Страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

155. Напишите числа 1; 8; 32; $\frac{1}{64}$; 0,25; 0,0625 в виде степени числа 2.

Дано:

Числовой ряд: $1; 8; 32; \frac{1}{64}; 0,25; 0,0625$.

Основание степени: $2$.

Найти:

Представить каждое число из данного ряда в виде степени с основанием $2$.

Решение:

Чтобы представить каждое из данных чисел в виде степени с основанием 2, необходимо найти такой показатель степени $n$, чтобы $2^n$ было равно заданному числу. Рассмотрим каждое число по-отдельности.

1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице. Таким образом, для числа 1 имеем:
$1 = 2^0$
Ответ: $2^0$.

8 Разложим число 8 на множители, которые равны 2:
$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$
Ответ: $2^3$.

32 Разложим число 32 на множители, которые равны 2:
$32 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^5$
Ответ: $2^5$.

$\frac{1}{64}$
Сначала представим знаменатель 64 в виде степени числа 2:
$64 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^6$
Используя свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$
Ответ: $2^{-6}$.

0,25
Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:
$0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$
Теперь представим знаменатель 4 в виде степени числа 2: $4 = 2^2$.
Следовательно:
$0,25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$
Ответ: $2^{-2}$.

0,0625
Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную:
$0,0625 = \frac{625}{10000}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 625: $\frac{625 \div 625}{10000 \div 625} = \frac{1}{16}$.
Теперь представим 16 в виде степени числа 2: $16 = 2^4$.
Следовательно:
$0,0625 = \frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$
Ответ: $2^{-4}$.

156. Вычислите:

1) $4^{1-3\sqrt{2}} \cdot 64^{\sqrt{2}-1}$;

2) $\left(\left(\sqrt[3]{5}\right)^{\sqrt{3}}\right)^{\sqrt{3}}$;

3) $49^{\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$;

4) $6^{2\sqrt{5}+1} : 36^{\sqrt{5}}$.

1) $4^{1-3\sqrt{2}} \cdot 64^{\sqrt{2}-1}$

Решение:
Чтобы вычислить значение выражения, приведем степени к одному основанию. Заметим, что $64$ можно представить как степень числа $4$, поскольку $64 = 4^3$.
Подставим это в исходное выражение:
$4^{1-3\sqrt{2}} \cdot (4^3)^{\sqrt{2}-1}$
Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$:
$4^{1-3\sqrt{2}} \cdot 4^{3(\sqrt{2}-1)} = 4^{1-3\sqrt{2}} \cdot 4^{3\sqrt{2}-3}$
Теперь, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, сложим показатели степеней:
$4^{(1-3\sqrt{2}) + (3\sqrt{2}-3)} = 4^{1 - 3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 3} = 4^{1-3} = 4^{-2}$
Вычисляем полученное значение:
$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$
Ответ: $\frac{1}{16}$.

2) $((\sqrt[3]{5})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$

Решение:
Для упрощения выражения воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$. Сначала представим корень в виде степени: $\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$.
Выражение примет вид:
$((5^{\frac{1}{3}})^{\sqrt{3}})^{\sqrt{3}}$
Теперь перемножим все показатели степени:
$5^{\frac{1}{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = 5^{\frac{1}{3} \cdot (\sqrt{3})^2} = 5^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 5^1 = 5$
Ответ: $5$.

3) $49^{\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$

Решение:
Приведем степени к общему основанию $7$. Мы знаем, что $49 = 7^2$.
Подставим это в выражение:
$(7^2)^{\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$
По свойству $(a^m)^n = a^{mn}$:
$7^{2 \cdot \sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}} = 7^{2\sqrt{7}} : 7^{2\sqrt{7}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):
$7^{2\sqrt{7} - 2\sqrt{7}} = 7^0$
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
$7^0 = 1$
Ответ: $1$.

4) $6^{2\sqrt{5}+1} : 36^{\sqrt{5}}$

Решение:
Приведем степени к общему основанию $6$. Мы знаем, что $36 = 6^2$.
Подставим это в выражение:
$6^{2\sqrt{5}+1} : (6^2)^{\sqrt{5}}$
Используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:
$6^{2\sqrt{5}+1} : 6^{2\sqrt{5}}$
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$):
$6^{(2\sqrt{5}+1) - 2\sqrt{5}} = 6^{2\sqrt{5}+1 - 2\sqrt{5}} = 6^1$
Вычисляем результат:
$6^1 = 6$
Ответ: $6$.

