Страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

139. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$:

1)

$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$, $[1; 4]$;

2)

$f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$, $[1; 8]$;

3)

$f(x) = x^{\frac{2}{3}}$, $[-8; -1]$;

4)

$f(x) = x^{\frac{1}{4}}$, $[1; 16]$;

1) f(x) = x^1/2, [1; 4]

Дано:

Функция $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ на отрезке $[1; 4]$.

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. Находим критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ никогда не обращается в ноль, так как числитель равен 1.

Производная не существует в точке $x=0$. Однако, эта точка не входит в интервал $(1; 4)$.

Таким образом, на интервале $(1; 4)$ критических точек нет. Это означает, что функция на отрезке $[1; 4]$ является монотонной.

Поскольку $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$ для всех $x$ из отрезка $[1; 4]$, функция является строго возрастающей на этом отрезке. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[1; 4]$:

При $x=1$: $f(1) = 1^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

При $x=4$: $f(4) = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.

Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно 1, а наибольшее равно 2.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 1$, наибольшее значение функции $y_{max} = 2$.

2) f(x) = x^-1/3, [1; 8]

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$ на отрезке $[1; 8]$.

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$

2. Находим критические точки.

Производная $f'(x) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$ не равна нулю ни при каких значениях $x$.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 8]$.

Критических точек внутри интервала $(1; 8)$ нет. Значит, функция монотонна на отрезке.

Так как $x^4 \geq 0$ для любых $x$, то и $\sqrt[3]{x^4} \geq 0$. На отрезке $[1; 8]$ $x \neq 0$, поэтому знаменатель $3\sqrt[3]{x^4}$ положителен. Следовательно, $f'(x) < 0$ на всем отрезке. Это означает, что функция является строго убывающей. Поэтому наибольшее значение она принимает в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[1; 8]$:

При $x=1$: $f(1) = 1^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{1}} = 1$.

При $x=8$: $f(8) = 8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$.

Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение функции равно $1/2$, а наибольшее равно 1.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = \frac{1}{2}$, наибольшее значение функции $y_{max} = 1$.

3) f(x) = x^2/3, [-8; -1]

Дано:

Функция $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ на отрезке $[-8; -1]$.

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

2. Находим критические точки.

Производная $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ не равна нулю ни при каких значениях $x$.

Производная не существует при $x=0$. Точка $x=0$ не принадлежит отрезку $[-8; -1]$.

Критических точек внутри интервала $(-8; -1)$ нет. Значит, функция монотонна на отрезке.

Для любого $x$ из отрезка $[-8; -1]$, $x$ является отрицательным числом. Следовательно, $\sqrt[3]{x}$ также отрицателен. Тогда $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} < 0$. Это означает, что функция является строго убывающей на данном отрезке. Поэтому наибольшее значение она принимает в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[-8; -1]$:

При $x=-8$: $f(-8) = (-8)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-8})^2 = (-2)^2 = 4$.

При $x=-1$: $f(-1) = (-1)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-1})^2 = (-1)^2 = 1$.

Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение функции равно 1, а наибольшее равно 4.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 1$, наибольшее значение функции $y_{max} = 4$.

4) f(x) = x^1/4, [1; 16]

Дано:

Функция $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$ на отрезке $[1; 16]$.

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$

2. Находим критические точки.

Производная $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$ не равна нулю ни при каких значениях $x$.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 16]$.

Критических точек внутри интервала $(1; 16)$ нет. Значит, функция монотонна на отрезке.

На отрезке $[1; 16]$ значение $x > 0$, следовательно $\sqrt[4]{x^3} > 0$. Тогда $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} > 0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на данном отрезке. Поэтому наименьшее значение она принимает в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[1; 16]$:

При $x=1$: $f(1) = 1^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{1} = 1$.

При $x=16$: $f(16) = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$.

Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение функции равно 1, а наибольшее равно 2.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 1$, наибольшее значение функции $y_{max} = 2$.

140. Напишите общий вид первообразных функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^{3\sqrt{2}}$;

2) $f(x) = -2x^{-\pi}$;

3) $f(x) = \frac{1}{4}x^{-4}$;

4) $f(x) = 0,5x^{-0,5}$.

1)

Дано:

Функция $f(x) = x^{3\sqrt{2}}$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Общий вид первообразных для степенной функции $f(x) = x^n$ находится по формуле $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

В данном случае показатель степени $n = 3\sqrt{2}$.

Подставляем это значение в формулу:

$F(x) = \frac{x^{3\sqrt{2}+1}}{3\sqrt{2}+1} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^{3\sqrt{2}+1}}{3\sqrt{2}+1} + C$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = -2x^{-\pi}$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Для нахождения первообразной функции вида $f(x) = k \cdot g(x)$ используется правило: $F(x) = k \cdot G(x) + C$, где $G(x)$ — первообразная для $g(x)$.

