Страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

119.1) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x-1} = 2;$

2) $\sqrt{2x-6} + \sqrt{x+1} = 2;$

3) $x - 1 + \sqrt{x-1} = 2;$

4) $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}.$

1)

Иррациональное уравнение $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x-1} = 2$.

Корни данного уравнения.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными.

$3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -1/3$

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Теперь решим уравнение. Уединим один из корней, перенеся его в правую часть:

$\sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x-1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x+1})^2 = (2 + \sqrt{x-1})^2$

$3x+1 = 4 + 4\sqrt{x-1} + (x-1)$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся радикал:

$3x+1 = x + 3 + 4\sqrt{x-1}$

$2x - 2 = 4\sqrt{x-1}$

Разделим обе части на 2:

$x - 1 = 2\sqrt{x-1}$

Снова возведем обе части в квадрат. При $x \ge 1$ обе части уравнения неотрицательны, поэтому данное преобразование является равносильным на ОДЗ.

$(x-1)^2 = (2\sqrt{x-1})^2$

$x^2 - 2x + 1 = 4(x-1)$

$x^2 - 2x + 1 = 4x - 4$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 1$). Оба корня принадлежат области допустимых значений.

Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

Для $x=1$: $\sqrt{3(1)+1} - \sqrt{1-1} = \sqrt{4} - \sqrt{0} = 2-0 = 2$. Равенство верно.

Для $x=5$: $\sqrt{3(5)+1} - \sqrt{5-1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4-2 = 2$. Равенство верно.

Оба корня являются решениями.

$x=1; x=5$.

2)

Иррациональное уравнение $\sqrt{2x-6} + \sqrt{x+1} = 2$.

Корни данного уравнения.

Найдем ОДЗ:

$2x-6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

ОДЗ уравнения: $x \ge 3$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{2x-6} = 2 - \sqrt{x+1}$

Для того чтобы можно было возвести в квадрат, правая часть должна быть неотрицательной: $2 - \sqrt{x+1} \ge 0$, что означает $\sqrt{x+1} \le 2$, или $x+1 \le 4$, то есть $x \le 3$.

Совмещая с ОДЗ ($x \ge 3$), получаем, что решение может существовать только при $x = 3$. Проверим это значение:

$\sqrt{2(3)-6} + \sqrt{3+1} = \sqrt{0} + \sqrt{4} = 0 + 2 = 2$.

Равенство $2=2$ верно, следовательно, $x=3$ является единственным корнем.

Проведем решение стандартным алгебраическим методом. Возведем в квадрат уравнение $\sqrt{2x-6} = 2 - \sqrt{x+1}$:

$2x-6 = (2-\sqrt{x+1})^2$

$2x-6 = 4 - 4\sqrt{x+1} + (x+1)$

$2x-6 = x+5 - 4\sqrt{x+1}$

Уединим оставшийся корень:

$x - 11 = -4\sqrt{x+1}$

Возведем в квадрат еще раз:

$(x-11)^2 = (-4\sqrt{x+1})^2$

$x^2 - 22x + 121 = 16(x+1)$

$x^2 - 22x + 121 = 16x + 16$

$x^2 - 38x + 105 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 105 = 1444 - 420 = 1024 = 32^2$.

$x_1 = \frac{38 - 32}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{38 + 32}{2} = \frac{70}{2} = 35$

Проверим корни. Оба корня $x=3$ и $x=35$ принадлежат ОДЗ ($x \ge 3$).

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

Для $x=3$: $\sqrt{2(3)-6} + \sqrt{3+1} = \sqrt{0} + \sqrt{4} = 2$. Верно.

Для $x=35$: $\sqrt{2(35)-6} + \sqrt{35+1} = \sqrt{64} + \sqrt{36} = 8+6 = 14 \ne 2$. Неверно.

Корень $x=35$ является посторонним. Он появился из-за возведения в квадрат уравнения $x - 11 = -4\sqrt{x+1}$, где при $x=35$ левая часть положительна (24), а правая отрицательна (-24).

$x=3$.

3)

Иррациональное уравнение $x - 1 + \sqrt{x-1} = 2$.

Корни данного уравнения.

Найдем ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Это уравнение удобно решить с помощью введения новой переменной. Сделаем замену:

Пусть $t = \sqrt{x-1}$. Так как корень арифметический, то $t \ge 0$.

Тогда $x-1 = t^2$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$t^2 + t = 2$

Перенесем 2 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1=1$ удовлетворяет условию.

$t_2=-2$ не удовлетворяет условию, поэтому это посторонний корень для переменной $t$.

Вернемся к исходной переменной $x$ с помощью обратной замены:

$\sqrt{x-1} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$x-1 = 1$

$x = 2$

Проверим найденный корень. Он удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge 1$).

Подставим в исходное уравнение:

$2 - 1 + \sqrt{2-1} = 1 + \sqrt{1} = 1+1=2$. Равенство верно.

$x=2$.

4)

Иррациональное уравнение $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}$.

Корни данного уравнения.

Найдем ОДЗ:

$2x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/2$

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

$x \ge 0$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3})^2 = (2\sqrt{x})^2$

$(2x+1) + 2\sqrt{(2x+1)(x-3)} + (x-3) = 4x$

Упростим выражение:

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 6x + x - 3} = 4x$

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x$

Уединим радикал:

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x - (3x-2)$

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = x + 2$

На ОДЗ ($x \ge 3$) правая часть $x+2$ всегда положительна, поэтому можно без опасений возводить в квадрат еще раз:

$(2\sqrt{2x^2 - 5x - 3})^2 = (x+2)^2$

$4(2x^2 - 5x - 3) = x^2 + 4x + 4$

$8x^2 - 20x - 12 = x^2 + 4x + 4$

Приведем к стандартному виду квадратное уравнение:

$7x^2 - 24x - 16 = 0$

Решим его через дискриминант: $D = (-24)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-16) = 576 + 448 = 1024 = 32^2$.

$x_1 = \frac{24 - 32}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

$x_2 = \frac{24 + 32}{2 \cdot 7} = \frac{56}{14} = 4$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge 3$).

$x_1 = -4/7$ не входит в ОДЗ, является посторонним корнем.

$x_2 = 4$ входит в ОДЗ.

