Номер 149, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

149. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = x^{-2}$, $x = 2$, $x = 3$, $y = 1;$

2) $y = -x^{2}$, $x = -1$, $x = 1$, $y = -2;$

3) $y = x^{-3}$, $x = -4$, $x = -1$, $y = -1;$

4) $y = -x^{3}$, $x = -3$, $x = -2$, $y = 2.$

1)

Дано:

Фигура ограничена линиями $y = x^{-2}$, $x=2$, $x=3$, $y=1$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Запишем функцию в виде $y = \frac{1}{x^2}$. В промежутке $x \in [2, 3]$ значения функции $y$ изменяются от $y(2)=\frac{1}{4}$ до $y(3)=\frac{1}{9}$. На этом промежутке график функции $y=\frac{1}{x^2}$ находится ниже прямой $y=1$.

Следовательно, искомая площадь является площадью криволинейной трапеции, ограниченной сверху прямой $y=1$, снизу — кривой $y=\frac{1}{x^2}$, и по бокам — прямыми $x=2$ и $x=3$.

Площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{2}^{3} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx = \int_{2}^{3} (1 - x^{-2}) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (1 - x^{-2}) dx = x - \frac{x^{-1}}{-1} = x + \frac{1}{x}$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(3) - F(2) = \left(3 + \frac{1}{3}\right) - \left(2 + \frac{1}{2}\right) = \frac{10}{3} - \frac{5}{2} = \frac{20 - 15}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $S = \frac{5}{6}$ кв. ед.

2)

Дано:

Фигура ограничена линиями $y = -x^2$, $x=-1$, $x=1$, $y=-2$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Функция $y=-x^2$ задает параболу, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 0). В промежутке $x \in [-1, 1]$ значения функции $y$ изменяются от $y(-1)=-1$ до $y(1)=-1$, проходя через $y(0)=0$. На этом промежутке график функции $y=-x^2$ находится выше прямой $y=-2$.

Следовательно, искомая площадь ограничена сверху параболой $y=-x^2$, снизу — прямой $y=-2$, и по бокам — прямыми $x=-1$ и $x=1$.

Площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{-1}^{1} (-x^2 - (-2)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2) dx$

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 2-x^2$ является четной ($f(-x)=2-(-x)^2=2-x^2=f(x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (2 - x^2) dx = 2x - \frac{x^3}{3}$

Вычислим интеграл:

$S = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \left(2(1) - \frac{1^3}{3}\right) - \left(2(0) - \frac{0^3}{3}\right) \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} \right) = 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$

Ответ: $S = \frac{10}{3}$ кв. ед.

3)

Дано:

Фигура ограничена линиями $y = x^{-3}$, $x=-4$, $x=-1$, $y=-1$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Запишем функцию в виде $y = \frac{1}{x^3}$. В промежутке $x \in [-4, -1]$ функция отрицательна. Сравним значения функции с прямой $y=-1$. При $x=-1$, $y=\frac{1}{(-1)^3}=-1$. При $x \in [-4, -1)$, $|x| > 1$, следовательно $|x^3| > 1$ и $|\frac{1}{x^3}| < 1$. Так как $y<0$, получаем $-1 < y < 0$. Таким образом, на промежутке $x \in [-4, -1]$ график функции $y=\frac{1}{x^3}$ находится выше прямой $y=-1$.

Площадь фигуры, ограниченной сверху кривой $y=\frac{1}{x^3}$, снизу — прямой $y=-1$, и по бокам — прямыми $x=-4$ и $x=-1$, вычисляется интегралом:

$S = \int_{-4}^{-1} \left(\frac{1}{x^3} - (-1)\right) dx = \int_{-4}^{-1} (x^{-3} + 1) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (x^{-3} + 1) dx = \frac{x^{-2}}{-2} + x = -\frac{1}{2x^2} + x$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left[ -\frac{1}{2x^2} + x \right]_{-4}^{-1} = \left(-\frac{1}{2(-1)^2} + (-1)\right) - \left(-\frac{1}{2(-4)^2} + (-4)\right)$

$S = \left(-\frac{1}{2} - 1\right) - \left(-\frac{1}{32} - 4\right) = -\frac{3}{2} - \left(-\frac{129}{32}\right) = -\frac{3}{2} + \frac{129}{32}$

$S = -\frac{48}{32} + \frac{129}{32} = \frac{81}{32}$

Ответ: $S = \frac{81}{32}$ кв. ед.

4)

Дано:

Фигура ограничена линиями $y = -x^3$, $x=-3$, $x=-2$, $y=2$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Функция $y=-x^3$ в промежутке $x \in [-3, -2]$ принимает положительные значения. При $x=-3$, $y=-(-3)^3 = 27$. При $x=-2$, $y=-(-2)^3 = 8$. На всем промежутке $x \in [-3, -2]$ значения функции $y=-x^3$ больше 2, так как наименьшее значение функции на этом отрезке равно 8. Следовательно, график функции $y=-x^3$ находится выше прямой $y=2$.

Площадь фигуры, ограниченной сверху кривой $y=-x^3$, снизу — прямой $y=2$, и по бокам — прямыми $x=-3$ и $x=-2$, вычисляется интегралом:

$S = \int_{-3}^{-2} (-x^3 - 2) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (-x^3 - 2) dx = -\frac{x^4}{4} - 2x$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^4}{4} - 2x \right]_{-3}^{-2} = \left(-\frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)\right) - \left(-\frac{(-3)^4}{4} - 2(-3)\right)$

$S = \left(-\frac{16}{4} + 4\right) - \left(-\frac{81}{4} + 6\right) = (-4 + 4) - \left(-\frac{81}{4} + \frac{24}{4}\right)$

$S = 0 - \left(-\frac{57}{4}\right) = \frac{57}{4}$

Ответ: $S = \frac{57}{4}$ кв. ед.