Номер 143, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

143. Найдите производную функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^{\sqrt{5}} + x^{2.5} + 10;$

2) $f(x) = x^{\sqrt{3}-2} - x^{-\frac{1}{8}} - 5.8;$

3) $f(x) = x^{-\frac{5}{6}} + (x-2)^{\sqrt{2}};$

4) $f(x) = x^{\frac{3}{8}} - (1+x^2)^{-\frac{5}{4}}.$

1) Дано:
$f(x) = x^{\sqrt{5}} + x^{2.5} + 10$
Найти:
$f'(x)$
Решение:
Для нахождения производной функции, воспользуемся правилом дифференцирования суммы и формулой производной степенной функции $(x^a)' = ax^{a-1}$. Производная константы равна нулю.
$f'(x) = (x^{\sqrt{5}} + x^{2.5} + 10)' = (x^{\sqrt{5}})' + (x^{2.5})' + (10)'$
$(x^{\sqrt{5}})' = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1}$
$(x^{2.5})' = 2.5x^{2.5-1} = 2.5x^{1.5}$
$(10)' = 0$
Складывая результаты, получаем:
$f'(x) = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1} + 2.5x^{1.5}$
Ответ: $f'(x) = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1} + 2.5x^{1.5}$

2) Дано:
$f(x) = x^{\sqrt{3}-2} - x^{-\frac{1}{8}} - 5.8$
Найти:
$f'(x)$
Решение:
Используем правило дифференцирования разности и формулу производной степенной функции $(x^a)' = ax^{a-1}$. Производная константы равна нулю.
$f'(x) = (x^{\sqrt{3}-2} - x^{-\frac{1}{8}} - 5.8)' = (x^{\sqrt{3}-2})' - (x^{-\frac{1}{8}})' - (5.8)'$
$(x^{\sqrt{3}-2})' = (\sqrt{3}-2)x^{(\sqrt{3}-2)-1} = (\sqrt{3}-2)x^{\sqrt{3}-3}$
$(x^{-\frac{1}{8}})' = -\frac{1}{8}x^{-\frac{1}{8}-1} = -\frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}$
$(5.8)' = 0$
Собирая все вместе, получаем:
$f'(x) = (\sqrt{3}-2)x^{\sqrt{3}-3} - (-\frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}) - 0 = (\sqrt{3}-2)x^{\sqrt{3}-3} + \frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}$
Ответ: $f'(x) = (\sqrt{3}-2)x^{\sqrt{3}-3} + \frac{1}{8}x^{-\frac{9}{8}}$

3) Дано:
$f(x) = x^{-\frac{5}{6}} + (x-2)^{\sqrt{2}}$
Найти:
$f'(x)$
Решение:
Используем правило дифференцирования суммы. Для второго слагаемого применим правило дифференцирования сложной функции $(u^a)' = a u^{a-1} \cdot u'$.
$f'(x) = (x^{-\frac{5}{6}})' + ((x-2)^{\sqrt{2}})'$
Для первого слагаемого:
$(x^{-\frac{5}{6}})' = -\frac{5}{6}x^{-\frac{5}{6}-1} = -\frac{5}{6}x^{-\frac{11}{6}}$
Для второго слагаемого, где $u(x) = x-2$ и $a=\sqrt{2}$:
$u'(x) = (x-2)' = 1$
$((x-2)^{\sqrt{2}})' = \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1} \cdot (x-2)' = \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1} \cdot 1 = \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1}$
Складывая результаты, получаем:
$f'(x) = -\frac{5}{6}x^{-\frac{11}{6}} + \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1}$
Ответ: $f'(x) = -\frac{5}{6}x^{-\frac{11}{6}} + \sqrt{2}(x-2)^{\sqrt{2}-1}$

4) Дано:
$f(x) = x^{\frac{3}{8}} - (1+x^2)^{-\frac{5}{4}}$
Найти:
$f'(x)$
Решение:
Используем правило дифференцирования разности. Для второго слагаемого применим правило дифференцирования сложной функции $(u^a)' = a u^{a-1} \cdot u'$.
$f'(x) = (x^{\frac{3}{8}})' - ((1+x^2)^{-\frac{5}{4}})'$
Для первого слагаемого:
$(x^{\frac{3}{8}})' = \frac{3}{8}x^{\frac{3}{8}-1} = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}}$
Для второго слагаемого, где $u(x) = 1+x^2$ и $a=-\frac{5}{4}$:
$u'(x) = (1+x^2)' = 2x$
$((1+x^2)^{-\frac{5}{4}})' = -\frac{5}{4}(1+x^2)^{-\frac{5}{4}-1} \cdot (1+x^2)' = -\frac{5}{4}(1+x^2)^{-\frac{9}{4}} \cdot 2x = -\frac{5x}{2}(1+x^2)^{-\frac{9}{4}}$
Подставляя в исходное выражение для производной, получаем:
$f'(x) = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}} - \left(-\frac{5x}{2}(1+x^2)^{-\frac{9}{4}}\right) = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}} + \frac{5x}{2}(1+x^2)^{-\frac{9}{4}}$
Ответ: $f'(x) = \frac{3}{8}x^{-\frac{5}{8}} + \frac{5x}{2}(1+x^2)^{-\frac{9}{4}}$