Вопросы, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Верно ли утверждение, что, если $f(x) = x^{-n} (n \in N)$, то $f'(x)$ определена на $R$? Ответ обоснуйте.

2. В какой точке нельзя найти первообразную функции $y = x^{-n} (n \in N)$? Ответ обоснуйте.

1. Верно ли утверждение, что, если $f(x) = x^{-n} (n \in N)$, то $f'(x)$ определена на R? Ответ обоснуйте.

Решение

Рассмотрим функцию $f(x) = x^{-n}$, где $n$ — натуральное число ($n \in N$). Эту функцию можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^n}$.

Область определения этой функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль. В данном случае $x^n = 0$ при $x=0$. Следовательно, область определения функции $f(x)$ есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, или $R \setminus \{0\}$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^k)' = kx^{k-1}$:

$f'(x) = (x^{-n})' = -n \cdot x^{-n-1} = -\frac{n}{x^{n+1}}$

Рассмотрим область определения производной $f'(x)$. Выражение $-\frac{n}{x^{n+1}}$ не определено, когда его знаменатель $x^{n+1}$ равен нулю. Это происходит при $x=0$. Таким образом, область определения производной $f'(x)$ также является множество $R \setminus \{0\}$.

Поскольку производная $f'(x)$ не определена в точке $x=0$, она не определена на всем множестве действительных чисел $R$.

Ответ: нет, утверждение неверно. Производная $f'(x) = -\frac{n}{x^{n+1}}$ не определена в точке $x=0$, а значит, не определена на всем множестве действительных чисел $R$.

2. В какой точке нельзя найти первообразную функции $y = x^{-n} (n \in N)$? Ответ обоснуйте.

Решение

Функция дана в виде $y = f(x) = x^{-n}$, где $n \in N$. Это эквивалентно $f(x) = \frac{1}{x^n}$.

Первообразная $F(x)$ для функции $f(x)$ на некотором промежутке — это такая функция, что для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Функция $f(x) = x^{-n}$ не определена в точке $x=0$, так как это приводит к делению на ноль. В точке $x=0$ функция имеет разрыв. Необходимым условием существования первообразной для функции на некотором промежутке является непрерывность этой функции на данном промежутке. Так как любой промежуток, содержащий точку $x=0$, будет содержать точку разрыва, то найти единую первообразную, определенную на таком промежутке, невозможно. В частности, равенство $F'(0) = f(0)$ не может быть выполнено, так как $f(0)$ не существует.

Можно найти выражение для первообразной, используя правило интегрирования степенной функции $\int x^k dx = \frac{x^{k+1}}{k+1} + C$ (при $k \neq -1$).

1. Если $n=1$, то $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$. Первообразная имеет вид $F(x) = \ln|x| + C$. Эта функция не определена в точке $x=0$.

2. Если $n \neq 1$ (т.е. $n \ge 2$, так как $n \in N$), то первообразная имеет вид:

$F(x) = \int x^{-n} dx = \frac{x^{-n+1}}{-n+1} + C = -\frac{1}{(n-1)x^{n-1}} + C$.

Эта функция также не определена в точке $x=0$, так как при $n \ge 2$ степень $n-1 \ge 1$, и $x$ остается в знаменателе.

В обоих случаях полученные выражения для первообразной не определены в точке $x=0$. Это подтверждает, что в точке $x=0$ нельзя найти первообразную.

Ответ: первообразную для функции $y = x^{-n}$ нельзя найти в точке $x=0$, так как функция не определена и имеет разрыв в этой точке.