Страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Верно ли утверждение, что, если $f(x) = x^{-n} (n \in N)$, то $f'(x)$ определена на $R$? Ответ обоснуйте.

2. В какой точке нельзя найти первообразную функции $y = x^{-n} (n \in N)$? Ответ обоснуйте.

1. Верно ли утверждение, что, если $f(x) = x^{-n} (n \in N)$, то $f'(x)$ определена на R? Ответ обоснуйте.

Решение

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{-n}$, где $n$ — натуральное число ($n \in N$). Эту функцию можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^n}$.

Область определения этой функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. В данном случае $x^n = 0$ при $x=0$. Следовательно, область определения функции $f(x)$ есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, или $R \setminus \{0\}$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^k)' = kx^{k-1}$:

$f'(x) = (x^{-n})' = -n \cdot x^{-n-1} = -\frac{n}{x^{n+1}}$

Рассмотрим область определения производной $f'(x)$. Выражение $-\frac{n}{x^{n+1}}$ не определено, когда его знаменатель $x^{n+1}$ равен нулю. Это происходит при $x=0$. Таким образом, область определения производной $f'(x)$ также является множество $R \setminus \{0\}$.

Поскольку производная $f'(x)$ не определена в точке $x=0$, она не определена на всем множестве действительных чисел $R$.

Ответ: нет, утверждение неверно. Производная $f'(x) = -\frac{n}{x^{n+1}}$ не определена в точке $x=0$, а значит, не определена на всем множестве действительных чисел $R$.

2. В какой точке нельзя найти первообразную функции $y = x^{-n} (n \in N)$? Ответ обоснуйте.

Решение

Функция дана в виде $y = f(x) = x^{-n}$, где $n \in N$. Это эквивалентно $f(x) = \frac{1}{x^n}$.

Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ на некотором промежутке — это такая функция, что для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Функция $f(x) = x^{-n}$ не определена в точке $x=0$, так как это приводит к делению на ноль. В точке $x=0$ функция имеет разрыв. Необходимым условием существования первообразной для функции на некотором промежутке является непрерывность этой функции на данном промежутке. Так как любой промежуток, содержащий точку $x=0$, будет содержать точку разрыва, то найти единую первообразную, определенную на таком промежутке, невозможно. В частности, равенство $F'(0) = f(0)$ не может быть выполнено, так как $f(0)$ не существует.

Можно найти выражение для первообразной, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^k dx = \frac{x^{k+1}}{k+1} + C$ (при $k \neq -1$).

1. Если $n=1$, то $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$. Первообразная имеет вид $F(x) = \ln|x| + C$. Эта функция не определена в точке $x=0$.

2. Если $n \neq 1$ (т.е. $n \ge 2$, так как $n \in N$), то первообразная имеет вид:

$F(x) = \int x^{-n} dx = \frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C = -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C$.

Эта функция также не определена в точке $x=0$, так как при $n \ge 2$ степень $n-1 \ge 1$, и $x$ остается в знаменателе.

В обоих случаях полученные выражения для первообразной не определены в точке $x=0$. Это подтверждает, что в точке $x=0$ нельзя найти первообразную.

Ответ: первообразную для функции $y = x^{-n}$ нельзя найти в точке $x=0$, так как функция не определена и имеет разрыв в этой точке.

Найдите производную функции $y = f(x)$ (136—137):

136.1) $f(x) = x^{\frac{5}{6}}$; 2) $f(x) = x^{-\frac{3}{7}}$; 3) $f(x) = x^{\sqrt{5}}$; 4) $f(x) = x^{-1+\sqrt{3}}$.

Для нахождения производной во всех случаях используется формула производной степенной функции: $(x^p)' = p \cdot x^{p-1}$, где $p$ - любое действительное число.

1)

Дано:

$f(x) = x^{\frac{5}{6}}$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Используем формулу производной степенной функции, где показатель степени $p = \frac{5}{6}$.

$f'(x) = (x^{\frac{5}{6}})' = \frac{5}{6} \cdot x^{\frac{5}{6} - 1}$

Вычислим новый показатель степени:

$\frac{5}{6} - 1 = \frac{5}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{1}{6}$

Следовательно, производная функции равна:

$f'(x) = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$.

