Страница 62 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Может ли множество значений функций $y = \frac{1}{x^2}$ и $y = \frac{1}{x^3}$ быть одинаковым? Ответ обоснуйте.

1. Назовите виды степенной функции в зависимости от показателя. Приведите примеры.

2. Охарактеризуйте функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$, графики которых расположены на промежутке $[0; +\infty)$.

3. Чем отличаются области определений функций $y = x^{-2,5}$ и $y = x^{2,5}$? Ответ обоснуйте.

?

Нет, множество значений этих функций не может быть одинаковым.

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x^2}$. Область определения этой функции — все действительные числа, кроме $x = 0$, то есть $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Так как $x^2$ всегда неотрицательно, а в данном случае строго больше нуля ($x^2 > 0$ при $x \neq 0$), то значение дроби $\frac{1}{x^2}$ всегда будет положительным. Таким образом, множество значений (область значений) этой функции $E(y) = (0; +\infty)$.

Теперь рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x^3}$. Область определения этой функции также $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Однако, в отличие от $x^2$, выражение $x^3$ может принимать как положительные значения (при $x > 0$), так и отрицательные (при $x < 0$). Соответственно, функция $y = \frac{1}{x^3}$ может принимать любые значения, кроме нуля, так как дробь не может быть равна нулю, если числитель не равен нулю. Множество значений этой функции $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Сравнивая множества значений $(0; +\infty)$ и $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, мы видим, что они не совпадают.

Ответ: Нет, множества значений функций не одинаковы. Для функции $y = \frac{1}{x^2}$ множество значений — это все положительные числа $(0; +\infty)$, а для функции $y = \frac{1}{x^3}$ — это все действительные числа, кроме нуля $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

1. Назовите виды степенной функции в зависимости от показателя. Приведите примеры.

Степенная функция имеет вид $y = x^p$, где $p$ — действительное число. Свойства функции зависят от показателя $p$. Основные виды:

1. Показатель — натуральное чётное число ($p = 2n, n \in \mathbb{N}$). Функция чётная, её график симметричен относительно оси ординат. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$. Пример: $y = x^2, y = x^4$.

2. Показатель — натуральное нечётное число ($p = 2n-1, n \in \mathbb{N}$). Функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат. Область определения и область значений — все действительные числа, $D(y) = E(y) = (-\infty; +\infty)$. Пример: $y = x^3, y = x^5$.

3. Показатель — целое отрицательное чётное число ($p = -2n, n \in \mathbb{N}$). Функция чётная. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Пример: $y = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

4. Показатель — целое отрицательное нечётное число ($p = -(2n-1), n \in \mathbb{N}$). Функция нечётная. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Пример: $y = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$.

5. Показатель — положительное нецелое число ($p > 0, p \notin \mathbb{Z}$). Функция, как правило, рассматривается для $x \ge 0$. На этом множестве область определения $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$. Пример: $y = x^{1/2} = \sqrt{x}$.

6. Показатель — отрицательное нецелое число ($p < 0, p \notin \mathbb{Z}$). Функция рассматривается для $x > 0$. На этом множестве область определения $D(y) = (0; +\infty)$, область значений $E(y) = (0; +\infty)$. Пример: $y = x^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

7. Показатель — иррациональное число. Функция определяется для $x \ge 0$ (если $p > 0$) или $x > 0$ (если $p < 0$). Пример: $y = x^{\sqrt{2}}$.

Ответ: Виды степенной функции классифицируются по показателю степени: натуральный (чётный и нечётный), целый отрицательный (чётный и нечётный), дробный/нецелый (положительный и отрицательный) и иррациональный. Примеры для каждого вида приведены выше.

2. Охарактеризуйте функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$, графики которых расположены на промежутке $[0; +\infty)$.

Характеристика функции $y = x^2$ на промежутке $[0; +\infty)$:

Это степенная функция с показателем 2. Её свойства на данном промежутке: 1) Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$. 2) Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. 3) Нули функции: $y=0$ при $x=0$. 4) Монотонность: функция строго возрастает. 5) Выпуклость: график выпуклый вниз (вогнутый). 6) График — ветвь параболы с вершиной в точке $(0;0)$.