Выполним проверку для $x=4$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(4)+1} + \sqrt{4-3} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3+1 = 4$.

$2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

Равенство $4=4$ верно.

$x=4$.

120. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} \sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 4, \\ 4\sqrt{x} - \sqrt{y} = 3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} + 5\sqrt[3]{y} = 4, \\ 2\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = -3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 5\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 7, \\ 6\sqrt{x} - 5\sqrt{y} = 1; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} 3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = -2, \\ 7\sqrt[3]{x} - 4\sqrt[3]{y} = -22. \end{cases}$

1)

Дано:

$$\begin{cases}\sqrt{x} + 3\sqrt{y} = 4 \\4\sqrt{x} - \sqrt{y} = 3\end{cases}$$

Найти:

$x, y$

Решение:

Для решения системы введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Так как подкоренные выражения не могут быть отрицательными, $x \ge 0$ и $y \ge 0$, следовательно, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

После замены исходная система примет вид линейной системы относительно переменных $a$ и $b$:

$$\begin{cases}a + 3b = 4 \\4a - b = 3\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $b$ через $a$: $b = 4a - 3$.

Подставим полученное выражение для $b$ в первое уравнение системы:

$a + 3(4a - 3) = 4$

$a + 12a - 9 = 4$

$13a = 13$

$a = 1$

Теперь найдем значение $b$, подставив $a=1$ в выражение для $b$:

$b = 4(1) - 3 = 1$

Мы получили $a = 1$ и $b = 1$. Оба значения неотрицательны, что соответствует условиям замены.

Выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$:

$\sqrt{x} = a = 1 \implies x = 1^2 = 1$

$\sqrt{y} = b = 1 \implies y = 1^2 = 1$

Проверим, является ли пара $(1; 1)$ решением исходной системы:

$\sqrt{1} + 3\sqrt{1} = 1 + 3 = 4$

$4\sqrt{1} - \sqrt{1} = 4 - 1 = 3$

Оба уравнения верны.

Ответ: $(1; 1)$.

2)

Дано:

$$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + 5\sqrt[3]{y} = 4 \\2\sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} = -3\end{cases}$$

Найти:

$x, y$

Решение:

Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Кубические корни определены для любых действительных чисел, поэтому ограничений на знаки $a$ и $b$ нет.

Система уравнений в новых переменных:

$$\begin{cases}a + 5b = 4 \\2a - b = -3\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $b$ через $a$: $b = 2a + 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$a + 5(2a + 3) = 4$

$a + 10a + 15 = 4$

$11a = -11$

$a = -1$

Найдем $b$, подставив значение $a = -1$:

$b = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1$

Выполним обратную замену:

$\sqrt[3]{x} = a = -1 \implies x = (-1)^3 = -1$

$\sqrt[3]{y} = b = 1 \implies y = 1^3 = 1$

Проверим найденное решение $(x, y) = (-1, 1)$:

$\sqrt[3]{-1} + 5\sqrt[3]{1} = -1 + 5(1) = 4$

$2\sqrt[3]{-1} - \sqrt[3]{1} = 2(-1) - 1 = -3$

Оба уравнения верны.

Ответ: $(-1; 1)$.

3)

Дано:

$$\begin{cases}5\sqrt{x} + 2\sqrt{y} = 7 \\6\sqrt{x} - 5\sqrt{y} = 1\end{cases}$$

Найти:

$x, y$

Решение:

Введем замену переменных: $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Условия: $x \ge 0, y \ge 0$, значит $a \ge 0, b \ge 0$.

Система примет вид:

$$\begin{cases}5a + 2b = 7 \\6a - 5b = 1\end{cases}$$

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными числами:

$$\begin{cases}5(5a + 2b) = 5 \cdot 7 \\2(6a - 5b) = 2 \cdot 1\end{cases}\implies\begin{cases}25a + 10b = 35 \\12a - 10b = 2\end{cases}$$

Сложим почленно уравнения полученной системы:

$(25a + 12a) + (10b - 10b) = 35 + 2$

$37a = 37$

$a = 1$

Подставим $a=1$ в первое уравнение системы $5a + 2b = 7$:

$5(1) + 2b = 7$

$5 + 2b = 7$

$2b = 2$

$b = 1$

Значения $a=1, b=1$ удовлетворяют условиям $a \ge 0, b \ge 0$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x} = 1 \implies x = 1^2 = 1$

$\sqrt{y} = 1 \implies y = 1^2 = 1$

Проверка:

$5\sqrt{1} + 2\sqrt{1} = 5 + 2 = 7$

$6\sqrt{1} - 5\sqrt{1} = 6 - 5 = 1$

Оба уравнения верны.

Ответ: $(1; 1)$.

4)

Дано:

$$\begin{cases}3\sqrt[3]{x} + 2\sqrt[3]{y} = -2 \\7\sqrt[3]{x} - 4\sqrt[3]{y} = -22\end{cases}$$

Найти:

$x, y$

Решение:

Введем замену переменных: $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Система уравнений в новых переменных:

$$\begin{cases}3a + 2b = -2 \\7a - 4b = -22\end{cases}$$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $b$ стали противоположными:

$$\begin{cases}2(3a + 2b) = 2 \cdot (-2) \\7a - 4b = -22\end{cases}\implies\begin{cases}6a + 4b = -4 \\7a - 4b = -22\end{cases}$$

Сложим уравнения полученной системы:

$(6a + 7a) + (4b - 4b) = -4 + (-22)$

$13a = -26$

$a = -2$

Подставим $a=-2$ в первое уравнение системы $3a + 2b = -2$:

$3(-2) + 2b = -2$

$-6 + 2b = -2$

$2b = 4$

$b = 2$

Выполним обратную замену:

$\sqrt[3]{x} = a = -2 \implies x = (-2)^3 = -8$

$\sqrt[3]{y} = b = 2 \implies y = 2^3 = 8$

Проверка:

$3\sqrt[3]{-8} + 2\sqrt[3]{8} = 3(-2) + 2(2) = -6 + 4 = -2$

$7\sqrt[3]{-8} - 4\sqrt[3]{8} = 7(-2) - 4(2) = -14 - 8 = -22$

Оба уравнения верны.

Ответ: $(-8; 8)$.