2)

Дано:

$f(x) = x^{-\frac{3}{7}}$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Используем формулу производной степенной функции, где показатель степени $p = -\frac{3}{7}$.

$f'(x) = (x^{-\frac{3}{7}})' = -\frac{3}{7} \cdot x^{-\frac{3}{7} - 1}$

Вычислим новый показатель степени:

$-\frac{3}{7} - 1 = -\frac{3}{7} - \frac{7}{7} = -\frac{10}{7}$

Следовательно, производная функции равна:

$f'(x) = -\frac{3}{7}x^{-\frac{10}{7}}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{7}x^{-\frac{10}{7}}$.

3)

Дано:

$f(x) = x^{\sqrt{5}}$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Используем формулу производной степенной функции, где показатель степени $p = \sqrt{5}$.

$f'(x) = (x^{\sqrt{5}})' = \sqrt{5} \cdot x^{\sqrt{5} - 1}$

Выражение является окончательным.

Ответ: $f'(x) = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1}$.

4)

Дано:

$f(x) = x^{-1+\sqrt{3}}$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Используем формулу производной степенной функции, где показатель степени $p = -1+\sqrt{3}$.

$f'(x) = (x^{-1+\sqrt{3}})' = (-1+\sqrt{3}) \cdot x^{(-1+\sqrt{3}) - 1}$

Вычислим новый показатель степени:

$(-1+\sqrt{3}) - 1 = \sqrt{3} - 2$

Следовательно, производная функции равна:

$f'(x) = (\sqrt{3}-1)x^{\sqrt{3}-2}$

Ответ: $f'(x) = (\sqrt{3}-1)x^{\sqrt{3}-2}$.

$f(x) = x^{1.4}$;

2) $f(x) = x^{-3.5}$;

3) $f(x) = x^{\pi}$;

4) $f(x) = x^{-\pi}$.

1) $f(x) = x^{1.4}$;

Дано:

Степенная функция $f(x) = x^{1.4}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Для нахождения производной степенной функции вида $f(x) = x^p$ применяется общая формула производной:

$(x^p)' = p \cdot x^{p-1}$.

В данном случае, показатель степени $p = 1.4$.

Подставим это значение в формулу производной:

$f'(x) = (x^{1.4})' = 1.4 \cdot x^{1.4 - 1}$.

Выполним вычитание в показателе степени:

$f'(x) = 1.4 \cdot x^{0.4}$.

Ответ: $f'(x) = 1.4x^{0.4}$.

2) $f(x) = x^{-3.5}$;

Дано:

Степенная функция $f(x) = x^{-3.5}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Воспользуемся той же формулой для производной степенной функции: $(x^p)' = p \cdot x^{p-1}$.

В этом примере показатель степени $p = -3.5$.

Подставим значение $p$ в формулу:

$f'(x) = (x^{-3.5})' = -3.5 \cdot x^{-3.5 - 1}$.

Выполним вычитание в показателе степени:

$f'(x) = -3.5 \cdot x^{-4.5}$.

Ответ: $f'(x) = -3.5x^{-4.5}$.

3) $f(x) = x^{\pi}$;

Дано:

Степенная функция $f(x) = x^{\pi}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Применяем стандартную формулу производной для степенной функции: $(x^p)' = p \cdot x^{p-1}$.

Здесь показатель степени $p = \pi$.

Подставляем это значение в формулу:

$f'(x) = (x^{\pi})' = \pi \cdot x^{\pi - 1}$.

Это выражение является окончательным.

Ответ: $f'(x) = \pi x^{\pi - 1}$.

4) $f(x) = x^{-\pi}$.

Дано:

Степенная функция $f(x) = x^{-\pi}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Используем формулу производной степенной функции $(x^p)' = p \cdot x^{p-1}$.

В данном случае, показатель степени $p = -\pi$.

Подставляем $p$ в формулу:

$f'(x) = (x^{-\pi})' = -\pi \cdot x^{-\pi - 1}$.

Это является окончательным выражением для производной.

Ответ: $f'(x) = -\pi x^{-\pi - 1}$.

138. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, проведенной в точке $N(a;b)$:

1) $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$, $N\left(\frac{1}{27}; 3\right)$;

2) $f(x) = x^{-\frac{1}{2}} + x$, $N(1; 2)$;

3) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$, $N(1; 1)$;

4) $f(x) = x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}}$, $N(1; 4)$.

1) $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}, N(\frac{1}{27}; 3)$

Дано:

Функция: $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$

Точка касания: $N(a; b)$, где $a = \frac{1}{27}$, $b=3$.

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

1. Значение функции в точке касания $a = \frac{1}{27}$ равно $f(a) = b = 3$. Проверим это: $f(\frac{1}{27}) = (\frac{1}{27})^{-\frac{1}{3}} = (27)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$. Значение совпадает.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

3. Вычислим значение производной в точке касания $a = \frac{1}{27}$ (это угловой коэффициент касательной):

$f'(\frac{1}{27}) = -\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot (27)^{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot (\sqrt[3]{27})^4 = -\frac{1}{3} \cdot 3^4 = -\frac{81}{3} = -27$.

4. Подставим найденные значения $a = \frac{1}{27}$, $f(a)=3$ и $f'(a)=-27$ в уравнение касательной:

$y = 3 + (-27)(x - \frac{1}{27})$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 3 - 27x + 27 \cdot \frac{1}{27}$

$y = 3 - 27x + 1$

$y = -27x + 4$

Ответ: $y = -27x + 4$.

2) $f(x) = x^{-\frac{1}{2}} + x, N(1; 2)$

Дано:

Функция: $f(x) = x^{-\frac{1}{2}} + x$

Точка касания: $N(a; b)$, где $a = 1$, $b=2$.

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

1. Значение функции в точке касания $a = 1$: $f(1) = 1^{-\frac{1}{2}} + 1 = 1 + 1 = 2$. Значение совпадает с ординатой точки $N$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{2}} + x)' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} + 1 = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}} + 1$.

3. Вычислим значение производной в точке касания $a = 1$:

$f'(1) = -\frac{1}{2} \cdot 1^{-\frac{3}{2}} + 1 = -\frac{1}{2} \cdot 1 + 1 = \frac{1}{2}$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(a)=2$ и $f'(a)=\frac{1}{2}$ в уравнение касательной:

$y = 2 + \frac{1}{2}(x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 2 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x + \frac{3}{2}$.

3) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}, N(1; 1)$

Дано:

Функция: $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$

Точка касания: $N(a; b)$, где $a = 1$, $b=1$.

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

1. Значение функции в точке касания $a = 1$: $f(1) = 1^{\frac{4}{3}} = 1$. Значение совпадает с ординатой точки $N$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{\frac{4}{3}})' = \frac{4}{3}x^{\frac{4}{3}-1} = \frac{4}{3}x^{\frac{1}{3}}$.

3. Вычислим значение производной в точке касания $a = 1$:

$f'(1) = \frac{4}{3} \cdot 1^{\frac{1}{3}} = \frac{4}{3}$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(a)=1$ и $f'(a)=\frac{4}{3}$ в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{4}{3}(x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 1 + \frac{4}{3}x - \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$

Ответ: $y = \frac{4}{3}x - \frac{1}{3}$.

4) $f(x) = x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}}, N(1; 4)$

Дано:

Функция: $f(x) = x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}}$

Точка касания: $N(a; b)$, где $a = 1$, $b=4$.

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $a$ имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x-a)$.

1. Значение функции в точке касания $a = 1$: $f(1) = 1^{-3} + 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} = 1 + 3 = 4$. Значение совпадает с ординатой точки $N$.

2. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^{-3} + 3x^{\frac{2}{3}})' = -3x^{-3-1} + 3 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = -3x^{-4} + 2x^{-\frac{1}{3}}$.

3. Вычислим значение производной в точке касания $a = 1$:

$f'(1) = -3 \cdot 1^{-4} + 2 \cdot 1^{-\frac{1}{3}} = -3 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = -3 + 2 = -1$.

4. Подставим найденные значения $a=1$, $f(a)=4$ и $f'(a)=-1$ в уравнение касательной:

$y = 4 + (-1)(x - 1)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$y = 4 - x + 1$

$y = -x + 5$

Ответ: $y = -x + 5$.