Характеристика функции $y = \sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$:

Это степенная функция $y=x^{1/2}$. Её свойства: 1) Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$. 2) Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. 3) Нули функции: $y=0$ при $x=0$. 4) Монотонность: функция строго возрастает. 5) Выпуклость: график выпуклый вверх (выпуклый). 6) График — ветвь параболы, симметричной параболе $y=x^2$ относительно прямой $y=x$.

Сравнение и взаимное расположение:

Функции $y = x^2$ и $y = \sqrt{x}$ на промежутке $[0; +\infty)$ являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой $y = x$. Обе функции проходят через точки $(0; 0)$ и $(1; 1)$. На интервале $(0; 1)$ график $y = x^2$ лежит ниже графика $y = \sqrt{x}$. На интервале $(1; +\infty)$ график $y = x^2$ лежит выше графика $y = \sqrt{x}$.

Ответ: Характеристики функций и их сравнение приведены выше. Ключевым свойством является их взаимная обратность на данном промежутке, что определяет симметрию их графиков относительно прямой $y=x$, как показано на рисунке.

3. Чем отличаются области определений функций $y = x^{-2,5}$ и $y = x^{2,5}$? Ответ обоснуйте.

Для определения отличий проанализируем область определения каждой функции.

Функция $y = x^{2,5}$ может быть записана в виде $y = x^{5/2} = \sqrt{x^5}$. Для того чтобы это выражение имело смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^5 \ge 0$. Это неравенство выполняется для всех $x \ge 0$. Следовательно, область определения функции $y = x^{2,5}$ — это промежуток $[0; +\infty)$.

Функция $y = x^{-2,5}$ из-за отрицательного показателя степени является обратной величиной: $y = \frac{1}{x^{2,5}} = \frac{1}{x^{5/2}} = \frac{1}{\sqrt{x^5}}$. Здесь, как и в предыдущем случае, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным: $x^5 \ge 0$, то есть $x \ge 0$. Однако, так как выражение находится в знаменателе, он не должен быть равен нулю: $\sqrt{x^5} \neq 0$, что означает $x^5 \neq 0$, и, следовательно, $x \neq 0$. Объединяя два условия ($x \ge 0$ и $x \neq 0$), получаем строгое неравенство $x > 0$. Таким образом, область определения функции $y = x^{-2,5}$ — это промежуток $(0; +\infty)$.

Следовательно, области определения отличаются одной точкой: $x=0$.

Ответ: Области определения данных функций отличаются точкой $x=0$. Для функции $y = x^{2,5}$ область определения — $[0; +\infty)$, а для функции $y = x^{-2,5}$ — $(0; +\infty)$. Это различие обусловлено тем, что для второй функции значение $x=0$ недопустимо, так как оно приводит к делению на ноль.

Постройте схематически графики функции $y=f(x)$ (127–128):

127.1) $f(x) = x^6$;

2) $f(x) = x^{-5}$;

3) $f(x) = x^{\frac{4}{3}};

4) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$.

1) $f(x) = x^6$

Это степенная функция $y = x^p$ с показателем $p=6$.

Свойства функции:

1. Область определения: все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: функция является четной, так как $f(-x) = (-x)^6 = x^6 = f(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

3. Область значений: так как $x^6 \ge 0$ для любого $x$, область значений функции $E(f) = [0; +\infty)$.

4. Нули функции: $f(x)=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат (0, 0).

5. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \ne 0$.

6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.

7. Контрольные точки: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; 1)$.

График функции напоминает параболу $y=x^2$, но ветви $y=x^6$ более круто устремлены вверх при $|x|>1$ и более "плоские" вблизи начала координат.

Схематический график функции:

Ответ: Схематический график функции $f(x)=x^6$ представлен на рисунке выше.

2) $f(x) = x^{-5}$

Это степенная функция $y = x^p$ с показателем $p=-5$. Функцию можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^5}$.

