Номер 138, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

138. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, проведенной в точке $N(a;b)$:

1) $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$, $N\left(\frac{1}{27}; 3\right)$;

2) $f(x) = x^{-\frac{1}{2}} + x$, $N(1; 2)$;

3) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$, $N(1; 1)$;

4) $f(x) = x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}}$, $N(1; 4)$.

1) $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}, N(\frac{1}{27}; 3)$

Дано:

Функция: $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$

Точка касания: $N(a; b)$, где $a = \frac{1}{27}$, $b=3$.

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

1. Значение функции в точке касания $a = \frac{1}{27}$ равно $f(a) = b = 3$. Проверим это: $f(\frac{1}{27}) = (\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}} = (27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$. Значение совпадает.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

3. Вычислим значение производной в точке касания $a = \frac{1}{27}$ (это угловой коэффициент касательной):

$f'(\frac{1}{27}) = -\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot (27)^{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot (\sqrt[3]{27})^4 = -\frac{1}{3} \cdot 3^4 = -\frac{81}{3} = -27$.

4. Подставим найденные значения $a = \frac{1}{27}$, $f(a)=3$ и $f'(a)=-27$ в уравнение касательной:

$y = 3 + (-27)(x - \frac{1}{27})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 3 - 27x + 27 \cdot \frac{1}{27}$

$y = 3 - 27x + 1$

$y = -27x + 4$

Ответ: $y = -27x + 4$.

2) $f(x) = x^{-\frac{1}{2}} + x, N(1; 2)$

Дано:

Функция: $f(x) = x^{-\frac{1}{2}} + x$

Точка касания: $N(a; b)$, где $a = 1$, $b=2$.

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

1. Значение функции в точке касания $a = 1$: $f(1) = 1^{-\frac{1}{2}} + 1 = 1 + 1 = 2$. Значение совпадает с ординатой точки $N$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{2}} + x)' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} + 1 = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} + 1$.

3. Вычислим значение производной в точке касания $a = 1$:

$f'(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1^{-\frac{3}{2}} + 1 = -\frac{1}{2} \cdot 1 + 1 = \frac{1}{2}$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(a)=2$ и $f'(a)=\frac{1}{2}$ в уравнение касательной:

$y = 2 + \frac{1}{2}(x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

3) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}, N(1; 1)$

Дано:

Функция: $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$

Точка касания: $N(a; b)$, где $a = 1$, $b=1$.

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

1. Значение функции в точке касания $a = 1$: $f(1) = 1^{\frac{4}{3}} = 1$. Значение совпадает с ординатой точки $N$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{\frac{4}{3}})' = \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$.

3. Вычислим значение производной в точке касания $a = 1$:

$f'(1) = \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(a)=1$ и $f'(a)=\frac{4}{3}$ в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{4}{3}(x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 1 + \frac{4}{3}x - \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$

Ответ: $y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$.

4) $f(x) = x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}}, N(1; 4)$

Дано:

Функция: $f(x) = x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}}$

Точка касания: $N(a; b)$, где $a = 1$, $b=4$.

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

1. Значение функции в точке касания $a = 1$: $f(1) = 1^{-3} + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} = 1 + 3 = 4$. Значение совпадает с ординатой точки $N$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}})' = -3x^{-3-1} + 3 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = -3x^{-4} + 2x^{-\frac{1}{3}}$.

3. Вычислим значение производной в точке касания $a = 1$:

$f'(1) = -3 \cdot 1^{-4} + 2 \cdot 1^{-\frac{1}{3}} = -3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = -3 + 2 = -1$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(a)=4$ и $f'(a)=-1$ в уравнение касательной:

$y = 4 + (-1)(x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 4 - x + 1$

$y = -x + 5$

Ответ: $y = -x + 5$.