Страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

144. Напишите уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$, проведенной в точке $N(a; b)$:

1) $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$, $N\left(\frac{1}{8}; 2\right)$;

2) $f(x) = x^{-\frac{1}{4}} + 2x$, $N(1; 3)$;

3) $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$, $N(-1; 1)$;

4) $f(x) = x^3 - 3x^{\frac{2}{3}}$, $N(-1; -4)$.

1) f(x) = x^-1/3, N(1/8; 2)

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$

Точка касания $N(a; b)$, где $a = \frac{1}{8}$, $b = 2$

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0=a$ имеет вид:

$y = f(a) + f'(a)(x - a)$

1. Найдём значение функции в точке касания. По условию $a = \frac{1}{8}$.

$f(a) = f(\frac{1}{8}) = (\frac{1}{8})^{-\frac{1}{3}} = (8^{-1})^{-\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8} = 2$.

Значение совпадает с ординатой точки $N$, что подтверждает, что точка лежит на графике.

2. Найдём производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}}$.

3. Найдём значение производной в точке касания $a = \frac{1}{8}$.

$f'(\frac{1}{8}) = -\frac{1}{3}(\frac{1}{8})^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3}(8^{-1})^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot 8^{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3} \cdot (\sqrt[3]{8})^4 = -\frac{1}{3} \cdot 2^4 = -\frac{1}{3} \cdot 16 = -\frac{16}{3}$.

4. Подставим найденные значения $a = \frac{1}{8}$, $f(a) = 2$ и $f'(a) = -\frac{16}{3}$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-\frac{16}{3})(x - \frac{1}{8})$

$y = 2 - \frac{16}{3}x + \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{8}$

$y = 2 - \frac{16}{3}x + \frac{2}{3}$

$y = -\frac{16}{3}x + \frac{6}{3} + \frac{2}{3}$

$y = -\frac{16}{3}x + \frac{8}{3}$

Ответ: $y = -\frac{16}{3}x + \frac{8}{3}$.

2) f(x) = x^-1/4 + 2x, N(1; 3)

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\frac{1}{4}} + 2x$

Точка касания $N(a; b)$, где $a = 1$, $b = 3$

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Найдём значение функции в точке касания $a=1$.

$f(1) = 1^{-\frac{1}{4}} + 2(1) = 1 + 2 = 3$.

Точка $N(1; 3)$ лежит на графике функции.

2. Найдём производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{4}} + 2x)' = -\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{4}-1} + 2 = -\frac{1}{4}x^{-\frac{5}{4}} + 2$.

3. Найдём значение производной в точке касания $a=1$.

$f'(1) = -\frac{1}{4}(1)^{-\frac{5}{4}} + 2 = -\frac{1}{4} \cdot 1 + 2 = -\frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{7}{4}$.

4. Подставим значения $a = 1$, $f(a) = 3$ и $f'(a) = \frac{7}{4}$ в уравнение касательной:

$y = 3 + \frac{7}{4}(x - 1)$

$y = 3 + \frac{7}{4}x - \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{4}x + \frac{12}{4} - \frac{7}{4}$

$y = \frac{7}{4}x + \frac{5}{4}$

Ответ: $y = \frac{7}{4}x + \frac{5}{4}$.

3) f(x) = x^-4/3, N(-1; 1)

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\frac{4}{3}}$

Точка касания $N(a; b)$, где $a = -1$, $b = 1$

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Найдём значение функции в точке касания $a=-1$.

$f(-1) = (-1)^{-\frac{4}{3}} = \frac{1}{(-1)^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{(\sqrt[3]{-1})^4} = \frac{1}{(-1)^4} = \frac{1}{1} = 1$.

Точка $N(-1; 1)$ лежит на графике функции.

2. Найдём производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^{-\frac{4}{3}})' = -\frac{4}{3}x^{-\frac{4}{3}-1} = -\frac{4}{3}x^{-\frac{7}{3}}$.

3. Найдём значение производной в точке касания $a=-1$.

$f'(-1) = -\frac{4}{3}(-1)^{-\frac{7}{3}} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(-1)^{\frac{7}{3}}} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(\sqrt[3]{-1})^7} = -\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(-1)^7} = -\frac{4}{3} \cdot (-1) = \frac{4}{3}$.

4. Подставим значения $a = -1$, $f(a) = 1$ и $f'(a) = \frac{4}{3}$ в уравнение касательной:

$y = 1 + \frac{4}{3}(x - (-1))$

$y = 1 + \frac{4}{3}(x + 1)$

$y = 1 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}x + \frac{3}{3} + \frac{4}{3}$

$y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$

Ответ: $y = \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$.

4) f(x) = x³ - 3x^2/3, N(-1; -4)

Дано:

Функция $f(x) = x^3 - 3x^{\frac{2}{3}}$

Точка касания $N(a; b)$, где $a = -1$, $b = -4$

Найти:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $N$.

Решение:

Уравнение касательной имеет вид: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$.

1. Найдём значение функции в точке касания $a=-1$.

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^{\frac{2}{3}} = -1 - 3(\sqrt[3]{-1})^2 = -1 - 3(-1)^2 = -1 - 3(1) = -4$.

Точка $N(-1; -4)$ лежит на графике функции.

2. Найдём производную функции $f(x)$.

$f'(x) = (x^3 - 3x^{\frac{2}{3}})' = 3x^2 - 3 \cdot \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = 3x^2 - 2x^{-\frac{1}{3}}$.

3. Найдём значение производной в точке касания $a=-1$.

$f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1)^{-\frac{1}{3}} = 3(1) - 2(\frac{1}{\sqrt[3]{-1}}) = 3 - 2(\frac{1}{-1}) = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5$.

4. Подставим значения $a = -1$, $f(a) = -4$ и $f'(a) = 5$ в уравнение касательной:

$y = -4 + 5(x - (-1))$

$y = -4 + 5(x + 1)$

$y = -4 + 5x + 5$

$y = 5x + 1$

Ответ: $y = 5x + 1$.

145. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y=f(x)$ на $[a; b]:$

1) $f(x)=x^{\frac{3}{2}}$, $[1; 9];$

2) $f(x)=x^{-5}$, $[2; 3];$

3) $f(x)=x^{-\frac{2}{3}}$, $[8; 27];$

4) $f(x)=x^{-\frac{1}{4}}$, $[1; 16].$

1) f(x) = x^3/2, [1; 9]

Дано:

Функция $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$

Отрезок $[1; 9]$

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на отрезке, найдем ее производную и критические точки. Затем сравним значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, и на концах отрезка.

Производная функции $f(x) = x^{\frac{3}{2}}$ равна:

$f'(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$.

Критическая точка $x=0$ не принадлежит отрезку $[1; 9]$.

Поскольку на интервале $(1; 9)$ производная $f'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} > 0$, функция является возрастающей на всем отрезке $[1; 9]$. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(1) = 1^{\frac{3}{2}} = 1$

$f(9) = 9^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[1; 9]$ равно 1, а наибольшее равно 27.

Ответ: наименьшее значение $1$, наибольшее значение $27$.

2) f(x) = x^-5, [2; 3]

Дано:

Функция $f(x) = x^{-5}$

Отрезок $[2; 3]$

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

Найдем производную функции $f(x) = x^{-5}$.

$f'(x) = -5x^{-5-1} = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$

Приравняем производную к нулю для поиска критических точек: $f'(x) = 0$.

$-\frac{5}{x^6} = 0$

Это уравнение не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[2; 3]$.

Поскольку на интервале $(2; 3)$ производная $f'(x) = -\frac{5}{x^6} < 0$, функция является убывающей на всем отрезке $[2; 3]$. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(2) = 2^{-5} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$

$f(3) = 3^{-5} = \frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$

Сравнивая значения, получаем, что наибольшее значение равно $\frac{1}{32}$, а наименьшее равно $\frac{1}{243}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{243}$, наибольшее значение $\frac{1}{32}$.

3) f(x) = x^-2/3, [8; 27]

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$

Отрезок $[8; 27]$

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

Найдем производную функции $f(x) = x^{-\frac{2}{3}}$.

$f'(x) = -\frac{2}{3}x^{-\frac{2}{3}-1} = -\frac{2}{3}x^{-\frac{5}{3}} = -\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}}$

Приравняем производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$-\frac{2}{3\sqrt[3]{x^5}} = 0$

Уравнение не имеет решений. Производная не определена в точке $x=0$, которая не входит в отрезок $[8; 27]$.

На интервале $(8; 27)$ производная $f'(x) < 0$, так как $x>0$. Следовательно, функция убывает на всем отрезке $[8; 27]$. Наибольшее значение будет в точке $x=8$, а наименьшее — в точке $x=27$.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(8) = 8^{-\frac{2}{3}} = (8^{\frac{1}{3}})^{-2} = 2^{-2} = \frac{1}{4}$

$f(27) = 27^{-\frac{2}{3}} = (27^{\frac{1}{3}})^{-2} = 3^{-2} = \frac{1}{9}$

Следовательно, наибольшее значение функции равно $\frac{1}{4}$, а наименьшее — $\frac{1}{9}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{9}$, наибольшее значение $\frac{1}{4}$.

4) f(x) = x^-1/4, [1; 16]

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\frac{1}{4}}$

Отрезок $[1; 16]$

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

Найдем производную функции $f(x) = x^{-\frac{1}{4}}$.

$f'(x) = -\frac{1}{4}x^{-\frac{1}{4}-1} = -\frac{1}{4}x^{-\frac{5}{4}} = -\frac{1}{4\sqrt[4]{x^5}}$

Производная $f'(x)$ никогда не равна нулю. Она не определена в точке $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 16]$.

Для всех $x$ из отрезка $[1; 16]$ производная $f'(x) < 0$, значит, функция является убывающей на этом отрезке. Наибольшее значение достигается в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(1) = 1^{-\frac{1}{4}} = 1$

$f(16) = 16^{-\frac{1}{4}} = (16^{\frac{1}{4}})^{-1} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$

Таким образом, наибольшее значение функции равно 1, а наименьшее — $\frac{1}{2}$.

Ответ: наименьшее значение $\frac{1}{2}$, наибольшее значение $1$.

146. Напишите общий вид первообразных функции $y = f(x):$

1) $f(x) = x^{-1 + \sqrt{5}} + x^{2.5};$

2) $f(x) = -2x^{-53} + \sqrt{x};$

3) $f(x) = x^{3 + \sqrt{2}} + \sqrt[4]{x^3};$

4) $f(x) = 5x^{-\sqrt{6} - 1} - \sqrt[5]{x^2}.$

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем нахождения неопределенного интеграла $\int f(x)dx$. Для решения используется формула первообразной для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (где $n \neq -1$) и свойство линейности интеграла, которое позволяет находить первообразную суммы функций как сумму их первообразных. $C$ — произвольная постоянная.

1) $f(x) = x^{-1+\sqrt{5}} + x^{2.5}$

Для нахождения общего вида первообразной $F(x)$ проинтегрируем функцию $f(x)$:

$F(x) = \int (x^{-1+\sqrt{5}} + x^{2.5}) dx = \int x^{-1+\sqrt{5}} dx + \int x^{2.5} dx$

Применяя формулу для степенной функции для каждого слагаемого, получаем:

$F(x) = \frac{x^{-1+\sqrt{5}+1}}{-1+\sqrt{5}+1} + \frac{x^{2.5+1}}{2.5+1} + C = \frac{x^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}} + \frac{x^{3.5}}{3.5} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{x^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}} + \frac{x^{3.5}}{3.5} + C$.

2) $f(x) = -2x^{-53} + \sqrt{x}$

Сначала представим функцию в виде суммы степенных функций: $f(x) = -2x^{-53} + x^{1/2}$.

Теперь находим первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (-2x^{-53} + x^{1/2}) dx = -2 \int x^{-53} dx + \int x^{1/2} dx$

Интегрируем каждое слагаемое:

$F(x) = -2 \cdot \frac{x^{-53+1}}{-53+1} + \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = -2 \cdot \frac{x^{-52}}{-52} + \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$

Упростив выражение, получим:

$F(x) = \frac{1}{26}x^{-52} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{1}{26}x^{-52} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

3) $f(x) = x^{3+\sqrt{2}} + \sqrt[4]{x^3}$

Представим функцию в виде суммы степенных функций: $f(x) = x^{3+\sqrt{2}} + x^{3/4}$.

