Страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

161. Сравните:

1) $((\sqrt{3})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ и $3^{1,5}$,

2) $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}}$ и $6^{-2,25}$,

3) $(7 - 4\sqrt{3})^{-3,5}$ и $(7 - 4\sqrt{3})^{3,5}$;

4) $(5+2\sqrt{6})^{3,3}$ и $(5+2\sqrt{6})^{-3,1}$.

1)Дано: Два числа $((\sqrt{3})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ и $3^{1.5}$. Найти: Сравнить данные числа. Решение: Упростим первое выражение, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Получаем: $((\sqrt{3})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = (\sqrt{3})^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = (\sqrt{3})^2 = 3$. Теперь необходимо сравнить $3^1$ и $3^{1.5}$. Так как основание степени $3$ больше $1$, показательная функция $y = 3^x$ является возрастающей. Сравнивая показатели степеней, видим, что $1 < 1.5$. Следовательно, $3^1 < 3^{1.5}$. Ответ: $((\sqrt{3})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} < 3^{1.5}$.

2)Дано: Два числа $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}}$ и $6^{-2.25}$. Найти: Сравнить данные числа. Решение: Приведем оба выражения к одному основанию $6$. Первое выражение: $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}} = (6^{-1})^{\sqrt{5}} = 6^{-\sqrt{5}}$. Второе выражение: $6^{-2.25}$. Теперь сравним $6^{-\sqrt{5}}$ и $6^{-2.25}$. Так как основание степени $6$ больше $1$, показательная функция $y = 6^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $-\sqrt{5}$ и $-2.25$. Для этого сначала сравним положительные значения $\sqrt{5}$ и $2.25$. Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$; $(2.25)^2 = (\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16} = 5.0625$. Так как $5 < 5.0625$, то $\sqrt{5} < 2.25$. Умножив неравенство на $-1$, получим $-\sqrt{5} > -2.25$. Поскольку основание $6 > 1$ и показатель $-\sqrt{5}$ больше, чем $-2.25$, то $6^{-\sqrt{5}} > 6^{-2.25}$. Ответ: $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}} > 6^{-2.25}$.

3)Дано: Два числа $(7 - 4\sqrt{3})^{-3.5}$ и $(7 - 4\sqrt{3})^{3.5}$. Найти: Сравнить данные числа. Решение: Обозначим основание степени $a = 7 - 4\sqrt{3}$. Нам нужно сравнить $a^{-3.5}$ и $a^{3.5}$. Сначала определим, является ли основание $a$ больше $1$ или находится в интервале $(0, 1)$. Сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Возведем оба положительных числа в квадрат: $7^2 = 49$; $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, следовательно, $a = 7 - 4\sqrt{3} > 0$. Теперь сравним $a$ с $1$. Неравенство $7 - 4\sqrt{3} < 1$ равносильно $6 < 4\sqrt{3}$, или $3 < 2\sqrt{3}$. Возведем в квадрат: $3^2 = 9$; $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$. Так как $9 < 12$, то $3 < 2\sqrt{3}$, значит, $7 - 4\sqrt{3} < 1$. Таким образом, $0 < a < 1$. Для основания $a \in (0, 1)$ показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Это означает, что большему показателю степени соответствует меньшее значение функции. Сравним показатели: $-3.5$ и $3.5$. Так как $-3.5 < 3.5$, то для убывающей функции $a^{-3.5} > a^{3.5}$. Ответ: $(7 - 4\sqrt{3})^{-3.5} > (7 - 4\sqrt{3})^{3.5}$.

4)Дано: Два числа $(5 + 2\sqrt{6})^{3.3}$ и $(5 + 2\sqrt{6})^{-3.1}$. Найти: Сравнить данные числа. Решение: Обозначим основание степени $a = 5 + 2\sqrt{6}$. Нам нужно сравнить $a^{3.3}$ и $a^{-3.1}$. Очевидно, что $5 > 0$ и $2\sqrt{6} > 0$, поэтому их сумма $a = 5 + 2\sqrt{6} > 5$. Следовательно, основание $a > 1$. Для основания $a > 1$ показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Это означает, что большему показателю степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней: $3.3$ и $-3.1$. Так как $3.3 > -3.1$, то для возрастающей функции $a^{3.3} > a^{-3.1}$. Ответ: $(5 + 2\sqrt{6})^{3.3} > (5 + 2\sqrt{6})^{-3.1}$.

162. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = g(x):$

1) $g(x) = 3^{\cos x};$

2) $g(x) = 2^{\sin x};$

3) $g(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^{2 \sin x};$

4) $g(x) = 4 - 16^{\frac{1}{2}\cos x};$

1) g(x) = 3^{cos x}

Решение: Функция $g(x) = 3^{\cos x}$ является показательной функцией с основанием $a=3$, которое больше 1. Такая функция является возрастающей. Это означает, что ее наибольшее значение достигается при наибольшем значении показателя, а наименьшее — при наименьшем значении показателя. Показателем является функция $\cos x$. Область значений функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, наименьшее значение показателя равно $-1$, а наибольшее равно $1$. Наибольшее значение функции $g(x)$ будет при $\cos x = 1$: $g_{наиб} = 3^1 = 3$. Наименьшее значение функции $g(x)$ будет при $\cos x = -1$: $g_{наим} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Ответ: Наибольшее значение: $3$, наименьшее значение: $\frac{1}{3}$.

2) g(x) = 2^{sin x}

Решение: Функция $g(x) = 2^{\sin x}$ является показательной функцией с основанием $a=2 > 1$, поэтому она возрастающая. Ее наибольшее и наименьшее значения достигаются при наибольшем и наименьшем значениях показателя $\sin x$ соответственно. Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Наибольшее значение показателя равно $1$. Наименьшее значение показателя равно $-1$. Таким образом, наибольшее значение функции $g(x)$ равно: $g_{наиб} = 2^1 = 2$. Наименьшее значение функции $g(x)$ равно: $g_{наим} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. Ответ: Наибольшее значение: $2$, наименьшее значение: $\frac{1}{2}$.

3) g(x) = (1/8)^{2 sin x}

Решение: Функция $g(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^{2 \sin x}$ является показательной функцией с основанием $a = \frac{1}{8}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что наибольшее значение функции достигается при наименьшем значении показателя, а наименьшее значение функции — при наибольшем значении показателя. Показатель степени равен $2 \sin x$. Поскольку область значений $\sin x$ есть $[-1, 1]$, то область значений показателя $2 \sin x$ есть $[2 \cdot (-1), 2 \cdot 1]$, то есть $[-2, 2]$. Наименьшее значение показателя равно $-2$. Наибольшее значение показателя равно $2$. Следовательно, наибольшее значение функции $g(x)$ (при показателе $-2$): $g_{наиб} = \left(\frac{1}{8}\right)^{-2} = (8^{-1})^{-2} = 8^2 = 64$. Наименьшее значение функции $g(x)$ (при показателе $2$): $g_{наим} = \left(\frac{1}{8}\right)^{2} = \frac{1}{64}$. Ответ: Наибольшее значение: $64$, наименьшее значение: $\frac{1}{64}$.

4) g(x) = 4 - 16^{(1/2)cos x}

Решение: Сначала преобразуем функцию $g(x) = 4 - 16^{\frac{1}{2}\cos x}$. Упростим показательное выражение: $16^{\frac{1}{2}\cos x} = (4^2)^{\frac{1}{2}\cos x} = 4^{2 \cdot \frac{1}{2}\cos x} = 4^{\cos x}$. Таким образом, функция имеет вид $g(x) = 4 - 4^{\cos x}$. Найдем область значений выражения $h(x) = 4^{\cos x}$. Это показательная функция с основанием $a=4 > 1$, которая является возрастающей. Область значений показателя $\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Наименьшее значение $h(x)$ достигается при $\cos x = -1$ и равно $4^{-1} = \frac{1}{4}$. Наибольшее значение $h(x)$ достигается при $\cos x = 1$ и равно $4^1 = 4$. Значит, область значений $h(x)$ есть $[\frac{1}{4}, 4]$. Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения исходной функции $g(x) = 4 - h(x)$. Наибольшее значение $g(x)$ достигается, когда вычитаемое $h(x)$ минимально: $g_{наиб} = 4 - \min(h(x)) = 4 - \frac{1}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}$. Наименьшее значение $g(x)$ достигается, когда вычитаемое $h(x)$ максимально: $g_{наим} = 4 - \max(h(x)) = 4 - 4 = 0$. Ответ: Наибольшее значение: $\frac{15}{4}$, наименьшее значение: $0$.

