Номер 154, страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

154. Сравните числа:

1) $1,8^3$ и $2^3$;

2) $0,8^2$ и $0,54$;

3) $0,5^3$ и $0,5^7$;

4) $3,2^{1,6}$ и $3,2^{1,7}$;

5) $0,2^{\sqrt{2}}$ и $0,2^{1,4}$;

6) $3^\pi$ и $3^{3,149}$.

1) Сравнить числа $1,8^3$ и $2^3$.

Решение:

Для сравнения двух степеней с одинаковыми положительными показателями, нужно сравнить их основания. Рассмотрим степенную функцию $y = x^3$. Эта функция является возрастающей на всей числовой оси, так как для любых $x_1 < x_2$ выполняется $x_1^3 < x_2^3$.

Сравним основания степеней: $1,8$ и $2$.

Очевидно, что $1,8 < 2$.

Поскольку функция $y=x^3$ возрастающая, то из неравенства $1,8 < 2$ следует, что $1,8^3 < 2^3$.

Ответ: $1,8^3 < 2^3$.

2) Сравнить числа $0,82^2$ и $0,54$.

Решение:

Для сравнения этих чисел, вычислим значение $0,82^2$.

$0,82^2 = 0,82 \times 0,82 = 0,6724$.

Теперь сравним полученное число с $0,54$.

$0,6724 > 0,54$.

Следовательно, $0,82^2 > 0,54$.

Ответ: $0,82^2 > 0,54$.

3) Сравнить числа $0,5^3$ и $0,5^7$.

Решение:

Для сравнения двух степеней с одинаковым основанием, нужно рассмотреть свойства показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание $a = 0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, показательная функция $y = 0,5^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели степеней: $3$ и $7$.

$3 < 7$.

Поскольку функция убывающая, то из неравенства $3 < 7$ следует, что $0,5^3 > 0,5^7$.

Ответ: $0,5^3 > 0,5^7$.

4) Сравнить числа $3,21^{1,6}$ и $3,21^{1,7}$.

Решение:

Для сравнения двух степеней с одинаковым основанием, рассмотрим свойства показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание $a = 3,21$. Так как $3,21 > 1$, показательная функция $y = 3,21^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.

Сравним показатели степеней: $1,6$ и $1,7$.

$1,6 < 1,7$.

Поскольку функция возрастающая, то из неравенства $1,6 < 1,7$ следует, что $3,21^{1,6} < 3,21^{1,7}$.

Ответ: $3,21^{1,6} < 3,21^{1,7}$.

5) Сравнить числа $0,2^{\sqrt{2}}$ и $0,2^{1,4}$.

Решение:

Рассмотрим показательную функцию $y = 0,2^x$. Основание $a = 0,2$, и так как $0 < 0,2 < 1$, функция является убывающей.

Теперь сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$ и $1,4$.

Мы знаем, что $\sqrt{2} \approx 1,414...$

Следовательно, $\sqrt{2} > 1,4$.

Другой способ сравнить - возвести оба числа в квадрат: $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $1,4^2 = 1,96$. Так как $2 > 1,96$, то и $\sqrt{2} > 1,4$.

Поскольку функция $y = 0,2^x$ убывающая, то большему показателю степени соответствует меньшее значение функции. Из $\sqrt{2} > 1,4$ следует, что $0,2^{\sqrt{2}} < 0,2^{1,4}$.

Ответ: $0,2^{\sqrt{2}} < 0,2^{1,4}$.

6) Сравнить числа $3^{\pi}$ и $3^{3,149}$.

Решение:

Рассмотрим показательную функцию $y = 3^x$. Основание $a = 3$, и так как $3 > 1$, функция является возрастающей.

Теперь сравним показатели степеней: $\pi$ и $3,149$.

Число $\pi$ (пи) — это иррациональное число, его значение приблизительно равно $3,14159...$

Сравнивая десятичные представления, получаем:

$\pi \approx 3,14159...$

$3,149 = 3,14900...$

Так как в третьем знаке после запятой $1 < 9$, то $\pi < 3,149$.

Поскольку функция $y = 3^x$ возрастающая, то большему показателю степени соответствует большее значение функции. Из $\pi < 3,149$ следует, что $3^{\pi} < 3^{3,149}$.

Ответ: $3^{\pi} < 3^{3,149}$.