Находим первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (x^{3+\sqrt{2}} + x^{3/4}) dx = \int x^{3+\sqrt{2}} dx + \int x^{3/4} dx$

Интегрируем каждое слагаемое:

$F(x) = \frac{x^{3+\sqrt{2}+1}}{3+\sqrt{2}+1} + \frac{x^{3/4+1}}{3/4+1} + C = \frac{x^{4+\sqrt{2}}}{4+\sqrt{2}} + \frac{x^{7/4}}{7/4} + C$

Упростив второе слагаемое, получим:

$F(x) = \frac{x^{4+\sqrt{2}}}{4+\sqrt{2}} + \frac{4}{7}x^{7/4} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{x^{4+\sqrt{2}}}{4+\sqrt{2}} + \frac{4}{7}x^{7/4} + C$.

4) $f(x) = 5x^{-\sqrt{6}-1} - \sqrt[5]{x^2}$

Представим функцию в виде степенных функций: $f(x) = 5x^{-\sqrt{6}-1} - x^{2/5}$.

Находим первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (5x^{-\sqrt{6}-1} - x^{2/5}) dx = 5 \int x^{-\sqrt{6}-1} dx - \int x^{2/5} dx$

Интегрируем каждое слагаемое:

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{-\sqrt{6}-1+1}}{-\sqrt{6}-1+1} - \frac{x^{2/5+1}}{2/5+1} + C = 5 \cdot \frac{x^{-\sqrt{6}}}{-\sqrt{6}} - \frac{x^{7/5}}{7/5} + C$

Упростим выражение и избавимся от иррациональности в знаменателе первого слагаемого:

$F(x) = -\frac{5}{\sqrt{6}}x^{-\sqrt{6}} - \frac{5}{7}x^{7/5} + C = -\frac{5\sqrt{6}}{6}x^{-\sqrt{6}} - \frac{5}{7}x^{7/5} + C$

Ответ: $F(x) = -\frac{5\sqrt{6}}{6}x^{-\sqrt{6}} - \frac{5}{7}x^{7/5} + C$.

Вычислите интегралы (147–148):

147.1) $\int_{0}^{7} (x+1)^{-\frac{2}{3}} dx,$

2) $\int_{-4}^{3} \frac{dx}{(5+x)^{\frac{1}{3}}}.$

147.1)

Решение

Для вычисления данного определенного интеграла $ \int_{0}^{7} (x+1)^{-\frac{2}{3}} dx $ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ — первообразная для функции $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = (x+1)^{-\frac{2}{3}} $. Это степенная функция вида $ u^n $, где $ u=x+1 $ и $ n = -\frac{2}{3} $. Подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования $[0, 7]$.

По формуле интегрирования степенной функции $ \int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C $, имеем:

$ F(x) = \int (x+1)^{-\frac{2}{3}} dx = \frac{(x+1)^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} = \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} = 3(x+1)^{\frac{1}{3}} = 3\sqrt[3]{x+1} $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница к найденной первообразной $ F(x) $ на отрезке $[0, 7]$:

$ \int_{0}^{7} (x+1)^{-\frac{2}{3}} dx = \left[ 3(x+1)^{\frac{1}{3}} \right]_{0}^{7} = F(7) - F(0) $.

Вычисляем значения первообразной на концах отрезка интегрирования:

$ F(7) = 3(7+1)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 8^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{8} = 3 \cdot 2 = 6 $.

$ F(0) = 3(0+1)^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot 1^{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{1} = 3 \cdot 1 = 3 $.

Находим значение интеграла:

$ \int_{0}^{7} (x+1)^{-\frac{2}{3}} dx = 6 - 3 = 3 $.

Ответ: 3.

2)

Решение

Сначала перепишем подынтегральное выражение в виде степенной функции: $ \int_{-4}^{3} \frac{dx}{(5+x)^{\frac{1}{3}}} = \int_{-4}^{3} (5+x)^{-\frac{1}{3}} dx $.

Для вычисления этого определенного интеграла используем формулу Ньютона-Лейбница. Подынтегральная функция $ f(x) = (5+x)^{-\frac{1}{3}} $ определена и непрерывна на отрезке интегрирования $[-4, 3]$, так как точка разрыва $ x=-5 $ не входит в этот отрезок.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = (5+x)^{-\frac{1}{3}} $. Это степенная функция вида $ u^n $, где $ u=5+x $ и $ n = -\frac{1}{3} $.

Используя формулу для интеграла от степенной функции, получаем:

$ F(x) = \int (5+x)^{-\frac{1}{3}} dx = \frac{(5+x)^{-\frac{1}{3}+1}}{-\frac{1}{3}+1} = \frac{(5+x)^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(5+x)^{\frac{2}{3}} $.

Теперь, по формуле Ньютона-Лейбница, вычисляем значение интеграла:

$ \int_{-4}^{3} (5+x)^{-\frac{1}{3}} dx = \left[ \frac{3}{2}(5+x)^{\frac{2}{3}} \right]_{-4}^{3} = F(3) - F(-4) $.

Вычисляем значения первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

$ F(3) = \frac{3}{2}(5+3)^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \cdot 8^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \cdot (\sqrt[3]{8})^2 = \frac{3}{2} \cdot 2^2 = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6 $.

$ F(-4) = \frac{3}{2}(5+(-4))^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \cdot 1^{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} $.

Находим значение интеграла как разность этих значений:

$ \int_{-4}^{3} (5+x)^{-\frac{1}{3}} dx = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12}{2} - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} $.

Ответ: $ \frac{9}{2} $.

148.

1)

$ \int_0^5 5 (1 + 3x)^{-0.75} dx $,

2)

$ \int_0^{155} 0.4 (1 + 0.2x)^{-0.6} dx $.

1)

Дано:

Определенный интеграл $ \int_{0}^{5} 5 (1 + 3x)^{-0.75} dx $.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.