Для функции $f(x) = k \cdot x^n$ формула общего вида первообразных: $F(x) = k \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае коэффициент $k = -2$ и показатель степени $n = -\pi$.

Подставляем эти значения в формулу:

$F(x) = -2 \cdot \frac{x^{-\pi+1}}{-\pi+1} + C = -2 \cdot \frac{x^{1-\pi}}{1-\pi} + C = \frac{2}{\pi-1}x^{1-\pi} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{\pi-1}x^{1-\pi} + C$.

3)

Дано:

Функция $f(x) = \frac{1}{4}x^{-4}$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Используем формулу для функции вида $f(x) = k \cdot x^n$: $F(x) = k \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{4}$ и показатель степени $n = -4$.

Подставляем эти значения в формулу:

$F(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{12}x^{-3} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{12}x^{-3} + C$.

4)

Дано:

Функция $f(x) = 0.5x^{-0.5}$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Используем формулу для функции вида $f(x) = k \cdot x^n$: $F(x) = k \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае коэффициент $k = 0.5$ и показатель степени $n = -0.5$.

Подставляем эти значения в формулу:

$F(x) = 0.5 \cdot \frac{x^{-0.5+1}}{-0.5+1} + C = 0.5 \cdot \frac{x^{0.5}}{0.5} + C = x^{0.5} + C$.

Ответ: $F(x) = x^{0.5} + C$.

141. Вычислите интеграл:

1) $\int_1^8 x^{-\frac{1}{3}} dx;$

2) $\int_1^4 \frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}};$

3) $\int_{16}^{81} 4x^{-\frac{1}{4}} dx;$

4) $\int_1^{32} 6x^{\frac{1}{5}} dx.$

1)

Дано:

Интеграл $ \int_1^8 x^{-\frac{1}{3}} dx $.

Найти:

Значение определенного интеграла.

Решение:

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $. Первообразную для степенной функции $ x^n $ находим по формуле $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $.

В данном случае подынтегральная функция $ f(x) = x^{-\frac{1}{3}} $. Найдем ее первообразную:

$ F(x) = \int x^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} = \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} $.

Теперь вычислим определенный интеграл:

$ \int_1^8 x^{-\frac{1}{3}} dx = \left. \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} \right|_1^8 = \frac{3}{2}(8^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2}(1^{\frac{2}{3}}) = \frac{3}{2}(\sqrt[3]{8})^2 - \frac{3}{2}(1) = \frac{3}{2}(2^2) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{3}{2} = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12}{2} - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} $.

Ответ: $ \frac{9}{2} $.

2)

Дано:

Интеграл $ \int_1^4 \frac{dx}{x^{\frac{3}{2}}} $.

Найти:

Значение определенного интеграла.

Решение:

Перепишем подынтегральное выражение в виде степенной функции: $ \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = x^{-\frac{3}{2}} $.

Найдем первообразную для $ f(x) = x^{-\frac{3}{2}} $:

$ F(x) = \int x^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x^{-\frac{3}{2}+1}}{-\frac{3}{2}+1} = \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} = -2x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{x}} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_1^4 x^{-\frac{3}{2}} dx = \left. \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right) \right|_1^4 = \left(-\frac{2}{\sqrt{4}}\right) - \left(-\frac{2}{\sqrt{1}}\right) = -\frac{2}{2} - (-2) = -1 + 2 = 1 $.

Ответ: 1.

3)

Дано:

Интеграл $ \int_{16}^{81} 4x^{-\frac{1}{4}} dx $.

Найти:

Значение определенного интеграла.

Решение:

Вынесем константу за знак интеграла и найдем первообразную для $ x^{-\frac{1}{4}} $:

$ \int 4x^{-\frac{1}{4}} dx = 4 \int x^{-\frac{1}{4}} dx = 4 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{4}+1}}{-\frac{1}{4}+1} = 4 \cdot \frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}} = 4 \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{3}{4}} = \frac{16}{3}x^{\frac{3}{4}} $.

Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{16}^{81} 4x^{-\frac{1}{4}} dx = \left. \frac{16}{3}x^{\frac{3}{4}} \right|_{16}^{81} = \frac{16}{3}(81^{\frac{3}{4}}) - \frac{16}{3}(16^{\frac{3}{4}}) = \frac{16}{3}((\sqrt[4]{81})^3) - \frac{16}{3}((\sqrt[4]{16})^3) = \frac{16}{3}(3^3) - \frac{16}{3}(2^3) = \frac{16}{3}(27) - \frac{16}{3}(8) = 16 \cdot 9 - \frac{128}{3} = 144 - \frac{128}{3} = \frac{432 - 128}{3} = \frac{304}{3} $.