163. Найдите значение выражения:

1) $(b^2 \cdot \sqrt{b})^{\frac{1}{5}} \cdot (b^3 \sqrt{b})^{\frac{1}{7}}$, если $b = 5$;

2) $(b^3 \sqrt{b})^{\frac{4}{7}} \cdot (b^5 \sqrt[3]{b})^{\frac{9}{16}}$, если $b = 3$;

3) $(b^3 \sqrt[3]{b})^{\frac{3}{5}} \cdot (b^2 \sqrt[4]{b})^{\frac{8}{9}}$, если $b = 2$;

4) $(b \sqrt[4]{b})^{\frac{8}{5}} \cdot (b^2 \cdot \sqrt[5]{b})^{\frac{5}{11}}$, если $b = 4$.

1)

Дано:

Выражение: $(b^2 \cdot \sqrt{b})^{\frac{1}{5}} \cdot (b^3 \sqrt{b})^{\frac{1}{7}}$, если $b = 5$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Для решения задачи сначала упростим данное алгебраическое выражение. Будем использовать свойства степеней.

1. Представим квадратный корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$.

Тогда выражение примет вид:

$(b^2 \cdot b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}} \cdot (b^3 \cdot b^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{7}}$

2. Упростим выражения в скобках, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$b^2 \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{2 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{4}{2} + \frac{1}{2}} = b^{\frac{5}{2}}$

$b^3 \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{3 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{6}{2} + \frac{1}{2}} = b^{\frac{7}{2}}$

3. Подставим полученные результаты обратно в выражение:

$(b^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} \cdot (b^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{7}}$

4. Теперь применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(b^{\frac{5}{2}})^{\frac{1}{5}} = b^{\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}} = b^{\frac{5}{10}} = b^{\frac{1}{2}}$

$(b^{\frac{7}{2}})^{\frac{1}{7}} = b^{\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{7}} = b^{\frac{7}{14}} = b^{\frac{1}{2}}$

5. Перемножим полученные степени:

$b^{\frac{1}{2}} \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = b^1 = b$

Итак, после упрощения исходное выражение равно $b$.

6. Подставим значение $b = 5$:

Значение выражения равно 5.

Ответ: 5.

2)

Дано:

Выражение: $(b^3 \sqrt{b})^{\frac{4}{7}} \cdot (b^5 \sqrt[3]{b})^{\frac{9}{16}}$, если $b = 3$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Упростим выражение, используя свойства степеней.

1. Запишем корни в виде степеней: $\sqrt{b} = b^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$.

Выражение преобразуется к виду:

$(b^3 \cdot b^{\frac{1}{2}})^{\frac{4}{7}} \cdot (b^5 \cdot b^{\frac{1}{3}})^{\frac{9}{16}}$

2. Упростим произведения степеней в скобках:

$b^3 \cdot b^{\frac{1}{2}} = b^{3 + \frac{1}{2}} = b^{\frac{6}{2} + \frac{1}{2}} = b^{\frac{7}{2}}$

$b^5 \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{5 + \frac{1}{3}} = b^{\frac{15}{3} + \frac{1}{3}} = b^{\frac{16}{3}}$

3. Подставим упрощенные формы в выражение:

$(b^{\frac{7}{2}})^{\frac{4}{7}} \cdot (b^{\frac{16}{3}})^{\frac{9}{16}}$

4. Возведем степени в степень:

$(b^{\frac{7}{2}})^{\frac{4}{7}} = b^{\frac{7}{2} \cdot \frac{4}{7}} = b^{\frac{4}{2}} = b^2$

$(b^{\frac{16}{3}})^{\frac{9}{16}} = b^{\frac{16}{3} \cdot \frac{9}{16}} = b^{\frac{9}{3}} = b^3$

5. Перемножим результаты:

$b^2 \cdot b^3 = b^{2+3} = b^5$

Упрощенное выражение равно $b^5$.

6. Подставим значение $b=3$:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$

Ответ: 243.

3)

Дано:

Выражение: $(b^3 \sqrt[3]{b})^{\frac{3}{5}} \cdot (b^2 \sqrt[4]{b})^{\frac{8}{9}}$, если $b = 2$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Проведем упрощение выражения по шагам.

1. Представим корни как степени с рациональными показателями: $\sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{4}}$.