Сначала найдем неопределенный интеграл (первообразную) от функции $ f(x) = 5 (1 + 3x)^{-0.75} $.

$ F(x) = \int 5 (1 + 3x)^{-0.75} dx = 5 \int (1 + 3x)^{-0.75} dx $

Для вычисления интеграла применим метод замены переменной. Пусть $ t = 1 + 3x $. Тогда дифференциал $ dt = (1 + 3x)' dx = 3 dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{3} $.

Подставим новую переменную в интеграл:

$ 5 \int t^{-0.75} \frac{dt}{3} = \frac{5}{3} \int t^{-0.75} dt $

Теперь используем табличный интеграл для степенной функции $ \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C $:

$ \frac{5}{3} \cdot \frac{t^{-0.75+1}}{-0.75+1} + C = \frac{5}{3} \cdot \frac{t^{0.25}}{0.25} + C $

Поскольку $ 0.25 = \frac{1}{4} $, получаем:

$ \frac{5}{3} \cdot \frac{t^{0.25}}{1/4} + C = \frac{5}{3} \cdot 4 \cdot t^{0.25} + C = \frac{20}{3} t^{0.25} + C $

Теперь выполним обратную замену $ t = 1 + 3x $:

$ F(x) = \frac{20}{3} (1 + 3x)^{0.25} $

Теперь, имея первообразную, вычислим определенный интеграл:

$ \int_{0}^{5} 5 (1 + 3x)^{-0.75} dx = \left[ \frac{20}{3} (1 + 3x)^{0.25} \right]_{0}^{5} = \frac{20}{3} (1 + 3 \cdot 5)^{0.25} - \frac{20}{3} (1 + 3 \cdot 0)^{0.25} $

Вычислим значения на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

При $ x = 5 $: $ \frac{20}{3} (1 + 15)^{0.25} = \frac{20}{3} (16)^{1/4} = \frac{20}{3} \cdot 2 = \frac{40}{3} $

При $ x = 0 $: $ \frac{20}{3} (1 + 0)^{0.25} = \frac{20}{3} (1)^{1/4} = \frac{20}{3} \cdot 1 = \frac{20}{3} $

Вычитаем значение на нижнем пределе из значения на верхнем:

$ \frac{40}{3} - \frac{20}{3} = \frac{20}{3} $

Ответ: $ \frac{20}{3} $.

2)

Дано:

Определенный интеграл $ \int_{0}^{155} 0.4 (1 + 0.2x)^{-0.6} dx $.

Найти:

Значение данного интеграла.

Решение:

Аналогично предыдущему пункту, сначала найдем первообразную функции $ f(x) = 0.4 (1 + 0.2x)^{-0.6} $.

$ F(x) = \int 0.4 (1 + 0.2x)^{-0.6} dx = 0.4 \int (1 + 0.2x)^{-0.6} dx $

Произведем замену переменной. Пусть $ t = 1 + 0.2x $. Тогда $ dt = (1 + 0.2x)' dx = 0.2 dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{0.2} $.

Подставляем в интеграл:

$ 0.4 \int t^{-0.6} \frac{dt}{0.2} = \frac{0.4}{0.2} \int t^{-0.6} dt = 2 \int t^{-0.6} dt $

Интегрируем степенную функцию:

$ 2 \cdot \frac{t^{-0.6+1}}{-0.6+1} + C = 2 \cdot \frac{t^{0.4}}{0.4} + C $

Так как $ \frac{2}{0.4} = \frac{2}{4/10} = \frac{20}{4} = 5 $, получаем:

$ 5 t^{0.4} + C $

Выполняем обратную замену $ t = 1 + 0.2x $:

$ F(x) = 5 (1 + 0.2x)^{0.4} $

Теперь вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{155} 0.4 (1 + 0.2x)^{-0.6} dx = \left[ 5 (1 + 0.2x)^{0.4} \right]_{0}^{155} = 5 (1 + 0.2 \cdot 155)^{0.4} - 5 (1 + 0.2 \cdot 0)^{0.4} $

Вычислим значения на пределах:

При $ x = 155 $: $ 5 (1 + 0.2 \cdot 155)^{0.4} = 5 (1 + 31)^{0.4} = 5 (32)^{0.4} $. Поскольку $ 0.4 = \frac{2}{5} $, то $ (32)^{2/5} = (\sqrt[5]{32})^2 = 2^2 = 4 $. Значение равно $ 5 \cdot 4 = 20 $.

При $ x = 0 $: $ 5 (1 + 0)^{0.4} = 5 (1)^{0.4} = 5 \cdot 1 = 5 $.

Вычитаем результаты:

$ 20 - 5 = 15 $

Ответ: $ 15 $.

149. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = x^{-2}$, $x = 2$, $x = 3$, $y = 1;$

2) $y = -x^{2}$, $x = -1$, $x = 1$, $y = -2;$

3) $y = x^{-3}$, $x = -4$, $x = -1$, $y = -1;$

4) $y = -x^{3}$, $x = -3$, $x = -2$, $y = 2.$

1)

Дано:

Фигура ограничена линиями $y = x^{-2}$, $x=2$, $x=3$, $y=1$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Запишем функцию в виде $y = \frac{1}{x^2}$. В промежутке $x \in [2, 3]$ значения функции $y$ изменяются от $y(2)=\frac{1}{4}$ до $y(3)=\frac{1}{9}$. На этом промежутке график функции $y=\frac{1}{x^2}$ находится ниже прямой $y=1$.

Следовательно, искомая площадь является площадью криволинейной трапеции, ограниченной сверху прямой $y=1$, снизу — кривой $y=\frac{1}{x^2}$, и по бокам — прямыми $x=2$ и $x=3$.

Площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{2}^{3} \left(1 - \frac{1}{x^2}\right) dx = \int_{2}^{3} (1 - x^{-2}) dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (1 - x^{-2}) dx = x - \frac{x^{-1}}{-1} = x + \frac{1}{x}$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = F(3) - F(2) = \left(3 + \frac{1}{3}\right) - \left(2 + \frac{1}{2}\right) = \frac{10}{3} - \frac{5}{2} = \frac{20 - 15}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $S = \frac{5}{6}$ кв. ед.

