Номер 144, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

144. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, проведенной в точке $N(a; b)$:

1) $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$, $N\left(\frac{1}{8}; 2\right)$;

2) $f(x) = x^{-\frac{1}{4}} + 2x$, $N(1; 3)$;

3) $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$, $N(-1; 1)$;

4) $f(x) = x^3 - 3x^{\frac{2}{3}}$, $N(-1; -4)$.

1) f(x) = x^-1/3, N(1/8; 2)

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$

Точка касания $N(a; b)$, где $a = \frac{1}{8}$, $b = 2$

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0=a$ имеет вид:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

1. Найдём значение функции в точке касания. По условию $a = \frac{1}{8}$.

$f(a) = f(\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8})^{-\frac{1}{3}} = (8^{-1})^{-\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Значение совпадает с ординатой точки $N$, что подтверждает, что точка лежит на графике.

2. Найдём производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

3. Найдём значение производной в точке касания $a = \frac{1}{8}$.

$f'(\frac{1}{8}) = -\frac{1}{3}(\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}(8^{-1})^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot 8^{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot (\sqrt[3]{8})^4 = -\frac{1}{3} \cdot 2^4 = -\frac{1}{3} \cdot 16 = -\frac{16}{3}$.

4. Подставим найденные значения $a = \frac{1}{8}$, $f(a) = 2$ и $f'(a) = -\frac{16}{3}$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-\frac{16}{3})(x - \frac{1}{8})$

$y = 2 - \frac{16}{3}x + \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{8}$

$y = 2 - \frac{16}{3}x + \frac{2}{3}$

$y = -\frac{16}{3}x + \frac{6}{3} + \frac{2}{3}$

$y = -\frac{16}{3}x + \frac{8}{3}$

Ответ: $y = -\frac{16}{3}x + \frac{8}{3}$.

2) f(x) = x^-1/4 + 2x, N(1; 3)

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\frac{1}{4}} + 2x$

Точка касания $N(a; b)$, где $a = 1$, $b = 3$

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Найдём значение функции в точке касания $a=1$.

$f(1) = 1^{-\frac{1}{4}} + 2(1) = 1 + 2 = 3$.

Точка $N(1; 3)$ лежит на графике функции.

2. Найдём производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{4}} + 2x)' = -\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{4}-1} + 2 = -\frac{1}{4}x^{-\frac{5}{4}} + 2$.

3. Найдём значение производной в точке касания $a=1$.

$f'(1) = -\frac{1}{4}(1)^{-\frac{5}{4}} + 2 = -\frac{1}{4} \cdot 1 + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{7}{4}$.

4. Подставим значения $a = 1$, $f(a) = 3$ и $f'(a) = \frac{7}{4}$ в уравнение касательной:

$y = 3 + \frac{7}{4}(x - 1)$

$y = 3 + \frac{7}{4}x - \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{4}x + \frac{12}{4} - \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{4}x + \frac{5}{4}$

Ответ: $y = \frac{7}{4}x + \frac{5}{4}$.

3) f(x) = x^-4/3, N(-1; 1)

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$

Точка касания $N(a; b)$, где $a = -1$, $b = 1$

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Найдём значение функции в точке касания $a=-1$.

$f(-1) = (-1)^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{(-1)^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{-1})^4} = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1$.

Точка $N(-1; 1)$ лежит на графике функции.

2. Найдём производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^{-\frac{4}{3}})' = -\frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}-1} = -\frac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}}$.

3. Найдём значение производной в точке касания $a=-1$.

$f'(-1) = -\frac{4}{3}(-1)^{-\frac{7}{3}} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(-1)^{\frac{7}{3}}} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(\sqrt[3]{-1})^7} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(-1)^7} = -\frac{4}{3} \cdot (-1) = \frac{4}{3}$.

4. Подставим значения $a = -1$, $f(a) = 1$ и $f'(a) = \frac{4}{3}$ в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{4}{3}(x - (-1))$

$y = 1 + \frac{4}{3}(x + 1)$

$y = 1 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}x + \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$

Ответ: $y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$.

4) f(x) = x³ - 3x^2/3, N(-1; -4)

Дано:

Функция $f(x) = x^3 - 3x^{\frac{2}{3}}$

Точка касания $N(a; b)$, где $a = -1$, $b = -4$

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Найдём значение функции в точке касания $a=-1$.

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^{\frac{2}{3}} = -1 - 3(\sqrt[3]{-1})^2 = -1 - 3(-1)^2 = -1 - 3(1) = -4$.

Точка $N(-1; -4)$ лежит на графике функции.

2. Найдём производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^3 - 3x^{\frac{2}{3}})' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = 3x^2 - 2x^{-\frac{1}{3}}$.

3. Найдём значение производной в точке касания $a=-1$.

$f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1)^{-\frac{1}{3}} = 3(1) - 2(\frac{1}{\sqrt[3]{-1}}) = 3 - 2(\frac{1}{-1}) = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$.

4. Подставим значения $a = -1$, $f(a) = -4$ и $f'(a) = 5$ в уравнение касательной:

$y = -4 + 5(x - (-1))$

$y = -4 + 5(x + 1)$

$y = -4 + 5x + 5$

$y = 5x + 1$

Ответ: $y = 5x + 1$.