Выражение примет вид:

$(b^3 \cdot b^{\frac{1}{3}})^{\frac{3}{5}} \cdot (b^2 \cdot b^{\frac{1}{4}})^{\frac{8}{9}}$

2. Упростим выражения в скобках:

$b^3 \cdot b^{\frac{1}{3}} = b^{3 + \frac{1}{3}} = b^{\frac{9}{3} + \frac{1}{3}} = b^{\frac{10}{3}}$

$b^2 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{2 + \frac{1}{4}} = b^{\frac{8}{4} + \frac{1}{4}} = b^{\frac{9}{4}}$

3. Подставим обратно в основное выражение:

$(b^{\frac{10}{3}})^{\frac{3}{5}} \cdot (b^{\frac{9}{4}})^{\frac{8}{9}}$

4. Применим правило возведения степени в степень:

$(b^{\frac{10}{3}})^{\frac{3}{5}} = b^{\frac{10}{3} \cdot \frac{3}{5}} = b^{\frac{10}{5}} = b^2$

$(b^{\frac{9}{4}})^{\frac{8}{9}} = b^{\frac{9}{4} \cdot \frac{8}{9}} = b^{\frac{8}{4}} = b^2$

5. Умножим полученные степени:

$b^2 \cdot b^2 = b^{2+2} = b^4$

Упрощенное выражение равно $b^4$.

6. Подставим значение $b=2$:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Ответ: 16.

4)

Дано:

Выражение: $(b \sqrt[4]{b})^{\frac{8}{5}} \cdot (b^2 \cdot \sqrt[5]{b})^{\frac{5}{11}}$, если $b = 4$.

Найти:

Значение выражения.

Решение:

Выполним упрощение выражения, применяя свойства степеней.

1. Заменим корни степенями: $\sqrt[4]{b} = b^{\frac{1}{4}}$ и $\sqrt[5]{b} = b^{\frac{1}{5}}$.

Выражение станет таким:

$(b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}})^{\frac{8}{5}} \cdot (b^2 \cdot b^{\frac{1}{5}})^{\frac{5}{11}}$

2. Сложим показатели степеней в скобках:

$b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{1 + \frac{1}{4}} = b^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}} = b^{\frac{5}{4}}$

$b^2 \cdot b^{\frac{1}{5}} = b^{2 + \frac{1}{5}} = b^{\frac{10}{5} + \frac{1}{5}} = b^{\frac{11}{5}}$

3. Подставим эти результаты в выражение:

$(b^{\frac{5}{4}})^{\frac{8}{5}} \cdot (b^{\frac{11}{5}})^{\frac{5}{11}}$

4. Выполним возведение в степень (перемножим показатели):

$(b^{\frac{5}{4}})^{\frac{8}{5}} = b^{\frac{5}{4} \cdot \frac{8}{5}} = b^{\frac{8}{4}} = b^2$

$(b^{\frac{11}{5}})^{\frac{5}{11}} = b^{\frac{11}{5} \cdot \frac{5}{11}} = b^1 = b$

5. Перемножим полученные выражения:

$b^2 \cdot b^1 = b^{2+1} = b^3$

Результат упрощения — $b^3$.

6. Подставим данное значение $b=4$:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$

Ответ: 64.

164. Найдите число точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x):$

1) $f(x) = 5^x$ и $g(x) = 6 - x;$

2) $f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$ и $g(x) = 3 - x;$

3) $f(x) = 2^x - 2$ и $g(x) = 1 - x;$

4) $f(x) = 3^{-x}$ и $g(x) = -\frac{3}{x}.$

1) f(x) = 5^x и g(x) = 6 − x;

Чтобы найти число точек пересечения графиков функций $f(x)$ и $g(x)$, необходимо найти количество решений уравнения $f(x) = g(x)$, то есть $5^x = 6 - x$.Функция $f(x) = 5^x$ является показательной с основанием $5 > 1$, поэтому она строго возрастает на всей области определения.Функция $g(x) = 6 - x$ является линейной с угловым коэффициентом $-1$, поэтому она строго убывает на всей области определения.Строго возрастающая и строго убывающая функции могут пересекаться не более одного раза.Проверим, есть ли у уравнения $5^x = 6 - x$ корень. Методом подбора легко найти, что при $x = 1$ левая часть равна $5^1 = 5$, и правая часть равна $6 - 1 = 5$.Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=1$, и графики функций пересекаются в одной точке.