2)

Дано:

Фигура ограничена линиями $y = -x^2$, $x=-1$, $x=1$, $y=-2$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Функция $y=-x^2$ задает параболу, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 0). В промежутке $x \in [-1, 1]$ значения функции $y$ изменяются от $y(-1)=-1$ до $y(1)=-1$, проходя через $y(0)=0$. На этом промежутке график функции $y=-x^2$ находится выше прямой $y=-2$.

Следовательно, искомая площадь ограничена сверху параболой $y=-x^2$, снизу — прямой $y=-2$, и по бокам — прямыми $x=-1$ и $x=1$.

Площадь $S$ вычисляется с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{-1}^{1} (-x^2 - (-2)) dx = \int_{-1}^{1} (2 - x^2) dx$

Поскольку подынтегральная функция $f(x) = 2-x^2$ является четной ($f(-x)=2-(-x)^2=2-x^2=f(x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, можно упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{1} (2 - x^2) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (2 - x^2) dx = 2x - \frac{x^3}{3}$

Вычислим интеграл:

$S = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 2 \left( \left(2(1) - \frac{1^3}{3}\right) - \left(2(0) - \frac{0^3}{3}\right) \right) = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} \right) = 2 \cdot \frac{5}{3} = \frac{10}{3}$

Ответ: $S = \frac{10}{3}$ кв. ед.

3)

Дано:

Фигура ограничена линиями $y = x^{-3}$, $x=-4$, $x=-1$, $y=-1$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Запишем функцию в виде $y = \frac{1}{x^3}$. В промежутке $x \in [-4, -1]$ функция отрицательна. Сравним значения функции с прямой $y=-1$. При $x=-1$, $y=\frac{1}{(-1)^3}=-1$. При $x \in [-4, -1)$, $|x| > 1$, следовательно $|x^3| > 1$ и $|\frac{1}{x^3}| < 1$. Так как $y<0$, получаем $-1 < y < 0$. Таким образом, на промежутке $x \in [-4, -1]$ график функции $y=\frac{1}{x^3}$ находится выше прямой $y=-1$.

Площадь фигуры, ограниченной сверху кривой $y=\frac{1}{x^3}$, снизу — прямой $y=-1$, и по бокам — прямыми $x=-4$ и $x=-1$, вычисляется интегралом:

$S = \int_{-4}^{-1} \left(\frac{1}{x^3} - (-1)\right) dx = \int_{-4}^{-1} (x^{-3} + 1) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (x^{-3} + 1) dx = \frac{x^{-2}}{-2} + x = -\frac{1}{2x^2} + x$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left[ -\frac{1}{2x^2} + x \right]_{-4}^{-1} = \left(-\frac{1}{2(-1)^2} + (-1)\right) - \left(-\frac{1}{2(-4)^2} + (-4)\right)$

$S = \left(-\frac{1}{2} - 1\right) - \left(-\frac{1}{32} - 4\right) = -\frac{3}{2} - \left(-\frac{129}{32}\right) = -\frac{3}{2} + \frac{129}{32}$

$S = -\frac{48}{32} + \frac{129}{32} = \frac{81}{32}$

Ответ: $S = \frac{81}{32}$ кв. ед.

4)

Дано:

Фигура ограничена линиями $y = -x^3$, $x=-3$, $x=-2$, $y=2$.

Найти:

Площадь фигуры $S$.

Решение:

Функция $y=-x^3$ в промежутке $x \in [-3, -2]$ принимает положительные значения. При $x=-3$, $y=-(-3)^3 = 27$. При $x=-2$, $y=-(-2)^3 = 8$. На всем промежутке $x \in [-3, -2]$ значения функции $y=-x^3$ больше 2, так как наименьшее значение функции на этом отрезке равно 8. Следовательно, график функции $y=-x^3$ находится выше прямой $y=2$.

Площадь фигуры, ограниченной сверху кривой $y=-x^3$, снизу — прямой $y=2$, и по бокам — прямыми $x=-3$ и $x=-2$, вычисляется интегралом:

$S = \int_{-3}^{-2} (-x^3 - 2) dx$

Найдем первообразную:

$F(x) = \int (-x^3 - 2) dx = -\frac{x^4}{4} - 2x$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left[ -\frac{x^4}{4} - 2x \right]_{-3}^{-2} = \left(-\frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)\right) - \left(-\frac{(-3)^4}{4} - 2(-3)\right)$

$S = \left(-\frac{16}{4} + 4\right) - \left(-\frac{81}{4} + 6\right) = (-4 + 4) - \left(-\frac{81}{4} + \frac{24}{4}\right)$

$S = 0 - \left(-\frac{57}{4}\right) = \frac{57}{4}$

Ответ: $S = \frac{57}{4}$ кв. ед.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Найдите значение выражения $\sqrt{0,64} + \sqrt[3]{-15 \frac{5}{8}} + \sqrt{16}$:

A. 5,3;

B. 0,3;

C. 2,8;

D. 3.

2. Возведите во вторую степень выражение $a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{4}}$:

A. $a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} + 2b^{\frac{1}{2}}$;

B. $a + 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{2}}$;

C. $a + 4b^{\frac{1}{2}}$;

D. $a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{2}}$.

3. Вычислите $\sqrt[5]{23 \cdot 32} \cdot \sqrt[5]{27 \cdot 3^3}$:

A. 56;

B. 18;

C. 12;

D. 36.

4. При каком значении $a$ верно равенство $(a^8)^{\frac{1}{4}} = a^2$?

A. $a$ — положительное число;

B. $a$ — любое число;

C. Такое значение не существует;

D. $a$ — неотрицательное число?

5. Назовите два последовательных целых числа, между которыми расположено выражение $12^{\frac{1}{2}}$:

A. 1 и 2;

B. 2 и 3;

C. 3 и 4;

D. 4 и 5.

6. Упростите выражение $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y}) \cdot (\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y}) + 4\sqrt[4]{y^2} : \sqrt[8]{y^3}$:

A. $x^{\frac{1}{2}}$;

B. $x^{\frac{1}{2}} - 8y^{\frac{1}{2}}$;

C. $x^{\frac{1}{2}} - y^{\frac{1}{2}}$;

D. $8y^{\frac{1}{2}}$.

7. Решите уравнение $\sqrt{x-4} = 7$:

A. 0;

B. 49;

C. 50;

D. 53.

8. Найдите корень уравнения $\sqrt{2x+3} = x$:

A. -3;

B. 1;

C. 3;

D. -1.

9. Чему равно значение выражения $(\frac{8}{27})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{4}{9})^{\frac{1}{2}}$?