157. Упростите:

1) $\left(\frac{1}{a}\right)^{2+\sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3}+2};$

2) $\left(a^{\sqrt{6}}\right)^{\sqrt{6}} \cdot \left(a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}}\right);$

3) $b^{3.5} : \left(b\sqrt{b^3}\right);$

4) $b^{\sqrt{5}} \cdot b^{1.4} : \sqrt[4]{b^{4\sqrt{5}}}.$

1)

Дано:

Выражение для упрощения: $(\frac{1}{a})^{2+\sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3}+2}$

Найти:

Упрощенное выражение.

Решение:

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней.

1. Представим дробь $\frac{1}{a}$ в виде степени с отрицательным показателем: $\frac{1}{a} = a^{-1}$.

Тогда выражение $(\frac{1}{a})^{2+\sqrt{3}}$ можно переписать как $(a^{-1})^{2+\sqrt{3}}$.

2. Используем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^{-1})^{2+\sqrt{3}} = a^{-1 \cdot (2+\sqrt{3})} = a^{-2-\sqrt{3}}$.

3. Теперь исходное выражение принимает вид:

$a^{-2-\sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3}+2}$.

4. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$a^{-2-\sqrt{3}} \cdot a^{\sqrt{3}+2} = a^{(-2-\sqrt{3}) + (\sqrt{3}+2)}$.

5. Сложим показатели:

$-2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} + 2 = 0$.

6. В результате получаем $a^0$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице: $x^0=1$.

$a^0 = 1$.

Ответ: 1.

2)

Дано:

Выражение для упрощения: $(a^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} \cdot (a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}})$

Найти:

Упрощенное выражение.

Решение:

Упростим выражение по частям, используя свойства степеней.

1. Упростим первый множитель $(a^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}}$, используя свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$(a^{\sqrt{6}})^{\sqrt{6}} = a^{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = a^6$.

2. Упростим второй множитель $(a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}})$. Знак ":" обозначает деление. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

$a^{\sqrt{3}+1} : a^{\sqrt{3}} = a^{(\sqrt{3}+1) - \sqrt{3}} = a^{\sqrt{3}+1-\sqrt{3}} = a^1 = a$.

3. Теперь перемножим полученные результаты:

$a^6 \cdot a$.

4. Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$a^6 \cdot a = a^6 \cdot a^1 = a^{6+1} = a^7$.

Ответ: $a^7$.

3)

Дано:

Выражение для упрощения: $b^{3,5} : (b \sqrt{b^3})$

Найти:

Упрощенное выражение.

Решение:

Для упрощения выражения преобразуем его части, используя свойства степеней и корней.

1. Упростим выражение в скобках: $b \sqrt{b^3}$.

Представим квадратный корень как степень с дробным показателем: $\sqrt{b^3} = (b^3)^{1/2}$.

Используя свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем: $(b^3)^{1/2} = b^{3 \cdot \frac{1}{2}} = b^{3/2}$.

Теперь выражение в скобках имеет вид: $b \cdot b^{3/2}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: $b \cdot b^{3/2} = b^1 \cdot b^{3/2} = b^{1 + \frac{3}{2}} = b^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} = b^{5/2}$.

2. Исходное выражение теперь выглядит так: $b^{3,5} : b^{5/2}$.

3. Переведем десятичный показатель степени в дробный для удобства вычислений: $3.5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.

Выражение принимает вид: $b^{7/2} : b^{5/2}$.

4. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

$b^{7/2} : b^{5/2} = b^{\frac{7}{2} - \frac{5}{2}} = b^{\frac{2}{2}} = b^1 = b$.

Ответ: $b$.

4)

Дано:

Выражение для упрощения: $b^{\sqrt{5}} \cdot b^{1,4} : \sqrt[4]{b^{4\sqrt{5}}}$

Найти:

Упрощенное выражение.