Ответ: 1

2) f(x) = (1/4)^x и g(x) = 3 − x;

Рассмотрим уравнение $(\frac{1}{4})^x = 3 - x$.Функция $f(x) = (\frac{1}{4})^x$ — показательная, строго убывающая и выпуклая вниз.Функция $g(x) = 3 - x$ — линейная, строго убывающая.Прямая и выпуклая функция могут пересекаться не более двух раз.Введем вспомогательную функцию $h(x) = (\frac{1}{4})^x - (3 - x) = 4^{-x} + x - 3$. Найдем количество нулей этой функции.Ее производная $h'(x) = - \ln(4) \cdot 4^{-x} + 1$. Приравняем к нулю: $1 = \ln(4) \cdot 4^{-x}$, откуда $4^x = \ln(4)$, то есть $x_0 = \log_4(\ln 4) \approx 0.24$. Это точка единственного экстремума (минимума), так как вторая производная $h''(x) = (\ln 4)^2 \cdot 4^{-x} > 0$.Значение функции в точке минимума $h(x_0) < 0$.Пределы функции $h(x)$ на бесконечности: $\lim_{x \to \pm\infty} h(x) = +\infty$.Так как функция $h(x)$ непрерывна, убывает до отрицательного минимума, а затем возрастает, и ее пределы на $\pm\infty$ равны $+\infty$, она пересекает ось абсцисс дважды. Следовательно, графики имеют две точки пересечения. Один из корней можно найти подбором: при $x = -1$ имеем $(\frac{1}{4})^{-1} = 4$ и $3 - (-1) = 4$.

Ответ: 2

3) f(x) = 2^x − 2 и g(x) = 1 − x;

Приравняем функции: $2^x - 2 = 1 - x$, что эквивалентно уравнению $2^x + x - 3 = 0$.Рассмотрим функцию $h(x) = 2^x + x - 3$.Ее производная $h'(x) = 2^x \ln 2 + 1$. Поскольку $2^x > 0$ и $\ln 2 > 0$, производная $h'(x)$ всегда положительна.Это означает, что функция $h(x)$ является строго возрастающей на всей своей области определения.Следовательно, она может пересекать ось абсцисс (то есть принимать значение 0) не более одного раза.Подбором находим, что при $x = 1$ получаем $h(1) = 2^1 + 1 - 3 = 0$.Таким образом, уравнение имеет единственный корень, а графики функций — одну точку пересечения.

Ответ: 1

4) f(x) = 3^−x и g(x) = −3/x.

Рассмотрим уравнение $3^{-x} = -\frac{3}{x}$.Функция $f(x) = 3^{-x} = (\frac{1}{3})^x$ всегда положительна ($f(x) > 0$ для любого $x$).Функция $g(x) = -\frac{3}{x}$ определена для $x \neq 0$. Она положительна при $x < 0$ и отрицательна при $x > 0$.Следовательно, точки пересечения могут существовать только при $x < 0$.Рассмотрим уравнение на интервале $(-\infty, 0)$. Перепишем его в виде $x \cdot 3^{-x} = -3$.Введем функцию $h(x) = x \cdot 3^{-x}$ для $x < 0$.Найдем ее производную: $h'(x) = (x)' \cdot 3^{-x} + x \cdot (3^{-x})' = 3^{-x} + x \cdot (- \ln 3 \cdot 3^{-x}) = 3^{-x}(1 - x \ln 3)$.На интервале $x < 0$ множитель $3^{-x}$ положителен. Так как $x < 0$ и $\ln 3 > 0$, то $-x \ln 3 > 0$, а значит и $1 - x \ln 3 > 1$.Таким образом, $h'(x) > 0$ для всех $x < 0$, и функция $h(x)$ строго возрастает на этом интервале.Пределы $h(x)$ на границах интервала: $\lim_{x \to -\infty} x \cdot 3^{-x} = -\infty$ и $\lim_{x \to 0^{-}} x \cdot 3^{-x} = 0$.Функция $h(x)$ строго возрастает на $(-\infty, 0)$ от $-\infty$ до $0$. Значение $-3$ попадает в область значений функции, и поскольку функция монотонна, она принимает это значение ровно один раз.Подбором можно найти корень: при $x=-1$ левая часть равна $-1 \cdot 3^{-(-1)} = -1 \cdot 3 = -3$.Следовательно, существует единственная точка пересечения.

Ответ: 1