Номер 147, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите интегралы (147–148):

147.1) $\int_{0}^{7} (x+1)^{-\frac{2}{3}} dx,$

2) $\int_{-4}^{3} \frac{dx}{(5+x)^{\frac{1}{3}}}.$

147.1)

Решение

Для вычисления данного определенного интеграла $ \int_{0}^{7} (x+1)^{-\frac{2}{3}} dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = (x+1)^{-\frac{2}{3}} $. Это степенная функция вида $ u^n $, где $ u=x+1 $ и $ n = -\frac{2}{3} $. Подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования $[0, 7]$.

По формуле интегрирования степенной функции $ \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $, имеем:

$ F(x) = \int (x+1)^{-\frac{2}{3}} dx = \frac{(x+1)^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} = \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = 3(x+1)^{\frac{1}{3}} = 3\sqrt[3]{x+1} $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница к найденной первообразной $ F(x) $ на отрезке $[0, 7]$:

$ \int_{0}^{7} (x+1)^{-\frac{2}{3}} dx = \left[ 3(x+1)^{\frac{1}{3}} \right]_{0}^{7} = F(7) - F(0) $.

Вычисляем значения первообразной на концах отрезка интегрирования:

$ F(7) = 3(7+1)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 8^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{8} = 3 \cdot 2 = 6 $.

$ F(0) = 3(0+1)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{1} = 3 \cdot 1 = 3 $.

Находим значение интеграла:

$ \int_{0}^{7} (x+1)^{-\frac{2}{3}} dx = 6 - 3 = 3 $.

Ответ: 3.

2)

Решение

Сначала перепишем подынтегральное выражение в виде степенной функции: $ \int_{-4}^{3} \frac{dx}{(5+x)^{\frac{1}{3}}} = \int_{-4}^{3} (5+x)^{-\frac{1}{3}} dx $.

Для вычисления этого определенного интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Подынтегральная функция $ f(x) = (5+x)^{-\frac{1}{3}} $ определена и непрерывна на отрезке интегрирования $[-4, 3]$, так как точка разрыва $ x=-5 $ не входит в этот отрезок.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = (5+x)^{-\frac{1}{3}} $. Это степенная функция вида $ u^n $, где $ u=5+x $ и $ n = -\frac{1}{3} $.

Используя формулу для интеграла от степенной функции, получаем:

$ F(x) = \int (5+x)^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{(5+x)^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} = \frac{(5+x)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(5+x)^{\frac{2}{3}} $.

Теперь, по формуле Ньютона-Лейбница, вычисляем значение интеграла:

$ \int_{-4}^{3} (5+x)^{-\frac{1}{3}} dx = \left[ \frac{3}{2}(5+x)^{\frac{2}{3}} \right]_{-4}^{3} = F(3) - F(-4) $.

Вычисляем значения первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

$ F(3) = \frac{3}{2}(5+3)^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \cdot 8^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \cdot (\sqrt[3]{8})^2 = \frac{3}{2} \cdot 2^2 = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6 $.

$ F(-4) = \frac{3}{2}(5+(-4))^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} $.

Находим значение интеграла как разность этих значений:

$ \int_{-4}^{3} (5+x)^{-\frac{1}{3}} dx = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12}{2} - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} $.

Ответ: $ \frac{9}{2} $.