Номер 142, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

142. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = x^{-\frac{1}{2}}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$;

2) $y = \frac{1}{x^6}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0$;

3) $y = x^{-\frac{1}{3}}$, $x = 1$, $x = 8$, $y = 0$;

4) $y = \frac{1}{x^4}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0$.

1)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = x^{-\frac{1}{2}}$, $x = 1$, $x = 4$, $y = 0$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y = f(x)$, прямыми $x=a$, $x=b$ и осью абсцисс ($y=0$), вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В нашем случае $f(x) = x^{-\frac{1}{2}}$, $a = 1$, $b = 4$. Функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ является неотрицательной на отрезке $[1, 4]$.

Вычисляем интеграл, используя формулу для первообразной степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$:

$S = \int_{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx = \left. \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right|_{1}^{4} = \left. \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right|_{1}^{4} = \left. 2x^{\frac{1}{2}} \right|_{1}^{4} = \left. 2\sqrt{x} \right|_{1}^{4}$

Подставляем пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: $2$.

2)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = \frac{1}{x^6}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

Здесь $f(x) = \frac{1}{x^6} = x^{-6}$, $a = 1$, $b = 2$. Функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[1, 2]$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{2} x^{-6} dx = \left. \frac{x^{-6+1}}{-6+1} \right|_{1}^{2} = \left. \frac{x^{-5}}{-5} \right|_{1}^{2} = \left. -\frac{1}{5x^5} \right|_{1}^{2}$

По формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left(-\frac{1}{5 \cdot 2^5}\right) - \left(-\frac{1}{5 \cdot 1^5}\right) = -\frac{1}{5 \cdot 32} + \frac{1}{5} = -\frac{1}{160} + \frac{1}{5}$

Приводим к общему знаменателю:

$S = -\frac{1}{160} + \frac{32}{160} = \frac{31}{160}$.

Ответ: $\frac{31}{160}$.

3)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = x^{-\frac{1}{3}}$, $x = 1$, $x = 8$, $y = 0$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

В данном случае $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$, $a = 1$, $b = 8$. Функция $f(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ неотрицательна на отрезке $[1, 8]$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{8} x^{-\frac{1}{3}} dx = \left. \frac{x^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} \right|_{1}^{8} = \left. \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} \right|_{1}^{8} = \left. \frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}} \right|_{1}^{8}$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = \frac{3}{2}(8^{\frac{2}{3}}) - \frac{3}{2}(1^{\frac{2}{3}}) = \frac{3}{2}(\sqrt[3]{8})^2 - \frac{3}{2}(1) = \frac{3}{2}(2^2) - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{3}{2} = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12-3}{2} = \frac{9}{2}$.

Ответ: $\frac{9}{2}$.

4)

Дано:

Фигура ограничена линиями: $y = \frac{1}{x^4}$, $x = 1$, $x = 2$, $y = 0$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Площадь фигуры вычисляется по формуле $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

Здесь $f(x) = \frac{1}{x^4} = x^{-4}$, $a = 1$, $b = 2$. Функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[1, 2]$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{2} x^{-4} dx = \left. \frac{x^{-4+1}}{-4+1} \right|_{1}^{2} = \left. \frac{x^{-3}}{-3} \right|_{1}^{2} = \left. -\frac{1}{3x^3} \right|_{1}^{2}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = \left(-\frac{1}{3 \cdot 2^3}\right) - \left(-\frac{1}{3 \cdot 1^3}\right) = -\frac{1}{3 \cdot 8} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3}$

Приводим дроби к общему знаменателю:

$S = -\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$.