Ответ: $ \frac{304}{3} $.

4)

Дано:

Интеграл $ \int_1^{32} 6x^{\frac{1}{5}} dx $.

Найти:

Значение определенного интеграла.

Решение:

Найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 6x^{\frac{1}{5}} $:

$ F(x) = \int 6x^{\frac{1}{5}} dx = 6 \int x^{\frac{1}{5}} dx = 6 \cdot \frac{x^{\frac{1}{5}+1}}{\frac{1}{5}+1} = 6 \cdot \frac{x^{\frac{6}{5}}}{\frac{6}{5}} = 6 \cdot \frac{5}{6}x^{\frac{6}{5}} = 5x^{\frac{6}{5}} $.

Вычислим определенный интеграл:

$ \int_1^{32} 6x^{\frac{1}{5}} dx = \left. 5x^{\frac{6}{5}} \right|_1^{32} = 5(32^{\frac{6}{5}}) - 5(1^{\frac{6}{5}}) = 5((\sqrt[5]{32})^6) - 5(1) = 5(2^6) - 5 = 5 \cdot 64 - 5 = 320 - 5 = 315 $.

Ответ: 315.

142. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = x^{-\frac{1}{2}}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$;

2) $y = \frac{1}{x^6}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0$;

3) $y = x^{-\frac{1}{3}}$, $x = 1$, $x = 8$, $y = 0$;

4) $y = \frac{1}{x^4}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0$.

1)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = x^{-\frac{1}{2}}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, прямыми $x=a$, $x=b$ и осью абсцисс ($y=0$), вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В нашем случае $f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$, $a = 1$, $b = 4$. Функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ является неотрицательной на отрезке $[1, 4]$.

Вычисляем интеграл, используя формулу для первообразной степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$S = \int_{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx = \left. \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right|_{1}^{4} = \left. \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right|_{1}^{4} = \left. 2x^{\frac{1}{2}} \right|_{1}^{4} = \left. 2\sqrt{x} \right|_{1}^{4}$

Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: $2$.

2)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = \frac{1}{x^6}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

Здесь $f(x) = \frac{1}{x^6} = x^{-6}$, $a = 1$, $b = 2$. Функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[1, 2]$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{2} x^{-6} dx = \left. \frac{x^{-6+1}}{-6+1} \right|_{1}^{2} = \left. \frac{x^{-5}}{-5} \right|_{1}^{2} = \left. -\frac{1}{5x^5} \right|_{1}^{2}$

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left(-\frac{1}{5 \cdot 2^5}\right) - \left(-\frac{1}{5 \cdot 1^5}\right) = -\frac{1}{5 \cdot 32} + \frac{1}{5} = -\frac{1}{160} + \frac{1}{5}$

Приводим к общему знаменателю:

$S = -\frac{1}{160} + \frac{32}{160} = \frac{31}{160}$.

Ответ: $\frac{31}{160}$.

3)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = x^{-\frac{1}{3}}$, $x = 1$, $x = 8$, $y = 0$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

В данном случае $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$, $a = 1$, $b = 8$. Функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ неотрицательна на отрезке $[1, 8]$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{8} x^{-\frac{1}{3}} dx = \left. \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} \right|_{1}^{8} = \left. \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} \right|_{1}^{8} = \left. \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} \right|_{1}^{8}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \frac{3}{2}(8^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2}(1^{\frac{2}{3}}) = \frac{3}{2}(\sqrt[3]{8})^2 - \frac{3}{2}(1) = \frac{3}{2}(2^2) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{3}{2} = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12-3}{2} = \frac{9}{2}$.

Ответ: $\frac{9}{2}$.

4)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = \frac{1}{x^4}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

Здесь $f(x) = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$, $a = 1$, $b = 2$. Функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[1, 2]$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{2} x^{-4} dx = \left. \frac{x^{-4+1}}{-4+1} \right|_{1}^{2} = \left. \frac{x^{-3}}{-3} \right|_{1}^{2} = \left. -\frac{1}{3x^3} \right|_{1}^{2}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left(-\frac{1}{3 \cdot 2^3}\right) - \left(-\frac{1}{3 \cdot 1^3}\right) = -\frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$S = -\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$.