Решите уравнения (121–124):

121.1) $\sqrt{(4x + 5)(3x - 2)} = 4x + 5;$ 2) $\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1;$

3) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12};$ 4) $\sqrt{x + 3} - \sqrt{2x - 1} = \sqrt{3x - 2}.$

1) $\sqrt{(4x + 5)(3x - 2)} = 4x + 5$

Решение

Данное иррациональное уравнение вида $\sqrt{f(x) \cdot g(x)} = f(x)$ равносильно системе:

$\begin{cases} f(x) \ge 0 \\ f(x) \cdot g(x) = (f(x))^2 \end{cases}$

В нашем случае $f(x) = 4x + 5$ и $g(x) = 3x - 2$. Система будет выглядеть так:

$\begin{cases} 4x + 5 \ge 0 \\ (4x + 5)(3x - 2) = (4x + 5)^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы. Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(4x + 5)$ за скобки:

$(4x + 5)(3x - 2) - (4x + 5)^2 = 0$

$(4x + 5) \cdot ((3x - 2) - (4x + 5)) = 0$

$(4x + 5) \cdot (3x - 2 - 4x - 5) = 0$

$(4x + 5)(-x - 7) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных корня:

$4x + 5 = 0 \implies x = -\frac{5}{4}$

или

$-x - 7 = 0 \implies x = -7$

Теперь необходимо проверить эти корни на соответствие условию $4x + 5 \ge 0$.

1. Проверяем корень $x = -5/4$:

$4 \cdot (-\frac{5}{4}) + 5 = -5 + 5 = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполняется. Следовательно, $x = -5/4$ является решением уравнения.

2. Проверяем корень $x = -7$:

$4 \cdot (-7) + 5 = -28 + 5 = -23$. Условие $-23 \ge 0$ не выполняется. Следовательно, $x = -7$ является посторонним корнем.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $-\frac{5}{4}$.

2) $\sqrt{(3x - 1)(4x + 3)} = 3x - 1$

Решение

Это уравнение, аналогично предыдущему, равносильно системе:

$\begin{cases} 3x - 1 \ge 0 \\ (3x - 1)(4x + 3) = (3x - 1)^2 \end{cases}$

Решаем второе уравнение:

$(3x - 1)(4x + 3) - (3x - 1)^2 = 0$

$(3x - 1) \cdot ((4x + 3) - (3x - 1)) = 0$

$(3x - 1) \cdot (4x + 3 - 3x + 1) = 0$

$(3x - 1)(x + 4) = 0$

Возможные корни:

$3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$

или

$x + 4 = 0 \implies x = -4$

Проверим корни по условию $3x - 1 \ge 0$.

1. Для $x = 1/3$: $3 \cdot \frac{1}{3} - 1 = 1 - 1 = 0$. Условие $0 \ge 0$ выполняется. Корень подходит.

2. Для $x = -4$: $3 \cdot (-4) - 1 = -12 - 1 = -13$. Условие $-13 \ge 0$ не выполняется. Это посторонний корень.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) $\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x} = \sqrt{2x - 12}$

Решение

Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ 9 - x \ge 0 \\ 2x - 12 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -1 \\ x \le 9 \\ x \ge 6 \end{cases}$

Пересечением этих множеств является отрезок $[6, 9]$.

Так как правая часть уравнения неотрицательна, то и левая должна быть неотрицательной: $\sqrt{x+1} - \sqrt{9-x} \ge 0$, что равносильно $\sqrt{x+1} \ge \sqrt{9-x}$. Возведя в квадрат, получим $x+1 \ge 9-x$, откуда $2x \ge 8$, то есть $x \ge 4$. Это условие выполняется для всех $x$ из ОДЗ.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 1} - \sqrt{9 - x})^2 = (\sqrt{2x - 12})^2$

$(x + 1) - 2\sqrt{(x + 1)(9 - x)} + (9 - x) = 2x - 12$

$10 - 2\sqrt{-x^2 + 8x + 9} = 2x - 12$

Уединим корень:

$22 - 2x = 2\sqrt{-x^2 + 8x + 9}$

$11 - x = \sqrt{-x^2 + 8x + 9}$

На ОДЗ $x \in [6, 9]$ левая часть $11-x$ положительна. Снова возводим в квадрат:

$(11 - x)^2 = -x^2 + 8x + 9$

$121 - 22x + x^2 = -x^2 + 8x + 9$

$2x^2 - 30x + 112 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$x^2 - 15x + 56 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 7$, $x_2 = 8$.

Оба корня, 7 и 8, принадлежат ОДЗ $[6, 9]$. Проведем проверку, подставив их в исходное уравнение.

При $x=7$: $\sqrt{7+1} - \sqrt{9-7} = \sqrt{8} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2} - \sqrt{2} = \sqrt{2}$. Правая часть: $\sqrt{2(7)-12} = \sqrt{14-12} = \sqrt{2}$. Равенство верно.

При $x=8$: $\sqrt{8+1} - \sqrt{9-8} = \sqrt{9} - \sqrt{1} = 3-1 = 2$. Правая часть: $\sqrt{2(8)-12} = \sqrt{16-12} = \sqrt{4} = 2$. Равенство верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $7; 8$.

4) $\sqrt{x + 3} - \sqrt{2x - 1} = \sqrt{3x - 2}$

Решение

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\ 2x - 1 \ge 0 \\ 3x - 2 \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge 1/2 \\ x \ge 2/3 \end{cases}$

Общая область: $x \ge 2/3$.

Дополнительное условие: $\sqrt{x+3} - \sqrt{2x-1} \ge 0 \implies x+3 \ge 2x-1 \implies x \le 4$.

Таким образом, решение должно лежать в отрезке $[2/3, 4]$.

Чтобы избежать знаков, перепишем уравнение как $\sqrt{x + 3} = \sqrt{2x - 1} + \sqrt{3x - 2}$ и возведем в квадрат:

$(\sqrt{x + 3})^2 = (\sqrt{2x - 1} + \sqrt{3x - 2})^2$

$x + 3 = (2x - 1) + (3x - 2) + 2\sqrt{(2x - 1)(3x - 2)}$

$x + 3 = 5x - 3 + 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

$6 - 4x = 2\sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

$3 - 2x = \sqrt{6x^2 - 7x + 2}$

Левая часть должна быть неотрицательной: $3 - 2x \ge 0 \implies 2x \le 3 \implies x \le 3/2$.

