Номер 119, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

119.1) $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x-1} = 2;$

2) $\sqrt{2x-6} + \sqrt{x+1} = 2;$

3) $x - 1 + \sqrt{x-1} = 2;$

4) $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}.$

1)

Иррациональное уравнение $\sqrt{3x+1} - \sqrt{x-1} = 2$.

Корни данного уравнения.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными.

$3x+1 \ge 0 \implies 3x \ge -1 \implies x \ge -1/3$

$x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$

Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ: $x \ge 1$.

Теперь решим уравнение. Уединим один из корней, перенеся его в правую часть:

$\sqrt{3x+1} = 2 + \sqrt{x-1}$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{3x+1})^2 = (2 + \sqrt{x-1})^2$

$3x+1 = 4 + 4\sqrt{x-1} + (x-1)$

Приведем подобные слагаемые и уединим оставшийся радикал:

$3x+1 = x + 3 + 4\sqrt{x-1}$

$2x - 2 = 4\sqrt{x-1}$

Разделим обе части на 2:

$x - 1 = 2\sqrt{x-1}$

Снова возведем обе части в квадрат. При $x \ge 1$ обе части уравнения неотрицательны, поэтому данное преобразование является равносильным на ОДЗ.

$(x-1)^2 = (2\sqrt{x-1})^2$

$x^2 - 2x + 1 = 4(x-1)$

$x^2 - 2x + 1 = 4x - 4$

Перенесем все члены в левую часть и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \ge 1$). Оба корня принадлежат области допустимых значений.

Выполним проверку подстановкой в исходное уравнение:

Для $x=1$: $\sqrt{3(1)+1} - \sqrt{1-1} = \sqrt{4} - \sqrt{0} = 2-0 = 2$. Равенство верно.

Для $x=5$: $\sqrt{3(5)+1} - \sqrt{5-1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4-2 = 2$. Равенство верно.

Оба корня являются решениями.

$x=1; x=5$.

2)

Иррациональное уравнение $\sqrt{2x-6} + \sqrt{x+1} = 2$.

Корни данного уравнения.

Найдем ОДЗ:

$2x-6 \ge 0 \implies 2x \ge 6 \implies x \ge 3$

$x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$

ОДЗ уравнения: $x \ge 3$.

Уединим один из корней:

$\sqrt{2x-6} = 2 - \sqrt{x+1}$

Для того чтобы можно было возвести в квадрат, правая часть должна быть неотрицательной: $2 - \sqrt{x+1} \ge 0$, что означает $\sqrt{x+1} \le 2$, или $x+1 \le 4$, то есть $x \le 3$.

Совмещая с ОДЗ ($x \ge 3$), получаем, что решение может существовать только при $x = 3$. Проверим это значение:

$\sqrt{2(3)-6} + \sqrt{3+1} = \sqrt{0} + \sqrt{4} = 0 + 2 = 2$.

Равенство $2=2$ верно, следовательно, $x=3$ является единственным корнем.

Проведем решение стандартным алгебраическим методом. Возведем в квадрат уравнение $\sqrt{2x-6} = 2 - \sqrt{x+1}$:

$2x-6 = (2-\sqrt{x+1})^2$

$2x-6 = 4 - 4\sqrt{x+1} + (x+1)$

$2x-6 = x+5 - 4\sqrt{x+1}$

Уединим оставшийся корень:

$x - 11 = -4\sqrt{x+1}$

Возведем в квадрат еще раз:

$(x-11)^2 = (-4\sqrt{x+1})^2$

$x^2 - 22x + 121 = 16(x+1)$

$x^2 - 22x + 121 = 16x + 16$

$x^2 - 38x + 105 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-38)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 105 = 1444 - 420 = 1024 = 32^2$.

$x_1 = \frac{38 - 32}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{38 + 32}{2} = \frac{70}{2} = 35$

Проверим корни. Оба корня $x=3$ и $x=35$ принадлежат ОДЗ ($x \ge 3$).

Проверка подстановкой в исходное уравнение:

Для $x=3$: $\sqrt{2(3)-6} + \sqrt{3+1} = \sqrt{0} + \sqrt{4} = 2$. Верно.

Для $x=35$: $\sqrt{2(35)-6} + \sqrt{35+1} = \sqrt{64} + \sqrt{36} = 8+6 = 14 \ne 2$. Неверно.

Корень $x=35$ является посторонним. Он появился из-за возведения в квадрат уравнения $x - 11 = -4\sqrt{x+1}$, где при $x=35$ левая часть положительна (24), а правая отрицательна (-24).

$x=3$.

3)

Иррациональное уравнение $x - 1 + \sqrt{x-1} = 2$.

Корни данного уравнения.

Найдем ОДЗ: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Это уравнение удобно решить с помощью введения новой переменной. Сделаем замену:

Пусть $t = \sqrt{x-1}$. Так как корень арифметический, то $t \ge 0$.

Тогда $x-1 = t^2$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$t^2 + t = 2$

Перенесем 2 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Проверим корни на соответствие условию $t \ge 0$.

$t_1=1$ удовлетворяет условию.

$t_2=-2$ не удовлетворяет условию, поэтому это посторонний корень для переменной $t$.

Вернемся к исходной переменной $x$ с помощью обратной замены:

$\sqrt{x-1} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$x-1 = 1$

$x = 2$

Проверим найденный корень. Он удовлетворяет ОДЗ ($2 \ge 1$).

Подставим в исходное уравнение:

$2 - 1 + \sqrt{2-1} = 1 + \sqrt{1} = 1+1=2$. Равенство верно.

$x=2$.

4)

Иррациональное уравнение $\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3} = 2\sqrt{x}$.

Корни данного уравнения.

Найдем ОДЗ:

$2x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/2$

$x-3 \ge 0 \implies x \ge 3$

$x \ge 0$

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x+1} + \sqrt{x-3})^2 = (2\sqrt{x})^2$

$(2x+1) + 2\sqrt{(2x+1)(x-3)} + (x-3) = 4x$

Упростим выражение:

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 6x + x - 3} = 4x$

$3x - 2 + 2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x$

Уединим радикал:

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = 4x - (3x-2)$

$2\sqrt{2x^2 - 5x - 3} = x + 2$

На ОДЗ ($x \ge 3$) правая часть $x+2$ всегда положительна, поэтому можно без опасений возводить в квадрат еще раз:

$(2\sqrt{2x^2 - 5x - 3})^2 = (x+2)^2$

$4(2x^2 - 5x - 3) = x^2 + 4x + 4$

$8x^2 - 20x - 12 = x^2 + 4x + 4$

Приведем к стандартному виду квадратное уравнение:

$7x^2 - 24x - 16 = 0$

Решим его через дискриминант: $D = (-24)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-16) = 576 + 448 = 1024 = 32^2$.

$x_1 = \frac{24 - 32}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}$

$x_2 = \frac{24 + 32}{2 \cdot 7} = \frac{56}{14} = 4$

Проверим корни на принадлежность ОДЗ ($x \ge 3$).

$x_1 = -4/7$ не входит в ОДЗ, является посторонним корнем.

$x_2 = 4$ входит в ОДЗ.

Выполним проверку для $x=4$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(4)+1} + \sqrt{4-3} = \sqrt{9} + \sqrt{1} = 3+1 = 4$.

$2\sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4$.

Равенство $4=4$ верно.

$x=4$.