Решение:

Упростим выражение по частям, выполняя действия по порядку.

1. Сначала рассмотрим делитель $\sqrt[4]{b^{4\sqrt{5}}}$.

Используем свойство корня $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$:

$\sqrt[4]{b^{4\sqrt{5}}} = (b^{4\sqrt{5}})^{1/4} = b^{\frac{4\sqrt{5}}{4}} = b^{\sqrt{5}}$.

2. Теперь исходное выражение можно записать как:

$(b^{\sqrt{5}} \cdot b^{1,4}) : b^{\sqrt{5}}$.

3. Выполним умножение в скобках. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$b^{\sqrt{5}} \cdot b^{1,4} = b^{\sqrt{5} + 1,4}$.

4. Теперь выполним деление:

$b^{\sqrt{5} + 1,4} : b^{\sqrt{5}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

$b^{\sqrt{5} + 1,4} : b^{\sqrt{5}} = b^{(\sqrt{5} + 1,4) - \sqrt{5}} = b^{\sqrt{5} + 1,4 - \sqrt{5}} = b^{1,4}$.

Ответ: $b^{1,4}$.

158. Найдите число точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$:

1) $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 3x$;

2) $f(x) = \left(\frac{1}{6}\right)^x$ и $g(x) = x^2$;

3) $f(x) = 7^x$ и $g(x) = \frac{1}{x}$;

4) $f(x) = \left(\frac{3}{4}\right)^x$ и $g(x) = x^3$?

1) f(x) = 3^x и g(x) = 3x

Чтобы найти число точек пересечения графиков, необходимо найти количество решений уравнения $f(x) = g(x)$, то есть $3^x = 3x$. Решить это уравнение аналитически сложно, поэтому воспользуемся графическим и аналитическим методами.

Рассмотрим функцию $h(x) = f(x) - g(x) = 3^x - 3x$. Число точек пересечения равно числу корней уравнения $h(x) = 0$. Найдем производную функции $h(x)$: $h'(x) = (3^x - 3x)' = 3^x \ln 3 - 3$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: $3^x \ln 3 - 3 = 0 \implies 3^x = \frac{3}{\ln 3}$. $x = \log_3\left(\frac{3}{\ln 3}\right) = \log_3 3 - \log_3(\ln 3) = 1 - \log_3(\ln 3)$. Так как $\ln 3 \approx 1.0986$, то $x_{min} = 1 - \log_3(1.0986) \approx 1 - 0.09 \approx 0.91$. Вторая производная $h''(x) = 3^x (\ln 3)^2 > 0$, значит, в этой точке функция $h(x)$ имеет минимум.

Вычислим значение функции в точке минимума: $h(x_{min}) = 3^{x_{min}} - 3x_{min} = \frac{3}{\ln 3} - 3(1 - \log_3(\ln 3)) \approx \frac{3}{1.0986} - 3(0.91) \approx 2.73 - 2.73 = 0$. Более точный расчет показывает, что $h(x_{min}) < 0$.

Рассмотрим поведение функции $h(x)$ на бесконечности: $\lim_{x \to +\infty} (3^x - 3x) = +\infty$. $\lim_{x \to -\infty} (3^x - 3x) = 0 - (-\infty) = +\infty$.

Функция $h(x)$ убывает от $+\infty$ до отрицательного минимального значения, а затем возрастает до $+\infty$. Следовательно, график функции $h(x)$ пересекает ось абсцисс дважды, а значит, уравнение $h(x)=0$ имеет два корня. Можно также заметить, что $x=1$ является корнем ($3^1 = 3 \cdot 1$), и $x \approx 0.88$ также является корнем. Графически это означает, что прямая $y=3x$ пересекает выпуклую кривую $y=3^x$ в двух точках.

Ответ: 2.

2) f(x) = (1/6)^x и g(x) = x²

Нам нужно найти количество решений уравнения $(\frac{1}{6})^x = x^2$. Рассмотрим поведение функций для разных областей определения $x$.