A. 1;

B. $\frac{2}{9}$;

C. 0,5;

D. $\frac{1}{3}$?

10. Вычислите значение выражения $\sqrt[4]{625c^4} + \sqrt[5]{32c^5} + \sqrt{36c^2}$ при $c = -\frac{1}{13}$:

A. 13;

B. -13;

C. -1;

D. 1.

11. Сократите дробь $\frac{a-b}{a^{0,5}b^{0,5} - b}$:

A. $\frac{a^{0,5} - b^{0,5}}{b^{0,5}}$;

B. $\frac{a^{0,5} + b^{0,5}}{b^{0,5}}$;

C. $\frac{a^{0,5}}{b^{0,5}}$;

D. $\frac{a^{0,5} - b^{0,5}}{b}$.

12. Решите уравнение $\sqrt{3x} - 5 = x - 3$:

A. 2; 7;

B. 7;

C. 2;

D. Не имеет решения.

13. Вынесите множитель из-под корня $\sqrt[3]{54a^5b^7c^3}$:

A. $54abc\sqrt[3]{a^2b}$;

B. $3abc\sqrt[3]{ab^2}$;

C. $3ab^2c\sqrt[3]{2a^2b}$;

D. $abc\sqrt[3]{54a^2b}$.

14. Освободите знаменатель дроби от иррациональности $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5} - \sqrt{b}}$:

A. $\frac{5 - \sqrt{5b}}{5 - b}$;

B. $\frac{25 + b}{5 - b}$;

C. $\frac{5 + \sqrt{5b}}{5 - b}$;

D. $\frac{25 - \sqrt{5b}}{5 + b}$.

15. Сколько корней имеет уравнение $x^4 - 16 = 0$:

A. Один корень;

B. Два корня;

C. Бесчисленное множество;

D. Четыре корня?

16. Упростите $\left(\frac{a^{\frac{1}{2}} - 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1}\right)^{-1} \cdot \left(\frac{a^{\frac{1}{2}} - 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1}\right)^{\frac{1}{2}}$:

A. $\frac{1}{(a-1)^2}$;

B. $\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a-1)^2}$;

C. 1;

D. $\frac{2a^{\frac{1}{2}} + 2}{(a-1)^2}$.

17. Найдите область определения функции $y = 2 - \sqrt{x^2 + 3}$:

A. $(-\infty; -3]$;

B. $(-\infty; \sqrt{3}]$;

C. Любое число;

D. $[\sqrt{3}; +\infty)$.

18. Составьте уравнение касательной к графику функции $y = x^4$ в точке с абсциссой $x=1$:

A. $y = x - \frac{3}{4}$;

B. $y = x - \frac{1}{4}$;

C. $y = \frac{1}{4}x + 2$;

D. $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.

19. Вычислите интеграл $\int_0^1 x^4 dx$:

A. 1;

B. $\frac{25}{16}$;

C. $-\frac{25}{16}$;

D. -1.

20. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями $y = \sqrt{x}, y = 0, x = 4$:

A. $\frac{8}{3}$;

B. $\frac{3}{16}$;

C. $\frac{16}{3}$;

D. $\frac{2}{3}$.

1. Найдите значение выражения $\sqrt{0,64} + \sqrt[3]{-15\frac{5}{8}} + \sqrt[4]{16}$

Вычислим значение каждого слагаемого по отдельности:
Первое слагаемое: $\sqrt{0,64} = 0,8$.
Второе слагаемое: $\sqrt[3]{-15\frac{5}{8}} = \sqrt[3]{-\frac{15 \cdot 8 + 5}{8}} = \sqrt[3]{-\frac{125}{8}} = -\frac{5}{2} = -2,5$.
Третье слагаемое: $\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.
Теперь сложим полученные значения:
$0,8 + (-2,5) + 2 = 0,8 - 2,5 + 2 = -1,7 + 2 = 0,3$.

Ответ: B. 0,3

2. Возведите во вторую степень выражение $a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{4}}$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 2b^{\frac{1}{4}}$.
$(a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{4}})^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot (2b^{\frac{1}{4}}) + (2b^{\frac{1}{4}})^2$
$= a^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} + 2^2 \cdot b^{\frac{1}{4} \cdot 2}$
$= a^1 + 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{2}}$
$= a + 4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}} + 4b^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: B. $a+4a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{4}}+4b^{\frac{1}{2}}$

3. Вычислите $\sqrt[5]{2^3 \cdot 3^2} \cdot \sqrt[5]{2^7 \cdot 3^3}$

Используем свойство корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:
$\sqrt[5]{2^3 \cdot 3^2 \cdot 2^7 \cdot 3^3} = \sqrt[5]{2^{3+7} \cdot 3^{2+3}} = \sqrt[5]{2^{10} \cdot 3^5}$.
Теперь используем свойство $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y}$:
$\sqrt[5]{2^{10}} \cdot \sqrt[5]{3^5} = 2^{\frac{10}{5}} \cdot 3^{\frac{5}{5}} = 2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: C. 12

4. При каком значении $a$ верно равенство $(a^8)^{\frac{1}{4}} = a^2$?

Рассмотрим левую часть равенства. Выражение $x^{\frac{1}{4}}$ определено для $x \ge 0$. В нашем случае основанием степени является $a^8$. Так как любое действительное число в четной степени неотрицательно, $a^8 \ge 0$ для любого действительного $a$.
Преобразуем левую часть: $(a^8)^{\frac{1}{4}} = a^{8 \cdot \frac{1}{4}} = a^2$.
Таким образом, мы получаем тождество $a^2=a^2$, которое верно для всех значений $a$, при которых определена левая часть. Как мы установили, левая часть определена для любого действительного числа $a$.