С учетом этого, область сужается до $x \in [2/3, 3/2]$. Возводим в квадрат:

$(3 - 2x)^2 = 6x^2 - 7x + 2$

$9 - 12x + 4x^2 = 6x^2 - 7x + 2$

$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Сумма коэффициентов $2+5-7=0$, следовательно, один корень $x_1=1$. Второй корень по теореме Виета $x_2 = c/a = -7/2$.

Корень $x_2 = -7/2$ не входит в отрезок $[2/3, 3/2]$.

Корень $x_1 = 1$ входит в отрезок $[2/3, 3/2]$.

Проверка для $x=1$: $\sqrt{1+3} - \sqrt{2(1)-1} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2-1 = 1$. Правая часть: $\sqrt{3(1)-2} = \sqrt{1} = 1$. Верно.

Ответ: $1$.

122.1) $\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = \sqrt{4x-7}$;

2) $\sqrt{x+\sqrt{x-3}} = \sqrt{3(x-1)}$,

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1}$;

4) $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2}$.

1) $\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = \sqrt{4x-7}$

Дано:

Иррациональное уравнение $\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} = \sqrt{4x-7}$.

Найти:

Корни данного уравнения.

Решение:

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Все подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$

$2x-3 \ge 0 \implies x \ge \frac{3}{2} \implies x \ge 1.5$

$4x-7 \ge 0 \implies x \ge \frac{7}{4} \implies x \ge 1.75$

Объединяя эти условия, получаем $x \ge 1.75$.

Кроме того, поскольку правая часть уравнения ($\sqrt{4x-7}$) является неотрицательной, левая часть также должна быть неотрицательной:

$\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3} \ge 0$

$\sqrt{x+2} \ge \sqrt{2x-3}$

$x+2 \ge 2x-3$

$5 \ge x$

Таким образом, окончательная ОДЗ: $1.75 \le x \le 5$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+2} - \sqrt{2x-3})^2 = (\sqrt{4x-7})^2$

$(x+2) - 2\sqrt{(x+2)(2x-3)} + (2x-3) = 4x-7$

$3x-1 - 2\sqrt{2x^2+x-6} = 4x-7$

3. Уединим радикал:

$-2\sqrt{2x^2+x-6} = 4x-7 - (3x-1)$

$-2\sqrt{2x^2+x-6} = x-6$

$2\sqrt{2x^2+x-6} = 6-x$

4. Снова возведем в квадрат. Для этого правая часть $6-x$ должна быть неотрицательной, то есть $6-x \ge 0 \implies x \le 6$. Это условие выполняется для нашей ОДЗ.

$(2\sqrt{2x^2+x-6})^2 = (6-x)^2$

$4(2x^2+x-6) = 36 - 12x + x^2$

$8x^2+4x-24 = 36 - 12x + x^2$

$7x^2+16x-60 = 0$

5. Решим полученное квадратное уравнение:

$D = 16^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-60) = 256 + 1680 = 1936 = 44^2$

$x_1 = \frac{-16+44}{2 \cdot 7} = \frac{28}{14} = 2$

$x_2 = \frac{-16-44}{2 \cdot 7} = \frac{-60}{14} = -\frac{30}{7}$

6. Проверим корни по ОДЗ ($1.75 \le x \le 5$):

$x_1=2$ удовлетворяет ОДЗ.

$x_2 = -30/7 \approx -4.28$ не удовлетворяет ОДЗ.

Выполним проверку для $x=2$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2+2} - \sqrt{2(2)-3} = \sqrt{4} - \sqrt{1} = 2-1 = 1$

$\sqrt{4(2)-7} = \sqrt{8-7} = \sqrt{1} = 1$

$1=1$. Корень верный.

Ответ: $2$

2) $\sqrt{x} + \sqrt{x-3} = \sqrt{3(x-1)}$

Дано:

Иррациональное уравнение $\sqrt{x} + \sqrt{x-3} = \sqrt{3(x-1)}$.

Найти:

Корни данного уравнения.

Решение:

1. Найдем ОДЗ:

$x \ge 0$

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

$3(x-1) \ge 0 \implies x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 3$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x} + \sqrt{x-3})^2 = (\sqrt{3x-3})^2$

$x + 2\sqrt{x(x-3)} + x-3 = 3x-3$

$2x-3 + 2\sqrt{x^2-3x} = 3x-3$

3. Уединим радикал:

$2\sqrt{x^2-3x} = 3x-3 - (2x-3)$

$2\sqrt{x^2-3x} = x$

4. Снова возведем в квадрат. Так как по ОДЗ $x \ge 3$, то правая часть $x$ неотрицательна.

$(2\sqrt{x^2-3x})^2 = x^2$

$4(x^2-3x) = x^2$

$4x^2-12x = x^2$

$3x^2-12x = 0$

$3x(x-4) = 0$

5. Находим корни:

$x_1 = 0$

$x_2 = 4$

6. Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 3$):

$x_1=0$ не удовлетворяет ОДЗ.

$x_2=4$ удовлетворяет ОДЗ.

Проверка для $x=4$:

$\sqrt{4} + \sqrt{4-3} = 2 + \sqrt{1} = 3$

$\sqrt{3(4-1)} = \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{9} = 3$

$3=3$. Корень верный.

Ответ: $4$

3) $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1}$

Дано:

Иррациональное уравнение $\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1} = \sqrt{3x-1}$.

Найти:

Корни данного уравнения.

Решение:

1. Найдем ОДЗ:

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

$3x-1 \ge 0 \implies x \ge 1/3$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})^2 = (\sqrt{3x-1})^2$

$(x+1) + 2\sqrt{(x+1)(x-1)} + (x-1) = 3x-1$

$2x + 2\sqrt{x^2-1} = 3x-1$

3. Уединим радикал:

$2\sqrt{x^2-1} = 3x-1 - 2x$

$2\sqrt{x^2-1} = x-1$

4. Снова возведем в квадрат. Правая часть $x-1$ должна быть неотрицательной: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$. Это условие совпадает с нашей ОДЗ.

