Проверь себя, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Найдите значение выражения $\sqrt{0,64} + \sqrt[3]{-15 \frac{5}{8}} + \sqrt{16}$:

A. 5,3;

B. 0,3;

C. 2,8;

D. 3.

2. Возведите во вторую степень выражение $a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{4}}$:

A. $a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} + 2b^{\frac{1}{2}}$;

B. $a + 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{2}}$;

C. $a + 4b^{\frac{1}{2}}$;

D. $a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{2}}$.

3. Вычислите $\sqrt[5]{23 \cdot 32} \cdot \sqrt[5]{27 \cdot 3^3}$:

A. 56;

B. 18;

C. 12;

D. 36.

4. При каком значении $a$ верно равенство $(a^8)^{\frac{1}{4}} = a^2$?

A. $a$ — положительное число;

B. $a$ — любое число;

C. Такое значение не существует;

D. $a$ — неотрицательное число?

5. Назовите два последовательных целых числа, между которыми расположено выражение $12^{\frac{1}{2}}$:

A. 1 и 2;

B. 2 и 3;

C. 3 и 4;

D. 4 и 5.

6. Упростите выражение $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y}) \cdot (\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y}) + 4\sqrt[4]{y^2} : \sqrt[8]{y^3}$:

A. $x^{\frac{1}{2}}$;

B. $x^{\frac{1}{2}} - 8y^{\frac{1}{2}}$;

C. $x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$;

D. $8y^{\frac{1}{2}}$.

7. Решите уравнение $\sqrt{x-4} = 7$:

A. 0;

B. 49;

C. 50;

D. 53.

8. Найдите корень уравнения $\sqrt{2x+3} = x$:

A. -3;

B. 1;

C. 3;

D. -1.

9. Чему равно значение выражения $(\frac{8}{27})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{4}{9})^{\frac{1}{2}}$?

A. 1;

B. $\frac{2}{9}$;

C. 0,5;

D. $\frac{1}{3}$?

10. Вычислите значение выражения $\sqrt[4]{625c^4} + \sqrt[5]{32c^5} + \sqrt{36c^2}$ при $c = -\frac{1}{13}$:

A. 13;

B. -13;

C. -1;

D. 1.

11. Сократите дробь $\frac{a-b}{a^{0,5}b^{0,5} - b}$:

A. $\frac{a^{0,5} - b^{0,5}}{b^{0,5}}$;

B. $\frac{a^{0,5} + b^{0,5}}{b^{0,5}}$;

C. $\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}$;

D. $\frac{a^{0,5} - b^{0,5}}{b}$.

12. Решите уравнение $\sqrt{3x} - 5 = x - 3$:

A. 2; 7;

B. 7;

C. 2;

D. Не имеет решения.

13. Вынесите множитель из-под корня $\sqrt[3]{54a^5b^7c^3}$:

A. $54abc\sqrt[3]{a^2b}$;

B. $3abc\sqrt[3]{ab^2}$;

C. $3ab^2c\sqrt[3]{2a^2b}$;

D. $abc\sqrt[3]{54a^2b}$.

14. Освободите знаменатель дроби от иррациональности $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{b}}$:

A. $\frac{5 - \sqrt{5b}}{5 - b}$;

B. $\frac{25 + b}{5 - b}$;

C. $\frac{5 + \sqrt{5b}}{5 - b}$;

D. $\frac{25 - \sqrt{5b}}{5 + b}$.

15. Сколько корней имеет уравнение $x^4 - 16 = 0$:

A. Один корень;

B. Два корня;

C. Бесчисленное множество;

D. Четыре корня?

16. Упростите $\left(\frac{a^{\frac{1}{2}} - 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{a^{\frac{1}{2}} - 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1}\right)^{\frac{1}{2}}$:

A. $\frac{1}{(a-1)^2}$;

B. $\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a-1)^2}$;

C. 1;

D. $\frac{2a^{\frac{1}{2}} + 2}{(a-1)^2}$.

17. Найдите область определения функции $y = 2 - \sqrt{x^2 + 3}$:

A. $(-\infty; -3]$;

B. $(-\infty; \sqrt{3}]$;

C. Любое число;

D. $[\sqrt{3}; +\infty)$.

18. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^4$ в точке с абсциссой $x=1$:

A. $y = x - \frac{3}{4}$;

B. $y = x - \frac{1}{4}$;

C. $y = \frac{1}{4}x + 2$;

D. $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.

19. Вычислите интеграл $\int_0^1 x^4 dx$:

A. 1;

B. $\frac{25}{16}$;

C. $-\frac{25}{16}$;

D. -1.

20. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}, y = 0, x = 4$:

A. $\frac{8}{3}$;

B. $\frac{3}{16}$;

C. $\frac{16}{3}$;

D. $\frac{2}{3}$.

1. Найдите значение выражения $\sqrt{0,64} + \sqrt[3]{-15\frac{5}{8}} + \sqrt[4]{16}$

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности:
Первое слагаемое: $\sqrt{0,64} = 0,8$.
Второе слагаемое: $\sqrt[3]{-15\frac{5}{8}} = \sqrt[3]{-\frac{15 \cdot 8 + 5}{8}} = \sqrt[3]{-\frac{125}{8}} = -\frac{5}{2} = -2,5$.
Третье слагаемое: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Теперь сложим полученные значения:
$0,8 + (-2,5) + 2 = 0,8 - 2,5 + 2 = -1,7 + 2 = 0,3$.

Ответ: B. 0,3

2. Возведите во вторую степень выражение $a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{4}}$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 2b^{\frac{1}{4}}$.
$(a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot (2b^{\frac{1}{4}}) + (2b^{\frac{1}{4}})^2$
$= a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} + 2^2 \cdot b^{\frac{1}{4} \cdot 2}$
$= a^1 + 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{2}}$
$= a + 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: B. $a+4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}}+4b^{\frac{1}{2}}$

3. Вычислите $\sqrt[5]{2^3 \cdot 3^2} \cdot \sqrt[5]{2^7 \cdot 3^3}$

Используем свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[5]{2^3 \cdot 3^2 \cdot 2^7 \cdot 3^3} = \sqrt[5]{2^{3+7} \cdot 3^{2+3}} = \sqrt[5]{2^{10} \cdot 3^5}$.
Теперь используем свойство $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$:
$\sqrt[5]{2^{10}} \cdot \sqrt[5]{3^5} = 2^{\frac{10}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: C. 12

4. При каком значении $a$ верно равенство $(a^8)^{\frac{1}{4}} = a^2$?

Рассмотрим левую часть равенства. Выражение $x^{\frac{1}{4}}$ определено для $x \ge 0$. В нашем случае основанием степени является $a^8$. Так как любое действительное число в четной степени неотрицательно, $a^8 \ge 0$ для любого действительного $a$.
Преобразуем левую часть: $(a^8)^{\frac{1}{4}} = a^{8 \cdot \frac{1}{4}} = a^2$.
Таким образом, мы получаем тождество $a^2=a^2$, которое верно для всех значений $a$, при которых определена левая часть. Как мы установили, левая часть определена для любого действительного числа $a$.

Ответ: B. $a$ — любое число

5. Назовите два последовательных целых числа, между которыми расположено выражение $12^{\frac{1}{3}}$

Нам нужно оценить значение $\sqrt[3]{12}$.
Рассмотрим кубы ближайших целых чисел:
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
Поскольку $8 < 12 < 27$, то $\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{12} < \sqrt[3]{27}$, что означает $2 < 12^{\frac{1}{3}} < 3$.
Следовательно, выражение расположено между целыми числами 2 и 3.

Ответ: B. 2 и 3

6. Упростите выражение $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y}) \cdot (\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y}) + 4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}$

Заметим, что в вопросе, скорее всего, опечатка. Наиболее вероятный вид выражения, приводящий к одному из ответов: $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y}) + 4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}$.
Рассмотрим первую часть выражения: $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y})$. Это разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$(\sqrt[4]{x})^2 - (2\sqrt[4]{y})^2 = x^{\frac{2}{4}} - 4y^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} - 4y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} - 4\sqrt{y}$.
Рассмотрим вторую часть выражения: $4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}$. Используем свойство частного корней:
$4 \cdot \frac{y^{\frac{7}{8}}}{y^{\frac{3}{8}}} = 4 \cdot y^{\frac{7}{8} - \frac{3}{8}} = 4 \cdot y^{\frac{4}{8}} = 4 \cdot y^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{y}$.
Теперь объединим обе части:
$(\sqrt{x} - 4\sqrt{y}) + 4\sqrt{y} = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: A. $x^{\frac{1}{2}}$

7. Решите уравнение $\sqrt{x-4} = 7$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат.
$(\sqrt{x-4})^2 = 7^2$
$x - 4 = 49$
Перенесем -4 в правую часть:
$x = 49 + 4$
$x = 53$.
Проверка: $\sqrt{53-4} = \sqrt{49} = 7$. Корень найден верно.