1. При $x > 0$: Функция $y = f(x) = (\frac{1}{6})^x$ является убывающей (от $1$ при $x=0$ до $0$ при $x \to \infty$). Функция $y = g(x) = x^2$ является возрастающей (от $0$ при $x=0$ до $+\infty$ при $x \to \infty$). При $x \to 0^+$, $f(x) \to 1$ и $g(x) \to 0$, то есть $f(x) > g(x)$. При достаточно больших $x$ (например, $x=1$), $f(1) = 1/6$, а $g(1)=1$, то есть $f(x) < g(x)$. Так как одна функция непрерывно убывает, а другая непрерывно возрастает, и их значения "меняются местами", они должны пересечься ровно один раз.

2. При $x < 0$: Функция $y = f(x) = (\frac{1}{6})^x$ положительна и возрастает (при $x \to -\infty$, $y \to +\infty$). Функция $y = g(x) = x^2$ также положительна, но убывает (при $x \to -\infty$, $y \to +\infty$). Рассмотрим уравнение $6^{-x} = x^2$. Пусть $t = -x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид $6^t = (-t)^2 = t^2$. Исследуем функцию $h(t) = 6^t - t^2$. Мы хотим найти число ее корней при $t>0$. $h(t)$ является выпуклой функцией при $t>0$, а ее минимальное значение больше нуля. Это можно показать, найдя минимум функции $k(t)=6^{t/2}-t$, который оказывается положительным. Следовательно $6^{t/2}>t$, и $6^t>t^2$ для всех $t>0$. Таким образом, при $x<0$ решений нет.

3. При $x=0$: $f(0) = (\frac{1}{6})^0 = 1$, а $g(0) = 0^2 = 0$. Равенство не выполняется.

Следовательно, существует только одна точка пересечения.

Ответ: 1.

3) f(x) = 7^x и g(x) = 1/x

Нам нужно найти количество решений уравнения $7^x = \frac{1}{x}$. Рассмотрим поведение функций для разных областей определения $x$.

1. При $x > 0$: Функция $y = f(x) = 7^x$ является возрастающей (от $1$ при $x=0$ до $+\infty$). Функция $y = g(x) = \frac{1}{x}$ является убывающей (от $+\infty$ при $x \to 0^+$ до $0$ при $x \to \infty$). Так как одна функция непрерывно возрастает, а другая непрерывно убывает на $(0, \infty)$, и их диапазоны значений пересекаются, они должны пересечься ровно один раз.

2. При $x < 0$: Функция $y = f(x) = 7^x$ всегда положительна ($7^x > 0$). Функция $y = g(x) = \frac{1}{x}$ всегда отрицательна ($\frac{1}{x} < 0$). Положительное число не может равняться отрицательному, поэтому решений в этой области нет.

3. При $x=0$ функция $g(x)$ не определена.

Следовательно, существует только одна точка пересечения.

Ответ: 1.

4) f(x) = (3/4)^x и g(x) = x³

Нам нужно найти количество решений уравнения $(\frac{3}{4})^x = x^3$. Рассмотрим поведение функций для разных областей определения $x$.

1. При $x > 0$: Функция $y = f(x) = (\frac{3}{4})^x$ является убывающей (от $1$ при $x=0$ до $0$ при $x \to \infty$). Функция $y = g(x) = x^3$ является возрастающей (от $0$ при $x=0$ до $+\infty$ при $x \to \infty$). При $x \to 0^+$, $f(x) \to 1$ и $g(x) \to 0$, то есть $f(x) > g(x)$. При достаточно больших $x$ (например, $x=1$), $f(1) = 3/4$, а $g(1)=1$, то есть $f(x) < g(x)$. Так как одна функция непрерывно убывает, а другая непрерывно возрастает, и их значения "меняются местами", они должны пересечься ровно один раз.

2. При $x < 0$: Функция $y = f(x) = (\frac{3}{4})^x$ всегда положительна. Функция $y = g(x) = x^3$ всегда отрицательна. Положительное число не может равняться отрицательному, поэтому решений в этой области нет.

3. При $x=0$: $f(0) = 1$, а $g(0) = 0$. Равенство не выполняется.

Следовательно, существует только одна точка пересечения.

Ответ: 1.