Ответ: B. $a$ — любое число

5. Назовите два последовательных целых числа, между которыми расположено выражение $12^{\frac{1}{3}}$

Нам нужно оценить значение $\sqrt[3]{12}$.
Рассмотрим кубы ближайших целых чисел:
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$
Поскольку $8 < 12 < 27$, то $\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{12} < \sqrt[3]{27}$, что означает $2 < 12^{\frac{1}{3}} < 3$.
Следовательно, выражение расположено между целыми числами 2 и 3.

Ответ: B. 2 и 3

6. Упростите выражение $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y}) \cdot (\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y}) + 4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}$

Заметим, что в вопросе, скорее всего, опечатка. Наиболее вероятный вид выражения, приводящий к одному из ответов: $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y}) + 4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}$.
Рассмотрим первую часть выражения: $(\sqrt[4]{x} - 2\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} + 2\sqrt[4]{y})$. Это разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
$(\sqrt[4]{x})^2 - (2\sqrt[4]{y})^2 = x^{\frac{2}{4}} - 4y^{\frac{2}{4}} = x^{\frac{1}{2}} - 4y^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} - 4\sqrt{y}$.
Рассмотрим вторую часть выражения: $4\sqrt[8]{y^7} : \sqrt[8]{y^3}$. Используем свойство частного корней:
$4 \cdot \frac{y^{\frac{7}{8}}}{y^{\frac{3}{8}}} = 4 \cdot y^{\frac{7}{8} - \frac{3}{8}} = 4 \cdot y^{\frac{4}{8}} = 4 \cdot y^{\frac{1}{2}} = 4\sqrt{y}$.
Теперь объединим обе части:
$(\sqrt{x} - 4\sqrt{y}) + 4\sqrt{y} = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: A. $x^{\frac{1}{2}}$

7. Решите уравнение $\sqrt{x-4} = 7$

Чтобы избавиться от квадратного корня, возведем обе части уравнения в квадрат.
$(\sqrt{x-4})^2 = 7^2$
$x - 4 = 49$
Перенесем -4 в правую часть:
$x = 49 + 4$
$x = 53$.
Проверка: $\sqrt{53-4} = \sqrt{49} = 7$. Корень найден верно.

Ответ: D. 53

8. Найдите корень уравнения $\sqrt{2x+3} = x$

Область допустимых значений (ОДЗ):
1. Полкоренное выражение должно быть неотрицательным: $2x+3 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge -3 \Rightarrow x \ge -1,5$.
2. Арифметический квадратный корень не может быть отрицательным, поэтому $x \ge 0$.
Объединяя условия, получаем $x \ge 0$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{2x+3})^2 = x^2$
$2x+3 = x^2$
$x^2 - 2x - 3 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем корни по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$, $x_1 \cdot x_2 = -3$.
Корни: $x_1=3$, $x_2=-1$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
$x_1=3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$.
$x_2=-1$ не удовлетворяет условию $-1 \ge 0$, это посторонний корень.
Единственный корень уравнения - это $x=3$.

Ответ: C. 3

9. Чему равно значение выражения $(\frac{8}{27})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{4}{9})^{\frac{1}{2}}$

Вычислим значение каждого множителя:
$(\frac{8}{27})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{27}{8})^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}$.
$(\frac{4}{9})^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
Перемножим результаты:
$\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3} = 1$.

Ответ: A. 1

10. Вычислите значение выражения $\sqrt[4]{625c^4} + \sqrt[5]{32c^5} + \sqrt{36c^2}$ при $c = -\frac{1}{13}$

Упростим выражение, используя свойства корней $\sqrt[n]{x^n}$. Для четного $n$, $\sqrt[n]{x^n}=|x|$, для нечетного $n$, $\sqrt[n]{x^n}=x$.
$\sqrt[4]{625c^4} = \sqrt[4]{(5c)^4} = |5c|$.
$\sqrt[5]{32c^5} = \sqrt[5]{(2c)^5} = 2c$.
$\sqrt{36c^2} = \sqrt{(6c)^2} = |6c|$.
Выражение равно $|5c| + 2c + |6c|$.
При решении подобных задач в школьном курсе иногда допускается упрощение $\sqrt[n]{x^n}=x$ без модуля. Если применить такое упрощение, получим:
$5c + 2c + 6c = 13c$.
Подставим значение $c = -\frac{1}{13}$:
$13 \cdot (-\frac{1}{13}) = -1$.
Этот результат совпадает с одним из вариантов ответа, в то время как строгое решение с модулями ($5|c| + 2c + 6|c| = 11|c| + 2c \Rightarrow 11(\frac{1}{13}) - \frac{2}{13} = \frac{9}{13}$) не совпадает. Вероятно, авторы задачи предполагали упрощение без модуля.

Ответ: C. -1

11. Сократите дробь $\frac{a-b}{a^{0,5}b^{0,5} - b}$

Разложим числитель как разность квадратов, представив $a = (a^{0,5})^2$ и $b = (b^{0,5})^2$:
$a-b = (a^{0,5} - b^{0,5})(a^{0,5} + b^{0,5})$.
В знаменателе вынесем общий множитель $b^{0,5}$:
$a^{0,5}b^{0,5} - b = b^{0,5}(a^{0,5} - b^{0,5})$.
Теперь запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$\frac{(a^{0,5} - b^{0,5})(a^{0,5} + b^{0,5})}{b^{0,5}(a^{0,5} - b^{0,5})}$.
Сократим общий множитель $(a^{0,5} - b^{0,5})$:
$\frac{a^{0,5} + b^{0,5}}{b^{0,5}}$.

Ответ: B. $\frac{a^{0,5} + b^{0,5}}{b^{0,5}}$

12. Решите уравнение $\sqrt{3x-5} = x-3$

ОДЗ: $3x-5 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{5}{3}$ и $x-3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. Итоговая ОДЗ: $x \ge 3$.
Возведем обе части в квадрат:
$3x-5 = (x-3)^2$
$3x-5 = x^2 - 6x + 9$
$x^2 - 9x + 14 = 0$.
По теореме Виета, $x_1+x_2=9$ и $x_1x_2=14$. Корни: $x_1=2$, $x_2=7$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 3$):
$x_1=2$ не удовлетворяет условию, это посторонний корень.
$x_2=7$ удовлетворяет условию.
Единственный корень - 7.

