Номер 145, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

145. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=f(x)$ на $[a; b]:$

1) $f(x)=x^{\frac{3}{2}}$, $[1; 9];$

2) $f(x)=x^{-5}$, $[2; 3];$

3) $f(x)=x^{-\frac{2}{3}}$, $[8; 27];$

4) $f(x)=x^{-\frac{1}{4}}$, $[1; 16].$

1) f(x) = x^3/2, [1; 9]

Дано:

Функция $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$

Отрезок $[1; 9]$

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке, найдем ее производную и критические точки. Затем сравним значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка.

Производная функции $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ равна:

$f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$.

Критическая точка $x=0$ не принадлежит отрезку $[1; 9]$.

Поскольку на интервале $(1; 9)$ производная $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} > 0$, функция является возрастающей на всем отрезке $[1; 9]$. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(1) = 1^{\frac{3}{2}} = 1$

$f(9) = 9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 9]$ равно 1, а наибольшее равно 27.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $27$.

2) f(x) = x^-5, [2; 3]

Дано:

Функция $f(x) = x^{-5}$

Отрезок $[2; 3]$

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

Найдем производную функции $f(x) = x^{-5}$.

$f'(x) = -5x^{-5-1} = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $f'(x) = 0$.

$-\frac{5}{x^6} = 0$

Это уравнение не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[2; 3]$.

Поскольку на интервале $(2; 3)$ производная $f'(x) = -\frac{5}{x^6} < 0$, функция является убывающей на всем отрезке $[2; 3]$. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(2) = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

$f(3) = 3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$

Сравнивая значения, получаем, что наибольшее значение равно $\frac{1}{32}$, а наименьшее равно $\frac{1}{243}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{243}$, наибольшее значение $\frac{1}{32}$.

3) f(x) = x^-2/3, [8; 27]

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$

Отрезок $[8; 27]$

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

Найдем производную функции $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$.

$f'(x) = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$

Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$-\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}} = 0$

Уравнение не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в отрезок $[8; 27]$.

На интервале $(8; 27)$ производная $f'(x) < 0$, так как $x>0$. Следовательно, функция убывает на всем отрезке $[8; 27]$. Наибольшее значение будет в точке $x=8$, а наименьшее — в точке $x=27$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(8) = 8^{-\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

$f(27) = 27^{-\frac{2}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^{-2} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $\frac{1}{4}$, а наименьшее — $\frac{1}{9}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{9}$, наибольшее значение $\frac{1}{4}$.

4) f(x) = x^-1/4, [1; 16]

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\frac{1}{4}}$

Отрезок $[1; 16]$

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

Найдем производную функции $f(x) = x^{-\frac{1}{4}}$.

$f'(x) = -\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{4}-1} = -\frac{1}{4}x^{-\frac{5}{4}} = -\frac{1}{4\sqrt[4]{x^5}}$

Производная $f'(x)$ никогда не равна нулю. Она не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 16]$.

Для всех $x$ из отрезка $[1; 16]$ производная $f'(x) < 0$, значит, функция является убывающей на этом отрезке. Наибольшее значение достигается в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(1) = 1^{-\frac{1}{4}} = 1$

$f(16) = 16^{-\frac{1}{4}} = (16^{\frac{1}{4}})^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Таким образом, наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее — $\frac{1}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{2}$, наибольшее значение $1$.