159.Используя простейшие преобразования к графику функции $y = a^x$, постройте график функции $y = g(x)$:

1) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$;

2) $g(x) = 4^x + 3$;

3) $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$;

4) $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4.$

1) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$

Для построения графика функции $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$ выполним преобразования графика базовой функции $y = a^x$.

1. В качестве базовой функции возьмем $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$. Так как основание $a = \frac{1}{2}$ находится в пределах $0 < a < 1$, функция является убывающей. Ее график проходит через точку $(0, 1)$, а ось абсцисс ($y=0$) служит горизонтальной асимптотой.

2. График функции $g(x)$ получается из графика базовой функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ путем сдвига (параллельного переноса) на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. При этом каждая точка графика $(x, y)$ переходит в точку $(x, y-2)$. Например, точка $(0, 1)$ переходит в $(0, -1)$, а точка $(-1, 2)$ — в $(-1, 0)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается на 2 единицы вниз и становится прямой $y=-2$.

На рисунке ниже график базовой функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ показан синей пунктирной линией, а искомый график $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$ — красной сплошной линией. Серой пунктирной линией показана новая горизонтальная асимптота.

Ответ: График функции $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$ получается из графика функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вниз. График представлен на рисунке выше.

2) $g(x) = 4^x + 3$

Для построения графика функции $g(x) = 4^x + 3$ выполним преобразования графика базовой функции $y = a^x$.

1. В качестве базовой функции возьмем $y = 4^x$. Так как основание $a = 4 > 1$, функция является возрастающей. Ее график проходит через точку $(0, 1)$, а ось абсцисс ($y=0$) служит горизонтальной асимптотой.

2. График функции $g(x)$ получается из графика базовой функции $y = 4^x$ путем сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Каждая точка графика $(x, y)$ переходит в точку $(x, y+3)$. Например, точка $(0, 1)$ переходит в $(0, 4)$, а точка $(1, 4)$ — в $(1, 7)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается на 3 единицы вверх и становится прямой $y=3$.

На рисунке ниже график базовой функции $y = 4^x$ показан синей пунктирной линией, а искомый график $g(x) = 4^x + 3$ — красной сплошной линией. Серой пунктирной линией показана новая горизонтальная асимптота.

Ответ: График функции $g(x) = 4^x + 3$ получается из графика функции $y = 4^x$ путем параллельного переноса на 3 единицы вверх. График представлен на рисунке выше.

3) $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$

Для построения графика функции $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$ выполним преобразования графика базовой функции $y = a^x$.

1. В качестве базовой функции возьмем $y = (2,5)^x$. Так как основание $a = 2,5 > 1$, функция является возрастающей. Ее график проходит через точку $(0, 1)$, а ось абсцисс ($y=0$) служит горизонтальной асимптотой.

2. График функции $g(x)$ получается из графика базовой функции $y = (2,5)^x$ в два этапа:

а) Сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс. Это преобразование соответствует замене $x$ на $x-1$ и дает нам график промежуточной функции $y = (2,5)^{x-1}$.

б) Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Это преобразование соответствует добавлению 2 к функции.

В результате этих двух преобразований каждая точка $(x, y)$ базового графика переходит в точку $(x+1, y+2)$. Например, точка $(0, 1)$ переходит в $(1, 3)$, а точка $(1, 2.5)$ — в $(2, 4.5)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.

На рисунке ниже график базовой функции $y = (2,5)^x$ показан синей пунктирной линией, а искомый график $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$ — красной сплошной линией. Серой пунктирной линией показана новая горизонтальная асимптота.

Ответ: График функции $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$ получается из графика функции $y = (2,5)^x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. График представлен на рисунке выше.

4) $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$

Для построения графика функции $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$ выполним преобразования графика базовой функции $y = a^x$.

1. В качестве базовой функции возьмем $y = (2,25)^x$. Так как основание $a = 2,25 > 1$, функция является возрастающей. Ее график проходит через точку $(0, 1)$, а ось абсцисс ($y=0$) служит горизонтальной асимптотой.

2. График функции $g(x)$ получается из графика базовой функции $y = (2,25)^x$ в два этапа:

а) Сдвиг на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс. Это преобразование соответствует замене $x$ на $x+3$ и дает нам график промежуточной функции $y = (2,25)^{x+3}$.