Ответ: B. 7

13. Вынесите множитель из-под корня $\sqrt[3]{54a^5b^7c^3}$

Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы степени были кратны 3:
$\sqrt[3]{54a^5b^7c^3} = \sqrt[3]{27 \cdot 2 \cdot a^3 \cdot a^2 \cdot b^6 \cdot b \cdot c^3}$
Сгруппируем множители с кубическими степенями:
$= \sqrt[3]{(3^3 \cdot a^3 \cdot (b^2)^3 \cdot c^3) \cdot (2a^2b)}$
Вынесем множители из-под знака корня:
$= 3 \cdot a \cdot b^2 \cdot c \cdot \sqrt[3]{2a^2b} = 3ab^2c\sqrt[3]{2a^2b}$.

Ответ: C. $3ab^2c\sqrt[3]{2a^2b}$

14. Освободите знаменатель дроби от иррациональности $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{b}}$

Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(\sqrt{5}+\sqrt{b})$.
$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{b})}{(\sqrt{5}-\sqrt{b})(\sqrt{5}+\sqrt{b})}$
В знаменателе получаем разность квадратов: $(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{b})^2 = 5-b$.
В числителе раскрываем скобки: $\sqrt{5}\cdot\sqrt{5} + \sqrt{5}\cdot\sqrt{b} = 5 + \sqrt{5b}$.
Получаем дробь: $\frac{5+\sqrt{5b}}{5-b}$.

Ответ: C. $\frac{5+\sqrt{5b}}{5-b}$

15. Сколько корней имеет уравнение $x^4 - 16 = 0$

Перепишем уравнение как $x^4 = 16$.
Это биквадратное уравнение. Можно решить его, разложив на множители как разность квадратов:
$(x^2-4)(x^2+4) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
1) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = 2, x_2 = -2$.
2) $x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = -4$. Это уравнение не имеет действительных корней.
Таким образом, уравнение имеет два действительных корня.

Ответ: B. Два корня

16. Упростите $(\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}-1} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}+1})^{-1} \cdot \dots$

Текст задания в изображении нечитаем и, вероятно, содержит опечатки. Решим задачу для наиболее вероятной исправленной версии, которая приводит к одному из ответов:
$(\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}-1} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}+1}) \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a-1}$
Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{a^{\frac{1}{2}}-1} - \frac{1}{a^{\frac{1}{2}}+1} = \frac{(a^{\frac{1}{2}}+1) - (a^{\frac{1}{2}}-1)}{(a^{\frac{1}{2}}-1)(a^{\frac{1}{2}}+1)} = \frac{a^{\frac{1}{2}}+1 - a^{\frac{1}{2}}+1}{a-1} = \frac{2}{a-1}$.
Теперь умножим результат на вторую часть выражения:
$\frac{2}{a-1} \cdot \frac{a^{\frac{1}{2}}}{a-1} = \frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a-1)^2}$.

Ответ: B. $\frac{2a^{\frac{1}{2}}}{(a-1)^2}$

17. Найдите область определения функции $y=2-\sqrt{x^2+3}$

Область определения функции задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:
$x^2+3 \ge 0$.
Для любого действительного числа $x$, значение $x^2$ всегда неотрицательно, то есть $x^2 \ge 0$.
Следовательно, $x^2+3 \ge 0+3=3$.
Так как $x^2+3$ всегда больше или равно 3, то условие $x^2+3 \ge 0$ выполняется для любого действительного числа $x$.
Таким образом, область определения функции - все действительные числа.

Ответ: C. Любое число

18. Составьте уравнение касательной к графику функции $y=x^{\frac{1}{4}}$ в точке с абсциссой $x=1$

Дано:

Функция: $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$

Абсцисса точки касания: $x_0 = 1$

Найти:

Уравнение касательной.

Решение:

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = 1^{\frac{1}{4}} = 1$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$.
3. Найдем значение производной (угловой коэффициент касательной) в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{1}{4} \cdot 1^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \cdot 1 = \frac{1}{4}$.
4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:
$y = 1 + \frac{1}{4}(x-1)$
$y = 1 + \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}$
$y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$.

Ответ: D. $y = \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}$

19. Вычислите интеграл $\int_0^1 \frac{5}{4}x^4 dx$

Дано:

Определенный интеграл $\int_0^1 \frac{5}{4}x^4 dx$.

Найти:

Значение интеграла.

Решение:

В условии, вероятно, опечатка, так как вычисление $\int_0^1 \frac{5}{4}x^4 dx$ дает $\frac{1}{4}$, чего нет в вариантах ответа. Наиболее вероятная версия условия, приводящая к ответу A: $\int_0^1 5x^4 dx$.
Решим эту версию:
Используем формулу Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.
1. Найдем первообразную для $f(x)=5x^4$:
$F(x) = \int 5x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$.
2. Вычислим значение интеграла:
$\int_0^1 5x^4 dx = [x^5]_0^1 = 1^5 - 0^5 = 1 - 0 = 1$.

Ответ: A. 1

20. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями $y=\sqrt{x}, y=0, x=4$

Дано:

Линии, ограничивающие фигуру: $y=\sqrt{x}$, $y=0$ (ось Ox), $x=4$. Фигура также ограничена слева линией $x=0$ (из области определения $\sqrt{x}$).

Найти:

Площадь $S$ фигуры.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью Ox и прямыми $x=a, x=b$, вычисляется по формуле $S = \int_a^b f(x)dx$.
В нашем случае $f(x) = \sqrt{x}$, $a=0$, $b=4$.
$S = \int_0^4 \sqrt{x} dx = \int_0^4 x^{\frac{1}{2}} dx$.
1. Найдем первообразную для $x^{\frac{1}{2}}$:
$F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}$.
2. Вычислим площадь по формуле Ньютона-Лейбница:
$S = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}]_0^4 = \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}}$.
$4^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{4})^3 = 2^3 = 8$.
$S = \frac{2}{3} \cdot 8 - 0 = \frac{16}{3}$.

Ответ: C. $\frac{16}{3}$