Номер 158, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

158. Найдите число точек пересечения графиков функций $y = f(x)$ и $y = g(x)$:

1) $f(x) = 3^x$ и $g(x) = 3x$;

2) $f(x) = \left(\frac{1}{6}\right)^x$ и $g(x) = x^2$;

3) $f(x) = 7^x$ и $g(x) = \frac{1}{x}$;

4) $f(x) = \left(\frac{3}{4}\right)^x$ и $g(x) = x^3$?

1) f(x) = 3^x и g(x) = 3x

Чтобы найти число точек пересечения графиков, необходимо найти количество решений уравнения $f(x) = g(x)$, то есть $3^x = 3x$. Решить это уравнение аналитически сложно, поэтому воспользуемся графическим и аналитическим методами.

Рассмотрим функцию $h(x) = f(x) - g(x) = 3^x - 3x$. Число точек пересечения равно числу корней уравнения $h(x) = 0$. Найдем производную функции $h(x)$: $h'(x) = (3^x - 3x)' = 3^x \ln 3 - 3$.

Приравняем производную к нулю, чтобы найти точки экстремума: $3^x \ln 3 - 3 = 0 \implies 3^x = \frac{3}{\ln 3}$. $x = \log_3\left(\frac{3}{\ln 3}\right) = \log_3 3 - \log_3(\ln 3) = 1 - \log_3(\ln 3)$. Так как $\ln 3 \approx 1.0986$, то $x_{min} = 1 - \log_3(1.0986) \approx 1 - 0.09 \approx 0.91$. Вторая производная $h''(x) = 3^x (\ln 3)^2 > 0$, значит, в этой точке функция $h(x)$ имеет минимум.

Вычислим значение функции в точке минимума: $h(x_{min}) = 3^{x_{min}} - 3x_{min} = \frac{3}{\ln 3} - 3(1 - \log_3(\ln 3)) \approx \frac{3}{1.0986} - 3(0.91) \approx 2.73 - 2.73 = 0$. Более точный расчет показывает, что $h(x_{min}) < 0$.

Рассмотрим поведение функции $h(x)$ на бесконечности: $\lim_{x \to +\infty} (3^x - 3x) = +\infty$. $\lim_{x \to -\infty} (3^x - 3x) = 0 - (-\infty) = +\infty$.

Функция $h(x)$ убывает от $+\infty$ до отрицательного минимального значения, а затем возрастает до $+\infty$. Следовательно, график функции $h(x)$ пересекает ось абсцисс дважды, а значит, уравнение $h(x)=0$ имеет два корня. Можно также заметить, что $x=1$ является корнем ($3^1 = 3 \cdot 1$), и $x \approx 0.88$ также является корнем. Графически это означает, что прямая $y=3x$ пересекает выпуклую кривую $y=3^x$ в двух точках.

Ответ: 2.

2) f(x) = (1/6)^x и g(x) = x²

Нам нужно найти количество решений уравнения $(\frac{1}{6})^x = x^2$. Рассмотрим поведение функций для разных областей определения $x$.

1. При $x > 0$: Функция $y = f(x) = (\frac{1}{6})^x$ является убывающей (от $1$ при $x=0$ до $0$ при $x \to \infty$). Функция $y = g(x) = x^2$ является возрастающей (от $0$ при $x=0$ до $+\infty$ при $x \to \infty$). При $x \to 0^+$, $f(x) \to 1$ и $g(x) \to 0$, то есть $f(x) > g(x)$. При достаточно больших $x$ (например, $x=1$), $f(1) = 1/6$, а $g(1)=1$, то есть $f(x) < g(x)$. Так как одна функция непрерывно убывает, а другая непрерывно возрастает, и их значения "меняются местами", они должны пересечься ровно один раз.

2. При $x < 0$: Функция $y = f(x) = (\frac{1}{6})^x$ положительна и возрастает (при $x \to -\infty$, $y \to +\infty$). Функция $y = g(x) = x^2$ также положительна, но убывает (при $x \to -\infty$, $y \to +\infty$). Рассмотрим уравнение $6^{-x} = x^2$. Пусть $t = -x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид $6^t = (-t)^2 = t^2$. Исследуем функцию $h(t) = 6^t - t^2$. Мы хотим найти число ее корней при $t>0$. $h(t)$ является выпуклой функцией при $t>0$, а ее минимальное значение больше нуля. Это можно показать, найдя минимум функции $k(t)=6^{t/2}-t$, который оказывается положительным. Следовательно $6^{t/2}>t$, и $6^t>t^2$ для всех $t>0$. Таким образом, при $x<0$ решений нет.

3. При $x=0$: $f(0) = (\frac{1}{6})^0 = 1$, а $g(0) = 0^2 = 0$. Равенство не выполняется.

Следовательно, существует только одна точка пересечения.

Ответ: 1.

3) f(x) = 7^x и g(x) = 1/x

Нам нужно найти количество решений уравнения $7^x = \frac{1}{x}$. Рассмотрим поведение функций для разных областей определения $x$.

1. При $x > 0$: Функция $y = f(x) = 7^x$ является возрастающей (от $1$ при $x=0$ до $+\infty$). Функция $y = g(x) = \frac{1}{x}$ является убывающей (от $+\infty$ при $x \to 0^+$ до $0$ при $x \to \infty$). Так как одна функция непрерывно возрастает, а другая непрерывно убывает на $(0, \infty)$, и их диапазоны значений пересекаются, они должны пересечься ровно один раз.

2. При $x < 0$: Функция $y = f(x) = 7^x$ всегда положительна ($7^x > 0$). Функция $y = g(x) = \frac{1}{x}$ всегда отрицательна ($\frac{1}{x} < 0$). Положительное число не может равняться отрицательному, поэтому решений в этой области нет.

3. При $x=0$ функция $g(x)$ не определена.

Следовательно, существует только одна точка пересечения.

Ответ: 1.

4) f(x) = (3/4)^x и g(x) = x³

Нам нужно найти количество решений уравнения $(\frac{3}{4})^x = x^3$. Рассмотрим поведение функций для разных областей определения $x$.

1. При $x > 0$: Функция $y = f(x) = (\frac{3}{4})^x$ является убывающей (от $1$ при $x=0$ до $0$ при $x \to \infty$). Функция $y = g(x) = x^3$ является возрастающей (от $0$ при $x=0$ до $+\infty$ при $x \to \infty$). При $x \to 0^+$, $f(x) \to 1$ и $g(x) \to 0$, то есть $f(x) > g(x)$. При достаточно больших $x$ (например, $x=1$), $f(1) = 3/4$, а $g(1)=1$, то есть $f(x) < g(x)$. Так как одна функция непрерывно убывает, а другая непрерывно возрастает, и их значения "меняются местами", они должны пересечься ровно один раз.

2. При $x < 0$: Функция $y = f(x) = (\frac{3}{4})^x$ всегда положительна. Функция $y = g(x) = x^3$ всегда отрицательна. Положительное число не может равняться отрицательному, поэтому решений в этой области нет.

3. При $x=0$: $f(0) = 1$, а $g(0) = 0$. Равенство не выполняется.

Следовательно, существует только одна точка пересечения.

Ответ: 1.