б) Сдвиг полученного графика на 4 единицы вниз вдоль оси ординат. Это преобразование соответствует вычитанию 4 из функции.

В результате этих двух преобразований каждая точка $(x, y)$ базового графика переходит в точку $(x-3, y-4)$. Например, точка $(0, 1)$ переходит в $(-3, -3)$, а точка $(1, 2.25)$ — в $(-2, -1.75)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 4 единицы вниз и становится прямой $y=-4$.

На рисунке ниже график базовой функции $y = (2,25)^x$ показан синей пунктирной линией, а искомый график $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$ — красной сплошной линией. Серой пунктирной линией показана новая горизонтальная асимптота.

Ответ: График функции $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$ получается из графика функции $y = (2,25)^x$ путем параллельного переноса на 3 единицы влево и на 4 единицы вниз. График представлен на рисунке выше.

160. Найдите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 4^x - 5,6$;

2) $f(x) = (0,35)^x + 3$;

3) $f(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^{x+1} - 1$;

4) $f(x) = 1 - 3^x$.

1) $f(x) = 4^x - 5,6$

Решение:

Множество значений показательной функции $y = a^x$ при $a > 0$ и $a \ne 1$ является интервалом $(0; +\infty)$.

Для функции $g(x) = 4^x$ (основание $a=4 > 1$) множество значений $E(g) = (0; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ справедливо неравенство:

$4^x > 0$

Функция $f(x) = 4^x - 5,6$ получается из функции $g(x) = 4^x$ путем сдвига графика вниз по оси Oy на 5,6 единиц. Чтобы найти новое множество значений, вычтем 5,6 из обеих частей неравенства:

$4^x - 5,6 > 0 - 5,6$

$f(x) > -5,6$

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие -5,6.

Ответ: $E(f) = (-5,6; +\infty)$.

2) $f(x) = (0,35)^x + 3$

Решение:

Рассмотрим показательную функцию $g(x) = (0,35)^x$. Основание $a=0,35$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Множество значений этой функции также является интервалом $(0; +\infty)$. Таким образом, для любого действительного $x$:

$(0,35)^x > 0$

Функция $f(x) = (0,35)^x + 3$ получается из функции $g(x)$ путем сдвига графика вверх по оси Oy на 3 единицы. Чтобы найти новое множество значений, прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$(0,35)^x + 3 > 0 + 3$

$f(x) > 3$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие 3.

Ответ: $E(f) = (3; +\infty)$.

3) $f(x) = (\frac{2}{5})^{x+1} - 1$

Решение:

Рассмотрим функцию $g(x) = (\frac{2}{5})^{x+1}$. Она является показательной функцией с основанием $a = \frac{2}{5} = 0,4$. Горизонтальный сдвиг на 1 единицу влево (замена $x$ на $x+1$) не влияет на множество значений функции. Множество значений для любой показательной функции вида $y=a^z$ (где $a>0, a \ne 1$) есть $(0; +\infty)$.

Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется неравенство:

$(\frac{2}{5})^{x+1} > 0$

Функция $f(x)$ получается из функции $g(x)$ путем сдвига графика вниз по оси Oy на 1 единицу. Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$(\frac{2}{5})^{x+1} - 1 > 0 - 1$

$f(x) > -1$

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие -1.

Ответ: $E(f) = (-1; +\infty)$.

4) $f(x) = 1 - 3^x$

Решение:

Перепишем функцию в виде $f(x) = -3^x + 1$.

Рассмотрим базовую показательную функцию $g(x) = 3^x$. Ее множество значений $E(g) = (0; +\infty)$.

$3^x > 0$

Теперь рассмотрим функцию $h(x) = -3^x$. Ее график получается из графика $g(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox. Чтобы найти ее множество значений, умножим неравенство на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-3^x < 0$

Множество значений функции $h(x)$ есть $(-\infty; 0)$.

Наконец, функция $f(x) = -3^x + 1$ получается из $h(x)$ сдвигом графика вверх по оси Oy на 1 единицу. Прибавим 1 к обеим частям последнего неравенства:

$-3^x + 1 < 0 + 1$

$f(x) < 1$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго меньшие 1.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 1)$.