143. Найдите производную функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^{\sqrt{5}} + x^{2.5} + 10;$

2) $f(x) = x^{\sqrt{3}-2} - x^{-\frac{1}{8}} - 5.8;$

3) $f(x) = x^{-\frac{5}{6}} + (x-2)^{\sqrt{2}};$

4) $f(x) = x^{\frac{3}{8}} - (1+x^2)^{-\frac{5}{4}}.$

1) Дано:
$f(x) = x^{\sqrt{5}} + x^{2.5} + 10$
Найти:
$f'(x)$
Решение:
Для нахождения производной функции, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и формулой производной степенной функции $(x^a)' = ax^{a-1}$. Производная константы равна нулю.
$f'(x) = (x^{\sqrt{5}} + x^{2.5} + 10)' = (x^{\sqrt{5}})' + (x^{2.5})' + (10)'$
$(x^{\sqrt{5}})' = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1}$
$(x^{2.5})' = 2.5x^{2.5-1} = 2.5x^{1.5}$
$(10)' = 0$
Складывая результаты, получаем:
$f'(x) = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1} + 2.5x^{1.5}$
Ответ: $f'(x) = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1} + 2.5x^{1.5}$

2) Дано:
$f(x) = x^{\sqrt{3}-2} - x^{-\frac{1}{8}} - 5.8$
Найти:
$f'(x)$
Решение:
Используем правило дифференцирования разности и формулу производной степенной функции $(x^a)' = ax^{a-1}$. Производная константы равна нулю.
$f'(x) = (x^{\sqrt{3}-2} - x^{-\frac{1}{8}} - 5.8)' = (x^{\sqrt{3}-2})' - (x^{-\frac{1}{8}})' - (5.8)'$
$(x^{\sqrt{3}-2})' = (\sqrt{3}-2)x^{(\sqrt{3}-2)-1} = (\sqrt{3}-2)x^{\sqrt{3}-3}$
$(x^{-\frac{1}{8}})' = -\frac{1}{8}x^{-\frac{1}{8}-1} = -\frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}$
$(5.8)' = 0$
Собирая все вместе, получаем:
$f'(x) = (\sqrt{3}-2)x^{\sqrt{3}-3} - (-\frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}) - 0 = (\sqrt{3}-2)x^{\sqrt{3}-3} + \frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}$
Ответ: $f'(x) = (\sqrt{3}-2)x^{\sqrt{3}-3} + \frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}$

3) Дано:
$f(x) = x^{-\frac{5}{6}} + (x-2)^{\sqrt{2}}$
Найти:
$f'(x)$
Решение:
Используем правило дифференцирования суммы. Для второго слагаемого применим правило дифференцирования сложной функции $(u^a)' = a u^{a-1} \cdot u'$.
$f'(x) = (x^{-\frac{5}{6}})' + ((x-2)^{\sqrt{2}})'$
Для первого слагаемого:
$(x^{-\frac{5}{6}})' = -\frac{5}{6}x^{-\frac{5}{6}-1} = -\frac{5}{6}x^{-\frac{11}{6}}$
Для второго слагаемого, где $u(x) = x-2$ и $a=\sqrt{2}$:
$u'(x) = (x-2)' = 1$
$((x-2)^{\sqrt{2}})' = \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1} \cdot (x-2)' = \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1} \cdot 1 = \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1}$
Складывая результаты, получаем:
$f'(x) = -\frac{5}{6}x^{-\frac{11}{6}} + \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1}$
Ответ: $f'(x) = -\frac{5}{6}x^{-\frac{11}{6}} + \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1}$

4) Дано:
$f(x) = x^{\frac{3}{8}} - (1+x^2)^{-\frac{5}{4}}$
Найти:
$f'(x)$
Решение:
Используем правило дифференцирования разности. Для второго слагаемого применим правило дифференцирования сложной функции $(u^a)' = a u^{a-1} \cdot u'$.
$f'(x) = (x^{\frac{3}{8}})' - ((1+x^2)^{-\frac{5}{4}})'$
Для первого слагаемого:
$(x^{\frac{3}{8}})' = \frac{3}{8}x^{\frac{3}{8}-1} = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}}$
Для второго слагаемого, где $u(x) = 1+x^2$ и $a=-\frac{5}{4}$:
$u'(x) = (1+x^2)' = 2x$
$((1+x^2)^{-\frac{5}{4}})' = -\frac{5}{4}(1+x^2)^{-\frac{5}{4}-1} \cdot (1+x^2)' = -\frac{5}{4}(1+x^2)^{-\frac{9}{4}} \cdot 2x = -\frac{5x}{2}(1+x^2)^{-\frac{9}{4}}$
Подставляя в исходное выражение для производной, получаем:
$f'(x) = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}} - \left(-\frac{5x}{2}(1+x^2)^{-\frac{9}{4}}\right) = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}} + \frac{5x}{2}(1+x^2)^{-\frac{9}{4}}$
Ответ: $f'(x) = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}} + \frac{5x}{2}(1+x^2)^{-\frac{9}{4}}$