$(2\sqrt{x^2-1})^2 = (x-1)^2$

$4(x^2-1) = x^2-2x+1$

$4x^2-4 = x^2-2x+1$

$3x^2+2x-5 = 0$

5. Решим квадратное уравнение:

$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

$x_1 = \frac{-2+8}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$x_2 = \frac{-2-8}{2 \cdot 3} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$

6. Проверяем корни по ОДЗ ($x \ge 1$):

$x_1=1$ удовлетворяет ОДЗ.

$x_2=-5/3$ не удовлетворяет ОДЗ.

Проверка для $x=1$:

$\sqrt{1+1} + \sqrt{1-1} = \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}$

$\sqrt{3(1)-1} = \sqrt{2}$

$\sqrt{2}=\sqrt{2}$. Корень верный.

Ответ: $1$

4) $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2}$

Дано:

Иррациональное уравнение $\sqrt{4x+8} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2}$.

Найти:

Корни данного уравнения.

Решение:

1. Найдем ОДЗ:

$4x+8 \ge 0 \implies x \ge -2$

$3x-2 \ge 0 \implies x \ge 2/3$

$x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge 2/3$.

2. Упростим уравнение, вынеся общий множитель из-под первого корня:

$\sqrt{4(x+2)} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2}$

$2\sqrt{x+2} - \sqrt{3x-2} = \sqrt{x+2}$

3. Перенесем слагаемые с $\sqrt{x+2}$ в одну сторону:

$2\sqrt{x+2} - \sqrt{x+2} = \sqrt{3x-2}$

$\sqrt{x+2} = \sqrt{3x-2}$

4. Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{x+2})^2 = (\sqrt{3x-2})^2$

$x+2 = 3x-2$

$4 = 2x$

$x=2$

5. Проверяем корень по ОДЗ ($x \ge 2/3$):

$x=2$ удовлетворяет ОДЗ.

Проверка для $x=2$:

$\sqrt{4(2)+8} - \sqrt{3(2)-2} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4-2=2$

$\sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$

$2=2$. Корень верный.

Ответ: $2$

123.1) $\sqrt{3-x} + \frac{6}{\sqrt{3-x}} = 5;$

2) $x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 9} = 3;$

3) $\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x+3}} = 2;$

4) $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3.$

1)

Дано:

$\sqrt{3-x} + \frac{6}{\sqrt{3-x}} = 5$

Найти:

$x$

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть строго положительным, так как корень находится в знаменателе дроби.

$3-x > 0 \implies x < 3$

Для решения введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{3-x}$. Исходя из определения арифметического квадратного корня и ОДЗ, $t > 0$.

Подставим $t$ в исходное уравнение:

$t + \frac{6}{t} = 5$

Умножим обе части уравнения на $t$, так как $t \neq 0$:

$t^2 + 6 = 5t$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

$t_1 = 2$, $t_2 = 3$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$, поэтому оба являются действительными решениями для $t$.

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$:

Случай 1: $t = 2$

$\sqrt{3-x} = 2$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3-x = 4$

$x_1 = 3 - 4 = -1$

Случай 2: $t = 3$

$\sqrt{3-x} = 3$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$3-x = 9$

$x_2 = 3 - 9 = -6$

Оба найденных значения $x_1 = -1$ и $x_2 = -6$ удовлетворяют ОДЗ ($x < 3$).

Ответ: $-6; -1$.

2)

Дано:

$x^2 - x + \sqrt{x^2 - x + 9} = 3$

Найти:

$x$

Решение:

Определим ОДЗ. Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x^2 - x + 9 \ge 0$

Найдем дискриминант $D$ этого квадратного трехчлена: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 1 - 36 = -35$.

Поскольку $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен, парабола $y = x^2 - x + 9$ полностью лежит выше оси абсцисс, то есть $x^2 - x + 9 > 0$ для любых $x$. Следовательно, ОДЗ: $x \in \mathbb{R}$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{x^2 - x + 9}$. По определению корня, $t \ge 0$.

Из замены следует, что $t^2 = x^2 - x + 9$, откуда можно выразить $x^2 - x = t^2 - 9$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(t^2 - 9) + t = 3$

Получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 + t - 12 = 0$

Решим его по теореме Виета: сумма корней равна -1, произведение равно -12. Корни:

$t_1 = 3$, $t_2 = -4$

Учитывая условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -4$ является посторонним. Оставляем только $t_1 = 3$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{x^2 - x + 9} = 3$

Возведем обе части в квадрат:

$x^2 - x + 9 = 9$

$x^2 - x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x-1) = 0$

Отсюда получаем два корня:

$x_1 = 0$, $x_2 = 1$

Оба корня являются действительными числами и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $0; 1$.

3)

Дано:

$\sqrt{2-x} + \frac{4}{\sqrt{2-x}+3} = 2$

Найти:

$x$

Решение:

Определим ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$2-x \ge 0 \implies x \le 2$

Знаменатель дроби $\sqrt{2-x}+3$ всегда положителен, так как $\sqrt{2-x} \ge 0$, и значит $\sqrt{2-x}+3 \ge 3$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{2-x}$. Условие для $t$: $t \ge 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t + \frac{4}{t+3} = 2$

Умножим обе части уравнения на $(t+3)$, так как это выражение не равно нулю:

$t(t+3) + 4 = 2(t+3)$

$t^2 + 3t + 4 = 2t + 6$

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, произведение равно -2. Корни:

$t_1 = 1$, $t_2 = -2$

Согласно условию $t \ge 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним. Используем только $t = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{2-x} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$2-x = 1$

$x = 1$

Проверим корень по ОДЗ: $1 \le 2$. Корень подходит.

Ответ: $1$.

4)

Дано:

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3$

Найти:

$x$

Решение:

Определим ОДЗ. Подрадикальные выражения должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю ($x \neq 0$, $x \neq -1$).

$\frac{x}{x+1} \ge 0$ и $\frac{x+1}{x} \ge 0$

Оба эти условия выполняются одновременно, когда $x$ и $x+1$ имеют одинаковые знаки. Это возможно в двух случаях:

1. $x > 0$ и $x+1 > 0 \implies x > 0$

2. $x < 0$ и $x+1 < 0 \implies x < -1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$. В области допустимых значений $\frac{x}{x+1} > 0$, поэтому $t > 0$.

Заметим, что второе подкоренное выражение является обратным к первому: $\frac{x+1}{x} = \frac{1}{\frac{x}{x+1}}$. Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{t}$.

