Вопросы, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Как можно определить возрастание или убывание показательной функции?

2. Почему графики всех показательных функций проходят через точку $(0; 1)$? Ответ обоснуйте.

3. Почему функция $y = a^x$, $a > 0$, $a \ne 1$ ограничена снизу, но неограничена сверху (рассмотрите случаи $a > 1$ и $0 < a < 1)$?

1. Как можно определить возрастание или убывание показательной функции?

Монотонность (возрастание или убывание) показательной функции $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$) полностью определяется значением её основания $a$.
1. Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. То есть, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Например, для функции $y = 2^x$, если взять $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$, то $y_1 = 2^2 = 4$, а $y_2 = 2^3 = 8$. Поскольку $2 < 3$ и $4 < 8$, функция возрастает.
2. Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. То есть, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Например, для функции $y = (\frac{1}{2})^x$, если взять $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$, то $y_1 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, а $y_2 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$. Поскольку $2 < 3$, но $\frac{1}{4} > \frac{1}{8}$, функция убывает.
Ответ: Возрастание или убывание показательной функции определяется ее основанием $a$: если $a > 1$, функция возрастает; если $0 < a < 1$, функция убывает.

2. Почему графики всех показательных функций проходят через точку (0; 1)? Ответ обоснуйте.

График любой функции проходит через некоторую точку, если координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Показательная функция имеет вид $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \neq 1$. Рассмотрим точку с координатами $(0; 1)$.
Чтобы проверить, принадлежит ли эта точка графику, подставим её координаты в уравнение функции. Абсцисса точки $x = 0$, а ордината $y = 1$.
Подставляем $x = 0$ в формулу $y = a^x$:
$y = a^0$.
Согласно свойству степени, любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице. Так как по определению показательной функции её основание $a$ строго положительно ($a > 0$), то $a^0 = 1$ для любого допустимого значения $a$.
Таким образом, при $x = 0$ значение функции $y$ всегда равно 1, независимо от основания $a$. Это означает, что точка $(0; 1)$ принадлежит графику любой показательной функции.
Ответ: График любой показательной функции $y = a^x$ проходит через точку $(0; 1)$, потому что при подстановке $x = 0$ в уравнение функции получается $y = a^0 = 1$, что справедливо для любого основания $a > 0, a \neq 1$.

3. Почему функция $y=a^x, a>0, a\neq1$ ограничена снизу, но неограничена сверху (рассмотрите случаи $a>1$ и $0

Функция $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$) ограничена снизу, потому что значение $a^x$ всегда положительно. Основание $a$ — положительное число, и возведение положительного числа в любую действительную степень всегда дает положительный результат. Таким образом, $y = a^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что все значения функции лежат выше оси абсцисс, и функция ограничена снизу, например, числом 0. Область значений функции — $(0; +\infty)$.
Чтобы доказать, что функция не ограничена сверху, рассмотрим два случая для основания $a$.
1. Случай $a > 1$. В этом случае показательная функция является возрастающей. При неограниченном увеличении аргумента $x$ (когда $x \to +\infty$), значение функции $a^x$ также неограниченно возрастает. Математически это записывается как $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$. Это означает, что для любого, сколь угодно большого числа $M$, можно найти такое значение $x$, что $a^x > M$. Следовательно, функция не ограничена сверху.
2. Случай $0 < a < 1$. В этом случае показательная функция является убывающей. Рассмотрим поведение функции при неограниченном уменьшении аргумента $x$ (когда $x \to -\infty$). Пусть $x = -t$, где $t \to +\infty$. Тогда $y = a^x = a^{-t} = (\frac{1}{a})^t$. Поскольку $0 < a < 1$, то основание новой степени $b = \frac{1}{a}$ будет больше единицы ($b > 1$). При $t \to +\infty$, значение $b^t$ неограниченно возрастает. Таким образом, $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$. Это означает, что и в этом случае для любого, сколь угодно большого числа $M$, можно найти такое значение $x$, что $a^x > M$. Следовательно, функция не ограничена сверху.
Ответ: Функция $y = a^x$ ограничена снизу числом 0, так как $a > 0$ и, следовательно, $a^x > 0$ для любого $x$. Она не ограничена сверху, потому что при $a > 1$ значения функции неограниченно растут при $x \to +\infty$, а при $0 < a < 1$ — при $x \to -\infty$.