Номер 156, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

156. Вычислите:

1) $4^{1-3\sqrt{2}} \cdot 64^{\sqrt{2}-1}$;

2) $\left(\left(\sqrt[3]{5}\right)^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}$;

3) $49^{\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$;

4) $6^{2\sqrt{5}+1} : 36^{\sqrt{5}}$.

1) $4^{1-3\sqrt{2}} \cdot 64^{\sqrt{2}-1}$

Решение:
Чтобы вычислить значение выражения, приведем степени к одному основанию. Заметим, что $64$ можно представить как степень числа $4$, поскольку $64 = 4^3$.
Подставим это в исходное выражение:
$4^{1-3\sqrt{2}} \cdot (4^3)^{\sqrt{2}-1}$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$4^{1-3\sqrt{2}} \cdot 4^{3(\sqrt{2}-1)} = 4^{1-3\sqrt{2}} \cdot 4^{3\sqrt{2}-3}$
Теперь, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели степеней:
$4^{(1-3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2}-3)} = 4^{1 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 3} = 4^{1-3} = 4^{-2}$
Вычисляем полученное значение:
$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$
Ответ: $\frac{1}{16}$.

2) $((\sqrt[3]{5})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$

Решение:
Для упрощения выражения воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$. Сначала представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$.
Выражение примет вид:
$((5^{\frac{1}{3}})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$
Теперь перемножим все показатели степени:
$5^{\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 5^{\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{3})^2} = 5^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 5^1 = 5$
Ответ: $5$.

3) $49^{\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$

Решение:
Приведем степени к общему основанию $7$. Мы знаем, что $49 = 7^2$.
Подставим это в выражение:
$(7^2)^{\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$
По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$:
$7^{2 \cdot \sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}} = 7^{2\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):
$7^{2\sqrt{7} - 2\sqrt{7}} = 7^0$
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
$7^0 = 1$
Ответ: $1$.

4) $6^{2\sqrt{5}+1} : 36^{\sqrt{5}}$

Решение:
Приведем степени к общему основанию $6$. Мы знаем, что $36 = 6^2$.
Подставим это в выражение:
$6^{2\sqrt{5}+1} : (6^2)^{\sqrt{5}}$
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$6^{2\sqrt{5}+1} : 6^{2\sqrt{5}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):
$6^{(2\sqrt{5}+1) - 2\sqrt{5}} = 6^{2\sqrt{5}+1 - 2\sqrt{5}} = 6^1$
Вычисляем результат:
$6^1 = 6$
Ответ: $6$.