Номер 153, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

153. Найдите множество значений функции $y=f(x)$:

1) $f(x) = 0,24^x + 3$;

2) $f(x) = \left(\frac{3}{4}\right)^x - 2$;

3) $f(x) = -7^x + 1$;

4) $f(x) = 36^x - 4$.

1) f(x) = 0,24^x + 3;
Чтобы найти множество значений функции, проанализируем её структуру. Она состоит из показательной части $0,24^x$ и константы +3.
Множество значений для любой показательной функции вида $y=a^x$ (где $a>0$ и $a \neq 1$) есть интервал $(0; +\infty)$. В нашем случае, основание $a=0,24$.
Следовательно, $0,24^x > 0$ для любого действительного $x$.
Прибавление константы +3 к функции сдвигает её график на 3 единицы вверх. Таким образом, мы прибавляем 3 к обеим частям неравенства:
$0,24^x + 3 > 0 + 3$
$f(x) > 3$
Множество значений функции - это все числа, строго большие 3.
Ответ: $E(f) = (3; +\infty)$.

2) f(x) = (\frac{3}{4})^x - 2;
Данная функция является показательной функцией $(\frac{3}{4})^x$, смещенной по вертикали.
Множество значений показательной функции $g(x) = (\frac{3}{4})^x$ (основание $a = \frac{3}{4}$ удовлетворяет $0 < a < 1$) — это интервал $(0; +\infty)$.
Таким образом, $(\frac{3}{4})^x > 0$ для всех $x \in R$.
Вычитание константы 2 из функции соответствует сдвигу её графика на 2 единицы вниз. Вычтем 2 из обеих частей неравенства:
$(\frac{3}{4})^x - 2 > 0 - 2$
$f(x) > -2$
Следовательно, множество значений функции — это все числа, строго большие -2.
Ответ: $E(f) = (-2; +\infty)$.

3) f(x) = -7^x + 1;
Рассмотрим сначала функцию $g(x) = 7^x$. Её множество значений — $(0; +\infty)$, так как $7^x > 0$ для любого $x$.
Функция $h(x) = -7^x$ получается из $g(x)$ путем отражения относительно оси абсцисс. Это означает, что все значения становятся отрицательными.
Умножая неравенство $7^x > 0$ на -1, получаем: $-7^x < 0$. Множество значений $h(x)$ — это $(-\infty; 0)$.
Функция $f(x) = -7^x + 1$ получается из $h(x)$ сдвигом на 1 единицу вверх. Прибавим 1 к обеим частям неравенства:
$-7^x + 1 < 0 + 1$
$f(x) < 1$
Таким образом, множество значений функции — это все числа, строго меньшие 1.
Ответ: $E(f) = (-\infty; 1)$.

4) f(x) = 36^x - 4.
Эта функция является показательной функцией $36^x$, смещенной по вертикали.
Множество значений показательной функции $g(x) = 36^x$ (основание $a = 36 > 1$) — это интервал $(0; +\infty)$.
Следовательно, $36^x > 0$ для всех действительных $x$.
Вычитание константы 4 из функции соответствует сдвигу её графика на 4 единицы вниз. Вычтем 4 из обеих частей неравенства:
$36^x - 4 > 0 - 4$
$f(x) > -4$
Следовательно, множество значений функции — это все числа, строго большие -4.
Ответ: $E(f) = (-4; +\infty)$.