Свойства функции:

1. Область определения: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \ne 0$. $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Четность: функция является нечетной, так как $f(-x) = (-x)^{-5} = -\frac{1}{x^5} = -f(x)$. График функции симметричен относительно начала координат.

3. Область значений: $y$ не может быть равно нулю. $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

4. Асимптоты: - Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось OY). При $x \to 0^+$ $y \to +\infty$, при $x \to 0^-$ $y \to -\infty$. - Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось OX). При $x \to \pm\infty$ $y \to 0$.

5. Монотонность: функция убывает на каждом из промежутков своей области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.

6. Контрольные точки: $(1; 1)$, $(-1; -1)$.

График функции — гипербола, расположенная в I и III координатных четвертях.

Схематический график функции:

Ответ: Схематический график функции $f(x)=x^{-5}$ представлен на рисунке выше.

3) $f(x) = x^{\frac{4}{3}}$

Это степенная функция $y = x^p$ с рациональным показателем $p = \frac{4}{3} > 1$. Функцию можно записать в виде $f(x) = \sqrt[3]{x^4}$ или $f(x) = (\sqrt[3]{x})^4$.

Свойства функции:

1. Область определения: кубический корень определен для любых действительных чисел, поэтому $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность: функция является четной, так как $f(-x) = \sqrt[3]{(-x)^4} = \sqrt[3]{x^4} = f(x)$. График симметричен относительно оси OY.

3. Область значений: так как $x^4 \ge 0$, то и $\sqrt[3]{x^4} \ge 0$. Следовательно, $E(f) = [0; +\infty)$.

4. Нули функции: $f(x)=0$ при $x=0$. График проходит через начало координат.

5. Монотонность: функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$.

6. Поведение в нуле: производная $f'(x) = \frac{4}{3}x^{1/3}$ в точке $x=0$ равна нулю, что означает, что касательная к графику в начале координат горизонтальна.

7. Контрольные точки: $(0; 0)$, $(1; 1)$, $(-1; 1)$.

График похож на параболу, но "шире" графика $y=x^2$ при $|x|>1$.

Схематический график функции:

Ответ: Схематический график функции $f(x)=x^{\frac{4}{3}}$ представлен на рисунке выше.

4) $f(x) = x^{-\frac{3}{4}}$

Это степенная функция $y = x^p$ с рациональным отрицательным показателем $p = -\frac{3}{4}$. Функцию можно записать в виде $f(x) = \frac{1}{x^{3/4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$.

Свойства функции:

1. Область определения: так как в знаменателе корень четной степени (4-й), подкоренное выражение должно быть неотрицательным ($x \ge 0$). Так как знаменатель не может быть равен нулю, то $x \ne 0$. Итоговая область определения $D(f) = (0; +\infty)$.

2. Четность: функция не является ни четной, ни нечетной, так как ее область определения несимметрична относительно нуля.

3. Область значений: для $x>0$ знаменатель $\sqrt[4]{x^3} > 0$, поэтому и вся дробь положительна. $E(f) = (0; +\infty)$.

4. Асимптоты: - Вертикальная асимптота: $x=0$ (ось OY). При $x \to 0^+$ $y \to +\infty$. - Горизонтальная асимптота: $y=0$ (ось OX). При $x \to +\infty$ $y \to 0$.

5. Монотонность: функция убывает на всей своей области определения $(0; +\infty)$.

6. Контрольные точки: $(1; 1)$.

График функции расположен в I координатной четверти и является убывающей кривой.

Схематический график функции:

Ответ: Схематический график функции $f(x)=x^{-\frac{3}{4}}$ представлен на рисунке выше.

128.1) $f(x) = x^{\pi};$

2) $f(x) = x^{-\pi};$

3) $f(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{4}};$

4) $f(x) = (3x)^{\frac{1}{3}}.$

1)

Дано:

Функция $f(x) = x^{\pi}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Для нахождения производной степенной функции вида $f(x) = x^n$ применяется общая формула дифференцирования: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

В данном случае показатель степени $n = \pi$.

Подставляем значение $n$ в формулу:

$f'(x) = (x^{\pi})' = \pi \cdot x^{\pi-1}$.

