Номер 140, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

140. Напишите общий вид первообразных функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^{3\sqrt{2}}$;

2) $f(x) = -2x^{-\pi}$;

3) $f(x) = \frac{1}{4}x^{-4}$;

4) $f(x) = 0,5x^{-0,5}$.

1)

Дано:

Функция $f(x) = x^{3\sqrt{2}}$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Общий вид первообразных для степенной функции $f(x) = x^n$ находится по формуле $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.

В данном случае показатель степени $n = 3\sqrt{2}$.

Подставляем это значение в формулу:

$F(x) = \frac{x^{3\sqrt{2}+1}}{3\sqrt{2}+1} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{x^{3\sqrt{2}+1}}{3\sqrt{2}+1} + C$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = -2x^{-\pi}$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Для нахождения первообразной функции вида $f(x) = k \cdot g(x)$ используется правило: $F(x) = k \cdot G(x) + C$, где $G(x)$ — первообразная для $g(x)$.

Для функции $f(x) = k \cdot x^n$ формула общего вида первообразных: $F(x) = k \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае коэффициент $k = -2$ и показатель степени $n = -\pi$.

Подставляем эти значения в формулу:

$F(x) = -2 \cdot \frac{x^{-\pi+1}}{-\pi+1} + C = -2 \cdot \frac{x^{1-\pi}}{1-\pi} + C = \frac{2}{\pi-1}x^{1-\pi} + C$.

Ответ: $F(x) = \frac{2}{\pi-1}x^{1-\pi} + C$.

3)

Дано:

Функция $f(x) = \frac{1}{4}x^{-4}$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Используем формулу для функции вида $f(x) = k \cdot x^n$: $F(x) = k \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае коэффициент $k = \frac{1}{4}$ и показатель степени $n = -4$.

Подставляем эти значения в формулу:

$F(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{12}x^{-3} + C$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{12}x^{-3} + C$.

4)

Дано:

Функция $f(x) = 0.5x^{-0.5}$.

Найти:

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$.

Решение:

Используем формулу для функции вида $f(x) = k \cdot x^n$: $F(x) = k \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

В данном случае коэффициент $k = 0.5$ и показатель степени $n = -0.5$.

Подставляем эти значения в формулу:

$F(x) = 0.5 \cdot \frac{x^{-0.5+1}}{-0.5+1} + C = 0.5 \cdot \frac{x^{0.5}}{0.5} + C = x^{0.5} + C$.

Ответ: $F(x) = x^{0.5} + C$.