Подставим замену в уравнение:

$t + 2 \cdot \frac{1}{t} = 3$

Умножим обе части на $t$ (так как $t > 0$):

$t^2 + 2 = 3t$

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, произведение равно 2. Корни:

$t_1 = 1$, $t_2 = 2$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Выполним обратную замену для каждого корня:

Случай 1: $t = 1$

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 1 \implies \frac{x}{x+1} = 1$

$x = 1 \cdot (x+1) \implies x = x+1 \implies 0 = 1$. Это неверное равенство, следовательно, решений в этом случае нет.

Случай 2: $t = 2$

$\sqrt{\frac{x}{x+1}} = 2 \implies \frac{x}{x+1} = 4$

$x = 4(x+1)$

$x = 4x + 4$

$-3x = 4$

$x = -\frac{4}{3}$

Проверим найденный корень по ОДЗ. $x = -\frac{4}{3} \approx -1.33$. Это значение принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$, следовательно, корень подходит.

Ответ: $-\frac{4}{3}$.

124.1) $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + \left(\frac{3}{4}x+2\right) \cdot \sqrt{9x^2-25} = 0;$

2) $\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} + (3x+4) \cdot \sqrt{36x^2-25} = 0;$

3) $\frac{2}{\sqrt{2-x}} = \sqrt{\frac{x+6}{x+3}};$

4) $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1}.$

1)

Дано:Уравнение $ \sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + (\frac{3}{4}x+2) \cdot \sqrt{9x^2-25} = 0 $

Найти:Значение $x$.

Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю.
1. $9x^2-25 \ge 0 \implies (3x-5)(3x+5) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [\frac{5}{3}, \infty)$.
2. $\frac{3x-5}{3x+5} \ge 0$. Решением этого неравенства методом интервалов является $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}) \cup [\frac{5}{3}, \infty)$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}) \cup [\frac{5}{3}, \infty)$.
Преобразуем уравнение. Заметим, что $\sqrt{9x^2-25} = \sqrt{(3x-5)(3x+5)}$.
Уравнение можно переписать как:
$\frac{\sqrt{3x-5}}{\sqrt{3x+5}} + (\frac{3x+8}{4}) \sqrt{(3x-5)(3x+5)} = 0$
Вынесем общий множитель $\sqrt{3x-5}$ за скобки (в рамках ОДЗ):
$\sqrt{3x-5} \left( \frac{1}{\sqrt{3x+5}} + \frac{3x+8}{4} \sqrt{3x+5} \right) = 0$
Это равенство выполняется в двух случаях:
a) $\sqrt{3x-5} = 0 \implies 3x-5 = 0 \implies x = \frac{5}{3}$. Этот корень входит в ОДЗ.
b) $\frac{1}{\sqrt{3x+5}} + \frac{3x+8}{4} \sqrt{3x+5} = 0$.
Умножим обе части на $4\sqrt{3x+5}$ (это выражение не равно нулю в ОДЗ):
$4 + (3x+8)(3x+5) = 0$
$4 + 9x^2 + 15x + 24x + 40 = 0$
$9x^2 + 39x + 44 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 39^2 - 4 \cdot 9 \cdot 44 = 1521 - 1584 = -63$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Данное преобразование было справедливо для случая $x \ge 5/3$, когда $3x+5 > 0$.
Рассмотрим случай $x < -5/3$. В этом случае $3x-5<0$ и $3x+5<0$. Тогда $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} = \sqrt{\frac{-(5-3x)}{-( -3x-5)}} = \frac{\sqrt{5-3x}}{\sqrt{-3x-5}}$. А $\sqrt{9x^2-25} = \sqrt{(5-3x)(-5-3x)}$.
Уравнение примет вид:$\frac{\sqrt{5-3x}}{\sqrt{-3x-5}} + (\frac{3x+8}{4}) \sqrt{(5-3x)(-5-3x)} = 0$
$\sqrt{5-3x} \left( \frac{1}{\sqrt{-3x-5}} + \frac{3x+8}{4} \sqrt{-3x-5} \right) = 0$
Множитель $\sqrt{5-3x}$ не равен нулю при $x < -5/3$. Значит, выражение в скобках равно нулю:
$1 + \frac{3x+8}{4}(-3x-5) = 0$
$4 - (3x+8)(3x+5) = 0$
$4 - (9x^2+39x+40) = 0$
$-9x^2 - 39x - 36 = 0$
$3x^2 + 13x + 12 = 0$
$D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{-13-5}{6} = -3$. Этот корень входит в ОДЗ ($x < -5/3$).
$x_2 = \frac{-13+5}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$. Этот корень не входит в ОДЗ ($-4/3 > -5/3$).
Таким образом, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = \frac{5}{3}$.

2)

Дано:Уравнение $ \sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} + (3x+4) \cdot \sqrt{36x^2-25} = 0 $

Найти:Значение $x$.

Решение:
ОДЗ: $36x^2-25 \ge 0$ и $\frac{6x-5}{6x+5} \ge 0$ и $6x+5 \ne 0$.
Это дает $x \in (-\infty, -5/6) \cup [5/6, \infty)$.
Преобразуем уравнение, вынеся общий множитель $\sqrt{6x-5}$ за скобки (аналогично предыдущей задаче, рассматривая ОДЗ).
$\sqrt{6x-5} \left( \frac{1}{\sqrt{6x+5}} + (3x+4)\sqrt{6x+5} \right) = 0$
Получаем два случая:
a) $\sqrt{6x-5} = 0 \implies 6x-5 = 0 \implies x = \frac{5}{6}$. Этот корень входит в ОДЗ.
b) $\frac{1}{\sqrt{6x+5}} + (3x+4)\sqrt{6x+5} = 0$.
Умножим на $\sqrt{6x+5}$:
$1 + (3x+4)(6x+5) = 0$
$1 + 18x^2 + 15x + 24x + 20 = 0$
$18x^2 + 39x + 21 = 0$
$6x^2 + 13x + 7 = 0$
$D = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 7 = 169 - 168 = 1$.
$x_1 = \frac{-13-1}{12} = -\frac{14}{12} = -\frac{7}{6}$.
$x_2 = \frac{-13+1}{12} = -1$.
Эти вычисления верны для случая $x \ge 5/6$, когда $6x+5 > 0$. Ни один из найденных корней ($-7/6$ и $-1$) не удовлетворяет условию $x \ge 5/6$.
Теперь рассмотрим случай $x < -5/6$. В этом случае $6x+5 < 0$, и уравнение преобразуется к виду:
$1 + (3x+4)(-(6x+5)) = 0$
$1 - (18x^2 + 39x + 20) = 0$
$-18x^2 - 39x - 19 = 0$
$18x^2 + 39x + 19 = 0$
$D = 39^2 - 4 \cdot 18 \cdot 19 = 1521 - 1368 = 153$.
$x = \frac{-39 \pm \sqrt{153}}{36} = \frac{-39 \pm 3\sqrt{17}}{36} = \frac{-13 \pm \sqrt{17}}{12}$.
Проверим корни на принадлежность к ОДЗ ($x < -5/6 \approx -0.833$).
$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{17}}{12} \approx \frac{-13 + 4.12}{12} \approx -0.74$. Этот корень не входит в интервал $x < -5/6$.
$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{17}}{12} \approx \frac{-13 - 4.12}{12} \approx -1.42$. Этот корень входит в интервал $x < -5/6$.
Итого, два корня.