Ответ: $f'(x) = \pi x^{\pi-1}$.

2)

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\pi}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Как и в предыдущем примере, используем формулу для производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

В этом случае показатель степени $n = -\pi$.

Применяем формулу, подставляя $n = -\pi$:

$f'(x) = (x^{-\pi})' = -\pi \cdot x^{-\pi-1}$.

Ответ: $f'(x) = -\pi x^{-\pi-1}$.

3)

Дано:

Функция $f(x) = \left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{4}}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Данная функция является сложной функцией. Для нахождения её производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом), которое гласит: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

В нашем случае, внешняя функция $g(u) = u^{\frac{1}{4}}$, а внутренняя функция $h(x) = \frac{x}{2}$.

Сначала найдем производные этих функций по отдельности:

Производная внешней функции: $g'(u) = (u^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4} u^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4} u^{-\frac{3}{4}}$.

Производная внутренней функции: $h'(x) = \left(\frac{x}{2}\right)' = \left(\frac{1}{2}x\right)' = \frac{1}{2}$.

Теперь подставим найденные производные в цепное правило:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{4} \left(\frac{x}{2}\right)^{-\frac{3}{4}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \left(\frac{x}{2}\right)^{-\frac{3}{4}}$.

Для удобства можно упростить полученное выражение:

$\frac{1}{8} \left(\frac{x}{2}\right)^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{8} \left(\frac{2}{x}\right)^{\frac{3}{4}} = \frac{1}{8} \frac{2^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{3}{4}}} = \frac{2^{\frac{3}{4}}}{2^3 x^{\frac{3}{4}}} = 2^{\frac{3}{4}-3} x^{-\frac{3}{4}} = 2^{-\frac{9}{4}} x^{-\frac{3}{4}}$.

Запишем ответ в виде дроби с корнем:

$2^{-\frac{9}{4}} x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{2^{\frac{9}{4}} x^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{(2^9 x^3)^{\frac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt[4]{512x^3}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt[4]{512x^3}}$.

4)

Дано:

Функция $f(x) = (3x)^{\frac{1}{3}}$.

Найти:

Производную функции $f'(x)$.

Решение:

Эта функция также является сложной. Применим цепное правило. Здесь внешняя функция $g(u) = u^{\frac{1}{3}}$ и внутренняя функция $h(x) = 3x$.

Находим их производные:

$g'(u) = (u^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3} u^{-\frac{2}{3}}$.

$h'(x) = (3x)' = 3$.

Применяем цепное правило:

$f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x) = \frac{1}{3}(3x)^{-\frac{2}{3}} \cdot 3 = (3x)^{-\frac{2}{3}}$.

Упростим выражение, представив его в виде дроби с корнем в знаменателе:

$(3x)^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{(3x)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{(3x)^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{9x^2}}$.

Ответ: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt[3]{9x^2}}$.

129. Перечислите свойства функции $y = f(x)$ по данному графику (рис. 23):

1 $y = -\frac{1}{x^3} + 2$

2 $y = \frac{1}{x^2} - 4$

Рис. 23

1. Свойства функции $y = -\frac{1}{x^3} + 2$ по данному графику:

1. Область определения. Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель $x^3$ не равен нулю. Таким образом, $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений. Выражение $-\frac{1}{x^3}$ может принимать любое действительное значение, кроме нуля. Следовательно, функция $y = -\frac{1}{x^3} + 2$ может принимать любое значение, кроме 2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

3. Четность/нечетность. Проверим функцию на четность: $f(-x) = -\frac{1}{(-x)^3} + 2 = \frac{1}{x^3} + 2$. Поскольку $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция является функцией общего вида (ни четной, ни нечетной).

4. Нули функции. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $y=0$: $0 = -\frac{1}{x^3} + 2 \Rightarrow \frac{1}{x^3} = 2 \Rightarrow x^3 = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \sqrt[3]{\frac{1}{2}}$.

