Номер 163, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

163. Найдите значение выражения:

1) $(b^2 \cdot \sqrt{b})^{\frac{1}{5}} \cdot (b^3 \sqrt{b})^{\frac{1}{7}}$, если $b = 5$;

2) $(b^3 \sqrt{b})^{\frac{4}{7}} \cdot (b^5 \sqrt[3]{b})^{\frac{9}{16}}$, если $b = 3$;

3) $(b^3 \sqrt[3]{b})^{\frac{3}{5}} \cdot (b^2 \sqrt[4]{b})^{\frac{8}{9}}$, если $b = 2$;

4) $(b \sqrt[4]{b})^{\frac{8}{5}} \cdot (b^2 \cdot \sqrt[5]{b})^{\frac{5}{11}}$, если $b = 4$.

1)

Дано:

Выражение: $(b^2 \cdot \sqrt{b})^{\frac{1}{5}} \cdot (b^3 \sqrt{b})^{\frac{1}{7}}$, если $b = 5$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение. Будем использовать свойства степеней.

1. Представим квадратный корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$.

Тогда выражение примет вид:

$(b^2 \cdot b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} \cdot (b^3 \cdot b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{7}}$

2. Упростим выражения в скобках, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$b^2 \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{2 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{4}{2} + \frac{1}{2}} = b^{\frac{5}{2}}$

$b^3 \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{3 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{6}{2} + \frac{1}{2}} = b^{\frac{7}{2}}$

3. Подставим полученные результаты обратно в выражение:

$(b^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} \cdot (b^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{7}}$

4. Теперь применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(b^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} = b^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}} = b^{\frac{5}{10}} = b^{\frac{1}{2}}$

$(b^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{7}} = b^{\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{7}} = b^{\frac{7}{14}} = b^{\frac{1}{2}}$

5. Перемножим полученные степени:

$b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = b^1 = b$

Итак, после упрощения исходное выражение равно $b$.

6. Подставим значение $b = 5$:

Значение выражения равно 5.

Ответ: 5.

2)

Дано:

Выражение: $(b^3 \sqrt{b})^{\frac{4}{7}} \cdot (b^5 \sqrt[3]{b})^{\frac{9}{16}}$, если $b = 3$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Упростим выражение, используя свойства степеней.

1. Запишем корни в виде степеней: $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$.

Выражение преобразуется к виду:

$(b^3 \cdot b^{\frac{1}{2}})^{\frac{4}{7}} \cdot (b^5 \cdot b^{\frac{1}{3}})^{\frac{9}{16}}$

2. Упростим произведения степеней в скобках:

$b^3 \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{3 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{6}{2} + \frac{1}{2}} = b^{\frac{7}{2}}$

$b^5 \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{5 + \frac{1}{3}} = b^{\frac{15}{3} + \frac{1}{3}} = b^{\frac{16}{3}}$

3. Подставим упрощенные формы в выражение:

$(b^{\frac{7}{2}})^{\frac{4}{7}} \cdot (b^{\frac{16}{3}})^{\frac{9}{16}}$

4. Возведем степени в степень:

$(b^{\frac{7}{2}})^{\frac{4}{7}} = b^{\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7}} = b^{\frac{4}{2}} = b^2$

$(b^{\frac{16}{3}})^{\frac{9}{16}} = b^{\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{16}} = b^{\frac{9}{3}} = b^3$

5. Перемножим результаты:

$b^2 \cdot b^3 = b^{2+3} = b^5$

Упрощенное выражение равно $b^5$.

6. Подставим значение $b=3$:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$

Ответ: 243.

3)

Дано:

Выражение: $(b^3 \sqrt[3]{b})^{\frac{3}{5}} \cdot (b^2 \sqrt[4]{b})^{\frac{8}{9}}$, если $b = 2$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Проведем упрощение выражения по шагам.

1. Представим корни как степени с рациональными показателями: $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{4}}$.

Выражение примет вид:

$(b^3 \cdot b^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}} \cdot (b^2 \cdot b^{\frac{1}{4}})^{\frac{8}{9}}$

2. Упростим выражения в скобках:

$b^3 \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{3 + \frac{1}{3}} = b^{\frac{9}{3} + \frac{1}{3}} = b^{\frac{10}{3}}$

$b^2 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{2 + \frac{1}{4}} = b^{\frac{8}{4} + \frac{1}{4}} = b^{\frac{9}{4}}$

3. Подставим обратно в основное выражение:

$(b^{\frac{10}{3}})^{\frac{3}{5}} \cdot (b^{\frac{9}{4}})^{\frac{8}{9}}$

4. Применим правило возведения степени в степень:

$(b^{\frac{10}{3}})^{\frac{3}{5}} = b^{\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5}} = b^{\frac{10}{5}} = b^2$

$(b^{\frac{9}{4}})^{\frac{8}{9}} = b^{\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{9}} = b^{\frac{8}{4}} = b^2$

5. Умножим полученные степени:

$b^2 \cdot b^2 = b^{2+2} = b^4$

Упрощенное выражение равно $b^4$.

6. Подставим значение $b=2$:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Ответ: 16.

4)

Дано:

Выражение: $(b \sqrt[4]{b})^{\frac{8}{5}} \cdot (b^2 \cdot \sqrt[5]{b})^{\frac{5}{11}}$, если $b = 4$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Выполним упрощение выражения, применяя свойства степеней.

1. Заменим корни степенями: $\sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{4}}$ и $\sqrt[5]{b} = b^{\frac{1}{5}}$.

Выражение станет таким:

$(b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}})^{\frac{8}{5}} \cdot (b^2 \cdot b^{\frac{1}{5}})^{\frac{5}{11}}$

2. Сложим показатели степеней в скобках:

$b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{1 + \frac{1}{4}} = b^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} = b^{\frac{5}{4}}$

$b^2 \cdot b^{\frac{1}{5}} = b^{2 + \frac{1}{5}} = b^{\frac{10}{5} + \frac{1}{5}} = b^{\frac{11}{5}}$

3. Подставим эти результаты в выражение:

$(b^{\frac{5}{4}})^{\frac{8}{5}} \cdot (b^{\frac{11}{5}})^{\frac{5}{11}}$

4. Выполним возведение в степень (перемножим показатели):

$(b^{\frac{5}{4}})^{\frac{8}{5}} = b^{\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5}} = b^{\frac{8}{4}} = b^2$

$(b^{\frac{11}{5}})^{\frac{5}{11}} = b^{\frac{11}{5} \cdot \frac{5}{11}} = b^1 = b$

5. Перемножим полученные выражения:

$b^2 \cdot b^1 = b^{2+1} = b^3$

Результат упрощения — $b^3$.

6. Подставим данное значение $b=4$:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$

Ответ: 64.