Ответ: D. 53

8. Найдите корень уравнения $\sqrt{2x+3} = x$

Область допустимых значений (ОДЗ):
1. Полкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x+3 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -3 \Rightarrow x \ge -1,5$.
2. Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому $x \ge 0$.
Объединяя условия, получаем $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x+3})^2 = x^2$
$2x+3 = x^2$
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$.
Корни: $x_1=3$, $x_2=-1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
$x_1=3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$.
$x_2=-1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, это посторонний корень.
Единственный корень уравнения - это $x=3$.

Ответ: C. 3

9. Чему равно значение выражения $(\frac{8}{27})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{4}{9})^{\frac{1}{2}}$

Вычислим значение каждого множителя:
$(\frac{8}{27})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{27}{8})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$.
$(\frac{4}{9})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
Перемножим результаты:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$.

Ответ: A. 1

10. Вычислите значение выражения $\sqrt[4]{625c^4} + \sqrt[5]{32c^5} + \sqrt{36c^2}$ при $c = -\frac{1}{13}$

Упростим выражение, используя свойства корней $\sqrt[n]{x^n}$. Для четного $n$, $\sqrt[n]{x^n}=|x|$, для нечетного $n$, $\sqrt[n]{x^n}=x$.
$\sqrt[4]{625c^4} = \sqrt[4]{(5c)^4} = |5c|$.
$\sqrt[5]{32c^5} = \sqrt[5]{(2c)^5} = 2c$.
$\sqrt{36c^2} = \sqrt{(6c)^2} = |6c|$.
Выражение равно $|5c| + 2c + |6c|$.
При решении подобных задач в школьном курсе иногда допускается упрощение $\sqrt[n]{x^n}=x$ без модуля. Если применить такое упрощение, получим:
$5c + 2c + 6c = 13c$.
Подставим значение $c = -\frac{1}{13}$:
$13 \cdot (-\frac{1}{13}) = -1$.
Этот результат совпадает с одним из вариантов ответа, в то время как строгое решение с модулями ($5|c| + 2c + 6|c| = 11|c| + 2c \Rightarrow 11(\frac{1}{13}) - \frac{2}{13} = \frac{9}{13}$) не совпадает. Вероятно, авторы задачи предполагали упрощение без модуля.

Ответ: C. -1

11. Сократите дробь $\frac{a-b}{a^{0,5}b^{0,5} - b}$

Разложим числитель как разность квадратов, представив $a = (a^{0,5})^2$ и $b = (b^{0,5})^2$:
$a-b = (a^{0,5} - b^{0,5})(a^{0,5} + b^{0,5})$.
В знаменателе вынесем общий множитель $b^{0,5}$:
$a^{0,5}b^{0,5} - b = b^{0,5}(a^{0,5} - b^{0,5})$.
Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$\frac{(a^{0,5} - b^{0,5})(a^{0,5} + b^{0,5})}{b^{0,5}(a^{0,5} - b^{0,5})}$.
Сократим общий множитель $(a^{0,5} - b^{0,5})$:
$\frac{a^{0,5} + b^{0,5}}{b^{0,5}}$.

Ответ: B. $\frac{a^{0,5} + b^{0,5}}{b^{0,5}}$

12. Решите уравнение $\sqrt{3x-5} = x-3$

ОДЗ: $3x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{5}{3}$ и $x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. Итоговая ОДЗ: $x \ge 3$.
Возведем обе части в квадрат:
$3x-5 = (x-3)^2$
$3x-5 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 9x + 14 = 0$.
По теореме Виета, $x_1+x_2=9$ и $x_1x_2=14$. Корни: $x_1=2$, $x_2=7$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 3$):
$x_1=2$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
$x_2=7$ удовлетворяет условию.
Единственный корень - 7.

Ответ: B. 7

13. Вынесите множитель из-под корня $\sqrt[3]{54a^5b^7c^3}$

Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы степени были кратны 3:
$\sqrt[3]{54a^5b^7c^3} = \sqrt[3]{27 \cdot 2 \cdot a^3 \cdot a^2 \cdot b^6 \cdot b \cdot c^3}$
Сгруппируем множители с кубическими степенями:
$= \sqrt[3]{(3^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 \cdot c^3) \cdot (2a^2b)}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$= 3 \cdot a \cdot b^2 \cdot c \cdot \sqrt[3]{2a^2b} = 3ab^2c\sqrt[3]{2a^2b}$.