5. Промежутки знакопостоянства.$y > 0$ при $-\frac{1}{x^3} + 2 > 0 \Rightarrow 2 > \frac{1}{x^3}$. Это неравенство выполняется при $x < 0$ и при $x > \sqrt[3]{1/2}$. Таким образом, $y > 0$ на $x \in (-\infty; 0) \cup (\sqrt[3]{1/2}; +\infty)$.$y < 0$ при $0 < x < \sqrt[3]{1/2}$.

6. Промежутки монотонности. Найдем производную функции: $y' = \left(-\frac{1}{x^3} + 2\right)' = (-x^{-3} + 2)' = 3x^{-4} = \frac{3}{x^4}$. Так как $x^4 > 0$ для всех $x$ из области определения, то $y' > 0$ всегда. Следовательно, функция возрастает на всем протяжении своей области определения, то есть на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

7. Экстремумы. Так как производная нигде не обращается в нуль, у функции нет точек экстремума.

8. Асимптоты.Вертикальная асимптота: $x=0$, так как при $x \to 0$ функция стремится к бесконечности.Горизонтальная асимптота: $y=2$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \left(-\frac{1}{x^3} + 2\right) = 0 + 2 = 2$.

Ответ: Свойства функции $y = -\frac{1}{x^3} + 2$: область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(f) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$; функция общего вида; нуль функции при $x = \sqrt[3]{1/2}$; $y>0$ на $(-\infty; 0) \cup (\sqrt[3]{1/2}; +\infty)$, $y<0$ на $(0; \sqrt[3]{1/2})$; возрастает на всей области определения; экстремумов нет; асимптоты $x=0$ и $y=2$.

2. Свойства функции $y = \frac{1}{x^2} - 4$ по данному графику:

1. Область определения. Функция определена для всех значений $x$, при которых знаменатель $x^2$ не равен нулю. Таким образом, $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений. Так как $x^2 > 0$ для всех $x \neq 0$, то $\frac{1}{x^2} > 0$. Следовательно, $y = \frac{1}{x^2} - 4 > -4$. Область значений: $E(f) = (-4; +\infty)$.

3. Четность/нечетность. Проверим функцию на четность: $f(-x) = \frac{1}{(-x)^2} - 4 = \frac{1}{x^2} - 4 = f(x)$. Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной. Ее график симметричен относительно оси Oy.

4. Нули функции. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $y=0$: $0 = \frac{1}{x^2} - 4 \Rightarrow \frac{1}{x^2} = 4 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm\frac{1}{2}$.

5. Промежутки знакопостоянства.$y > 0$ при $\frac{1}{x^2} - 4 > 0 \Rightarrow x^2 < \frac{1}{4} \Rightarrow -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ (и $x \neq 0$). Таким образом, $y > 0$ на $x \in (-1/2; 0) \cup (0; 1/2)$.$y < 0$ при $x < -1/2$ или $x > 1/2$. Таким образом, $y < 0$ на $x \in (-\infty; -1/2) \cup (1/2; +\infty)$.

6. Промежутки монотонности. Найдем производную функции: $y' = \left(\frac{1}{x^2} - 4\right)' = (x^{-2} - 4)' = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$. При $x > 0$, $y' < 0$, следовательно, функция убывает на $(0; +\infty)$.При $x < 0$, $y' > 0$, следовательно, функция возрастает на $(-\infty; 0)$.

7. Экстремумы. Так как производная нигде не обращается в нуль, у функции нет точек экстремума.

8. Асимптоты.Вертикальная асимптота: $x=0$.Горизонтальная асимптота: $y=-4$, так как $\lim_{x \to \pm\infty} \left(\frac{1}{x^2} - 4\right) = 0 - 4 = -4$.

Ответ: Свойства функции $y = \frac{1}{x^2} - 4$: область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$; область значений $E(f) = (-4; +\infty)$; функция четная; нули функции при $x = \pm 1/2$; $y>0$ на $(-1/2; 0) \cup (0; 1/2)$, $y<0$ на $(-\infty; -1/2) \cup (1/2; +\infty)$; возрастает на $(-\infty; 0)$, убывает на $(0; +\infty)$; экстремумов нет; асимптоты $x=0$ и $y=-4$.