсюда $x^2 = x + 4$, или $x^2 - x - 4 = 0$.

Используем формулу корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{1+16}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$.

Точки пересечения имеют абсциссы $x_1 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2} \approx -1.56$ и $x_2 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2} \approx 2.56$.

Соответствующие ординаты: $y_1 = \frac{9 - \sqrt{17}}{2} \approx 2.44$ и $y_2 = \frac{9 + \sqrt{17}}{2} \approx 6.56$.

4. Решением системы является пересечение областей, то есть множество точек, расположенных одновременно выше параболы $y=x^2$ и ниже (или на) прямой $y=x+4$. Эта область заштрихована на графике.

Ответ: Решением системы является множество точек на плоскости, заключённых между параболой $y=x^2$ и прямой $y=x+4$. Граница, принадлежащая прямой, включается в решение, а граница, принадлежащая параболе, — не включается. Решение показано штриховкой на рисунке.

2) $\begin{cases} y \ge -x^2 \\ y < -x \end{cases}$

Решение:

1. График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке (0, 0), ветви которой направлены вниз. Неравенство $y \ge -x^2$ нестрогое, поэтому парабола изображается сплошной линией. Решением является область над параболой, включая её границу.

2. График функции $y = -x$ — это прямая, проходящая через начало координат и точку (1, -1). Неравенство $y < -x$ строгое, поэтому прямая изображается пунктирной линией. Решением является область под этой прямой.

3. Найдём точки пересечения графиков:

$\begin{cases} y = -x^2 \\ y = -x \end{cases}$

$-x^2 = -x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1)=0$.

Корни: $x_1=0$, $x_2=1$.

Точки пересечения: (0, 0) и (1, -1).

4. Решением системы является пересечение областей: множество точек, расположенных над параболой $y=-x^2$ (включая параболу) и под прямой $y=-x$. Эта область заштрихована на графике.

Ответ: Решением системы является множество точек на плоскости, ограниченное снизу параболой $y=-x^2$ и сверху прямой $y=-x$ на интервале $x \in (0, 1)$. Граница, принадлежащая параболе, включается в решение, а граница, принадлежащая прямой, — не включается. Решение показано штриховкой на рисунке.

3) $\begin{cases} y < x^3 \\ y \ge x^2 \end{cases}$

Решение:

1. График функции $y = x^3$ — кубическая парабола, проходящая через точки (-1, -1), (0, 0), (1, 1). Неравенство $y < x^3$ строгое, поэтому график изображается пунктирной линией. Решением является область под этой кривой.

2. График функции $y = x^2$ — парабола с вершиной в (0, 0), ветвями вверх. Неравенство $y \ge x^2$ нестрогое, поэтому парабола изображается сплошной линией. Решением является область над параболой, включая её границу.

3. Найдём точки пересечения графиков:

$\begin{cases} y = x^3 \\ y = x^2 \end{cases}$

$x^3 = x^2 \implies x^3 - x^2 = 0 \implies x^2(x-1)=0$.

Корни: $x_1=0$ (касание), $x_2=1$.

Точки пересечения: (0, 0) и (1, 1).

4. Решение системы — это множество точек $(x, y)$, для которых выполняется условие $x^2 \le y < x^3$. Такое возможно только когда $x^2 < x^3$, то есть $x^3 - x^2 > 0$, или $x^2(x-1) > 0$. Так как $x^2 \ge 0$, это неравенство выполняется при $x-1>0$ и $x \ne 0$, то есть при $x>1$. Таким образом, решение существует только для $x > 1$. Это область между графиками функций $y=x^2$ и $y=x^3$ справа от точки их пересечения (1, 1).

Ответ: Решением системы является бесконечная область, ограниченная снизу параболой $y=x^2$ (включая границу) и сверху кубической параболой $y=x^3$ (не включая границу) при $x>1$. Решение показано штриховкой на рисунке.

4) $\begin{cases} y \le x^5 \\ y > -x^4 \end{cases}$

Решение:

1. График функции $y = x^5$ — кривая, похожая на кубическую параболу, но более круто возрастающая при $|x|>1$. Проходит через точки (-1, -1), (0, 0), (1, 1). Неравенство $y \le x^5$ нестрогое, линия сплошная. Решение — область под кривой, включая её.

2. График функции $y = -x^4$ — кривая, похожая на параболу с ветвями вниз, но более плоская у вершины (0,0). Проходит через точки (-1, -1), (0, 0), (1, -1). Неравенство $y > -x^4$ строгое, линия пунктирная. Решение — область над этой кривой.

3. Найдём точки пересечения графиков:

$\begin{cases} y = x^5 \\ y = -x^4 \end{cases}$

$x^5 = -x^4 \implies x^5 + x^4 = 0 \implies x^4(x+1)=0$.

Корни: $x_1=0$ (касание), $x_2=-1$.

Точки пересечения: (0, 0) и (-1, -1).

4. Решение системы — это множество точек $(x, y)$, для которых выполняется условие $-x^4 < y \le x^5$. Это возможно, когда $-x^4 < x^5$, то есть $x^4(x+1)>0$. Это неравенство верно при $x+1 > 0$ и $x \ne 0$, то есть при $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

Таким образом, решение состоит из двух областей:

а) Область между кривыми на интервале $x \in (-1, 0)$.

б) Бесконечная область между кривыми при $x>0$.

Ответ: Решением системы является объединение двух областей: области, заключенной между кривыми $y=x^5$ и $y=-x^4$ на интервале $x \in (-1, 0)$, и бесконечной области между этими же кривыми при $x>0$. Граница $y=x^5$ включается в решение (кроме точек пересечения), граница $y=-x^4$ не включается. Решение показано штриховкой на рисунке.