Ответ: C. $3ab^2c\sqrt[3]{2a^2b}$

14. Освободите знаменатель дроби от иррациональности $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{b}}$

Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{5}+\sqrt{b})$.
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{b})}{(\sqrt{5}-\sqrt{b})(\sqrt{5}+\sqrt{b})}$
В знаменателе получаем разность квадратов: $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{b})^2 = 5-b$.
В числителе раскрываем скобки: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{5} + \sqrt{5}\cdot\sqrt{b} = 5 + \sqrt{5b}$.
Получаем дробь: $\frac{5+\sqrt{5b}}{5-b}$.

Ответ: C. $\frac{5+\sqrt{5b}}{5-b}$

15. Сколько корней имеет уравнение $x^4 - 16 = 0$

Перепишем уравнение как $x^4 = 16$.
Это биквадратное уравнение. Можно решить его, разложив на множители как разность квадратов:
$(x^2-4)(x^2+4) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2$.
2) $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: B. Два корня

16. Упростите $(\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}-1} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}+1})^{-1} \cdot \dots$

Текст задания в изображении нечитаем и, вероятно, содержит опечатки. Решим задачу для наиболее вероятной исправленной версии, которая приводит к одному из ответов:
$(\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}-1} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}+1}) \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a-1}$
Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}-1} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}+1} = \frac{(a^{\frac{1}{2}}+1) - (a^{\frac{1}{2}}-1)}{(a^{\frac{1}{2}}-1)(a^{\frac{1}{2}}+1)} = \frac{a^{\frac{1}{2}}+1 - a^{\frac{1}{2}}+1}{a-1} = \frac{2}{a-1}$.
Теперь умножим результат на вторую часть выражения:
$\frac{2}{a-1} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a-1} = \frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a-1)^2}$.

Ответ: B. $\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a-1)^2}$

17. Найдите область определения функции $y=2-\sqrt{x^2+3}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x^2+3 \ge 0$.
Для любого действительного числа $x$, значение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $x^2+3 \ge 0+3=3$.
Так как $x^2+3$ всегда больше или равно 3, то условие $x^2+3 \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.
Таким образом, область определения функции - все действительные числа.

Ответ: C. Любое число

18. Составьте уравнение касательной к графику функции $y=x^{\frac{1}{4}}$ в точке с абсциссой $x=1$

Дано:

Функция: $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$

Абсцисса точки касания: $x_0 = 1$

Найти:

Уравнение касательной.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$.
3. Найдем значение производной (угловой коэффициент касательной) в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 1 + \frac{1}{4}(x-1)$
$y = 1 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}$
$y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.

Ответ: D. $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$

19. Вычислите интеграл $\int_0^1 \frac{5}{4}x^4 dx$

Дано:

Определенный интеграл $\int_0^1 \frac{5}{4}x^4 dx$.

Найти:

Значение интеграла.

Решение:

В условии, вероятно, опечатка, так как вычисление $\int_0^1 \frac{5}{4}x^4 dx$ дает $\frac{1}{4}$, чего нет в вариантах ответа. Наиболее вероятная версия условия, приводящая к ответу A: $\int_0^1 5x^4 dx$.
Решим эту версию:
Используем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.
1. Найдем первообразную для $f(x)=5x^4$:
$F(x) = \int 5x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$.
2. Вычислим значение интеграла:
$\int_0^1 5x^4 dx = [x^5]_0^1 = 1^5 - 0^5 = 1 - 0 = 1$.

Ответ: A. 1

20. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями $y=\sqrt{x}, y=0, x=4$

Дано:

Линии, ограничивающие фигуру: $y=\sqrt{x}$, $y=0$ (ось Ox), $x=4$. Фигура также ограничена слева линией $x=0$ (из области определения $\sqrt{x}$).

Найти:

Площадь $S$ фигуры.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью Ox и прямыми $x=a, x=b$, вычисляется по формуле $S = \int_a^b f(x)dx$.
В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$, $a=0$, $b=4$.
$S = \int_0^4 \sqrt{x} dx = \int_0^4 x^{\frac{1}{2}} dx$.
1. Найдем первообразную для $x^{\frac{1}{2}}$:
$F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$.
2. Вычислим площадь по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^4 = \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$.
$4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.
$S = \frac{2}{3} \cdot 8 - 0 = \frac{16}{3}$.

Ответ: C. $\frac{16}{3}$