Ответ: $x_1 = \frac{5}{6}, x_2 = \frac{-13-\sqrt{17}}{12}$.

3)

Дано:Уравнение $ \frac{2}{\sqrt{2-x}} = \sqrt{\frac{x+6}{x+3}} $

Найти:Значение $x$.

Решение:
Найдем ОДЗ:
1. $2-x > 0 \implies x < 2$.
2. $\frac{x+6}{x+3} \ge 0 \implies x \in (-\infty, -6] \cup (-3, \infty)$.
Общее ОДЗ: $x \in (-\infty, -6] \cup (-3, 2)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны в ОДЗ:
$\frac{4}{2-x} = \frac{x+6}{x+3}$
Используем свойство пропорции:
$4(x+3) = (x+6)(2-x)$
$4x + 12 = 2x - x^2 + 12 - 6x$
$4x + 12 = -x^2 - 4x + 12$
$x^2 + 8x = 0$
$x(x+8) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -8$.
Проверим их по ОДЗ:
$x_1 = 0$: $0 \in (-3, 2)$, корень подходит.
$x_2 = -8$: $-8 \in (-\infty, -6]$, корень подходит.

Ответ: $x_1 = -8, x_2 = 0$.

4)

Дано:Уравнение $ \frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1} $

Найти:Значение $x$.

Решение:
Найдем ОДЗ:
1. $3x+1 > 0 \implies x > -1/3$.
2. $2x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/2$.
3. Правая часть $\sqrt{2x+1} \ge 0$, значит и левая часть должна быть неотрицательной: $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} \ge 0$. Так как знаменатель всегда положителен, то $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Объединяя все условия ($x > -1/3$, $x \ge -1/2$, $x \ge -1$), получаем ОДЗ: $x > -1/3$.
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{(x+1)^2}{3x+1} = 2x+1$
$(x+1)^2 = (2x+1)(3x+1)$
$x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + 2x + 3x + 1$
$x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + 5x + 1$
$5x^2 + 3x = 0$
$x(5x+3) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3/5$.
Проверим их по ОДЗ ($x > -1/3$):
$x_1 = 0$: $0 > -1/3$, корень подходит.
$x_2 = -3/5 = -0.6$: $-0.6 \ngtr -1/3 \approx -0.33$, корень не подходит (посторонний).

Ответ: $x = 0$.

Решите системы уравнений (125–126):

125. 1) $ \begin{cases} 5\sqrt{x+4} - \sqrt{y-2} = 7, \\ \sqrt{x+4} + 6\sqrt{y-2} = 20; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 7\sqrt{3-x} + 4\sqrt{5+y} = 18, \\ 3\sqrt{5+y} + \sqrt{3-x} = 5; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \sqrt[3]{2x-1} - 4\sqrt[3]{3y+1} = -3, \\ 4\sqrt[3]{2x-1} - 2\sqrt[3]{3y+1} = 2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2\sqrt[4]{15+x} - 1 = \sqrt[4]{y}, \\ 2\sqrt[4]{y+1} = 3\sqrt[4]{15+x} \end{cases} $.

1)

Дано:

Система уравнений: $\begin{cases} 5\sqrt{x+4} - \sqrt{y-2} = 7, \\ \sqrt{x+4} + 6\sqrt{y-2} = 20. \end{cases}$

Найти:

Значения переменных $x$ и $y$.

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$ и $y-2 \ge 0 \Rightarrow y \ge 2$.

Для упрощения системы введем новые переменные. Пусть $u = \sqrt{x+4}$ и $v = \sqrt{y-2}$. С учетом ОДЗ, переменные должны быть неотрицательными: $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Подставим новые переменные в исходную систему:

$\begin{cases} 5u - v = 7, \\ u + 6v = 20. \end{cases}$

Получили систему линейных уравнений относительно $u$ и $v$. Выразим $v$ из первого уравнения: $v = 5u - 7$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u + 6(5u - 7) = 20$

$u + 30u - 42 = 20$

$31u = 62$

$u = \frac{62}{31} = 2$

Теперь найдем $v$:

$v = 5u - 7 = 5(2) - 7 = 10 - 7 = 3$

Значения $u=2$ и $v=3$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

Из $u = \sqrt{x+4}$ получаем $2 = \sqrt{x+4}$. Возводим обе части в квадрат: $4 = x+4$, откуда $x=0$.

Из $v = \sqrt{y-2}$ получаем $3 = \sqrt{y-2}$. Возводим обе части в квадрат: $9 = y-2$, откуда $y=11$.

Найденные значения $x=0$ и $y=11$ удовлетворяют ОДЗ ($0 \ge -4$ и $11 \ge 2$).

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему:

Первое уравнение: $5\sqrt{0+4} - \sqrt{11-2} = 5\sqrt{4} - \sqrt{9} = 5 \cdot 2 - 3 = 10 - 3 = 7$. Верно.

Второе уравнение: $\sqrt{0+4} + 6\sqrt{11-2} = \sqrt{4} + 6\sqrt{9} = 2 + 6 \cdot 3 = 2 + 18 = 20$. Верно.

Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $(0; 11)$.

2)

Дано:

Система уравнений: $\begin{cases} 7\sqrt{3-x} + 4\sqrt{5+y} = 18, \\ 3\sqrt{5+y} + \sqrt{3-x} = 5. \end{cases}$

Найти:

Значения переменных $x$ и $y$.

Решение:

Определим ОДЗ: $3-x \ge 0 \Rightarrow x \le 3$ и $5+y \ge 0 \Rightarrow y \ge -5$.

Введем новые переменные: $u = \sqrt{3-x}$ и $v = \sqrt{5+y}$. С учетом ОДЗ, $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Перепишем систему с новыми переменными. Для удобства поменяем уравнения местами:

$\begin{cases} u + 3v = 5, \\ 7u + 4v = 18. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $u$: $u = 5 - 3v$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$7(5 - 3v) + 4v = 18$

$35 - 21v + 4v = 18$

$35 - 17v = 18$

$17v = 35 - 18$

$17v = 17$

$v = 1$

Теперь найдем $u$:

$u = 5 - 3v = 5 - 3(1) = 2$

Значения $u=2$ и $v=1$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Выполним обратную замену:

Из $u = \sqrt{3-x}$ получаем $2 = \sqrt{3-x}$. Возводим в квадрат: $4 = 3-x$, откуда $x = -1$.

Из $v = \sqrt{5+y}$ получаем $1 = \sqrt{5+y}$. Возводим в квадрат: $1 = 5+y$, откуда $y = -4$.

Найденные значения $x=-1$ и $y=-4$ удовлетворяют ОДЗ ($-1 \le 3$ и $-4 \ge -5$).

Проверка:

Первое уравнение: $7\sqrt{3-(-1)} + 4\sqrt{5+(-4)} = 7\sqrt{4} + 4\sqrt{1} = 7 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 14+4=18$. Верно.

Второе уравнение: $3\sqrt{5+(-4)} + \sqrt{3-(-1)} = 3\sqrt{1} + \sqrt{4} = 3 \cdot 1 + 2 = 5$. Верно.

Ответ: $(-1; -4)$.

3)

Дано:

Система уравнений: $\begin{cases} \sqrt[3]{2x-1} - 4\sqrt[3]{3y+1} = -3, \\ 4\sqrt[3]{2x-1} - 2\sqrt[3]{3y+1} = 2. \end{cases}$

Найти:

Значения переменных $x$ и $y$.

Решение:

Поскольку корни в уравнениях нечетной степени (кубические), ОДЗ для $x$ и $y$ — все действительные числа.

Введем новые переменные: $u = \sqrt[3]{2x-1}$ и $v = \sqrt[3]{3y+1}$.

Система примет вид:

$\begin{cases} u - 4v = -3, \\ 4u - 2v = 2. \end{cases}$

Второе уравнение можно упростить, разделив обе части на 2: $2u - v = 1$.

Из упрощенного второго уравнения выразим $v$: $v = 2u - 1$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$u - 4(2u - 1) = -3$

$u - 8u + 4 = -3$

$-7u = -7$

$u = 1$

Теперь найдем $v$:

$v = 2u - 1 = 2(1) - 1 = 1$

Выполним обратную замену:

Из $u = \sqrt[3]{2x-1}$ получаем $1 = \sqrt[3]{2x-1}$. Возводим в куб: $1^3 = 2x-1 \Rightarrow 1 = 2x-1 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1$.

Из $v = \sqrt[3]{3y+1}$ получаем $1 = \sqrt[3]{3y+1}$. Возводим в куб: $1^3 = 3y+1 \Rightarrow 1 = 3y+1 \Rightarrow 3y=0 \Rightarrow y=0$.

Проверка:

Первое уравнение: $\sqrt[3]{2(1)-1} - 4\sqrt[3]{3(0)+1} = \sqrt[3]{1} - 4\sqrt[3]{1} = 1 - 4 = -3$. Верно.

Второе уравнение: $4\sqrt[3]{2(1)-1} - 2\sqrt[3]{3(0)+1} = 4\sqrt[3]{1} - 2\sqrt[3]{1} = 4 - 2 = 2$. Верно.

Ответ: $(1; 0)$.

4)

Дано:

Система уравнений: $\begin{cases} 2\sqrt[4]{15+x} - 1 = \sqrt[4]{y}, \\ 2\sqrt[4]{y} + 1 = 3\sqrt[4]{15+x}. \end{cases}$

Найти:

Значения переменных $x$ и $y$.

Решение:

Определим ОДЗ: $15+x \ge 0 \Rightarrow x \ge -15$ и $y \ge 0$.

Введем новые переменные: $u = \sqrt[4]{15+x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$. С учетом ОДЗ, $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Перепишем систему в новых переменных:

$\begin{cases} 2u - 1 = v, \\ 2v + 1 = 3u. \end{cases}$

Подставим выражение для $v$ из первого уравнения во второе:

$2(2u-1) + 1 = 3u$

$4u - 2 + 1 = 3u$

$4u - 1 = 3u$

$u = 1$

Теперь найдем $v$:

$v = 2u - 1 = 2(1) - 1 = 1$

Значения $u=1$ и $v=1$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Выполним обратную замену:

Из $u = \sqrt[4]{15+x}$ получаем $1 = \sqrt[4]{15+x}$. Возводим в четвертую степень: $1^4 = 15+x \Rightarrow 1 = 15+x \Rightarrow x = -14$.

Из $v = \sqrt[4]{y}$ получаем $1 = \sqrt[4]{y}$. Возводим в четвертую степень: $1^4 = y \Rightarrow y=1$.

Найденные значения $x=-14$ и $y=1$ удовлетворяют ОДЗ ($-14 \ge -15$ и $1 \ge 0$).

Проверка:

Первое уравнение: $2\sqrt[4]{15+(-14)} - 1 = 2\sqrt[4]{1} - 1 = 2 - 1 = 1$. $\sqrt[4]{y} = \sqrt[4]{1} = 1$. $1=1$. Верно.

Второе уравнение: $2\sqrt[4]{1} + 1 = 2+1=3$. $3\sqrt[4]{15+(-14)} = 3\sqrt[4]{1} = 3$. $3=3$. Верно.

Ответ: $(-14; 1)$.