Номер 125, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Решите системы уравнений (125–126):

125. 1) $ \begin{cases} 5\sqrt{x+4} - \sqrt{y-2} = 7, \\ \sqrt{x+4} + 6\sqrt{y-2} = 20; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 7\sqrt{3-x} + 4\sqrt{5+y} = 18, \\ 3\sqrt{5+y} + \sqrt{3-x} = 5; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} \sqrt[3]{2x-1} - 4\sqrt[3]{3y+1} = -3, \\ 4\sqrt[3]{2x-1} - 2\sqrt[3]{3y+1} = 2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2\sqrt[4]{15+x} - 1 = \sqrt[4]{y}, \\ 2\sqrt[4]{y+1} = 3\sqrt[4]{15+x} \end{cases} $.

1)

Дано:

Система уравнений: $\begin{cases} 5\sqrt{x+4} - \sqrt{y-2} = 7, \\ \sqrt{x+4} + 6\sqrt{y-2} = 20. \end{cases}$

Найти:

Значения переменных $x$ и $y$.

Решение:

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: $x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$ и $y-2 \ge 0 \Rightarrow y \ge 2$.

Для упрощения системы введем новые переменные. Пусть $u = \sqrt{x+4}$ и $v = \sqrt{y-2}$. С учетом ОДЗ, переменные должны быть неотрицательными: $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Подставим новые переменные в исходную систему:

$\begin{cases} 5u - v = 7, \\ u + 6v = 20. \end{cases}$

Получили систему линейных уравнений относительно $u$ и $v$. Выразим $v$ из первого уравнения: $v = 5u - 7$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$u + 6(5u - 7) = 20$

$u + 30u - 42 = 20$

$31u = 62$

$u = \frac{62}{31} = 2$

Теперь найдем $v$:

$v = 5u - 7 = 5(2) - 7 = 10 - 7 = 3$

Значения $u=2$ и $v=3$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

Из $u = \sqrt{x+4}$ получаем $2 = \sqrt{x+4}$. Возводим обе части в квадрат: $4 = x+4$, откуда $x=0$.

Из $v = \sqrt{y-2}$ получаем $3 = \sqrt{y-2}$. Возводим обе части в квадрат: $9 = y-2$, откуда $y=11$.

Найденные значения $x=0$ и $y=11$ удовлетворяют ОДЗ ($0 \ge -4$ и $11 \ge 2$).

Выполним проверку, подставив найденные значения в исходную систему:

Первое уравнение: $5\sqrt{0+4} - \sqrt{11-2} = 5\sqrt{4} - \sqrt{9} = 5 \cdot 2 - 3 = 10 - 3 = 7$. Верно.

Второе уравнение: $\sqrt{0+4} + 6\sqrt{11-2} = \sqrt{4} + 6\sqrt{9} = 2 + 6 \cdot 3 = 2 + 18 = 20$. Верно.

Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $(0; 11)$.

2)

Дано:

Система уравнений: $\begin{cases} 7\sqrt{3-x} + 4\sqrt{5+y} = 18, \\ 3\sqrt{5+y} + \sqrt{3-x} = 5. \end{cases}$

Найти:

Значения переменных $x$ и $y$.

Решение:

Определим ОДЗ: $3-x \ge 0 \Rightarrow x \le 3$ и $5+y \ge 0 \Rightarrow y \ge -5$.

Введем новые переменные: $u = \sqrt{3-x}$ и $v = \sqrt{5+y}$. С учетом ОДЗ, $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Перепишем систему с новыми переменными. Для удобства поменяем уравнения местами:

$\begin{cases} u + 3v = 5, \\ 7u + 4v = 18. \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $u$: $u = 5 - 3v$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$7(5 - 3v) + 4v = 18$

$35 - 21v + 4v = 18$

$35 - 17v = 18$

$17v = 35 - 18$

$17v = 17$

$v = 1$

Теперь найдем $u$:

$u = 5 - 3v = 5 - 3(1) = 2$

Значения $u=2$ и $v=1$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Выполним обратную замену:

Из $u = \sqrt{3-x}$ получаем $2 = \sqrt{3-x}$. Возводим в квадрат: $4 = 3-x$, откуда $x = -1$.

Из $v = \sqrt{5+y}$ получаем $1 = \sqrt{5+y}$. Возводим в квадрат: $1 = 5+y$, откуда $y = -4$.

Найденные значения $x=-1$ и $y=-4$ удовлетворяют ОДЗ ($-1 \le 3$ и $-4 \ge -5$).

Проверка:

Первое уравнение: $7\sqrt{3-(-1)} + 4\sqrt{5+(-4)} = 7\sqrt{4} + 4\sqrt{1} = 7 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 14+4=18$. Верно.

Второе уравнение: $3\sqrt{5+(-4)} + \sqrt{3-(-1)} = 3\sqrt{1} + \sqrt{4} = 3 \cdot 1 + 2 = 5$. Верно.

Ответ: $(-1; -4)$.

3)

Дано:

Система уравнений: $\begin{cases} \sqrt[3]{2x-1} - 4\sqrt[3]{3y+1} = -3, \\ 4\sqrt[3]{2x-1} - 2\sqrt[3]{3y+1} = 2. \end{cases}$

Найти:

Значения переменных $x$ и $y$.

Решение:

Поскольку корни в уравнениях нечетной степени (кубические), ОДЗ для $x$ и $y$ — все действительные числа.

Введем новые переменные: $u = \sqrt[3]{2x-1}$ и $v = \sqrt[3]{3y+1}$.

Система примет вид:

$\begin{cases} u - 4v = -3, \\ 4u - 2v = 2. \end{cases}$

Второе уравнение можно упростить, разделив обе части на 2: $2u - v = 1$.

Из упрощенного второго уравнения выразим $v$: $v = 2u - 1$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$u - 4(2u - 1) = -3$

$u - 8u + 4 = -3$

$-7u = -7$

$u = 1$

Теперь найдем $v$:

$v = 2u - 1 = 2(1) - 1 = 1$

Выполним обратную замену:

Из $u = \sqrt[3]{2x-1}$ получаем $1 = \sqrt[3]{2x-1}$. Возводим в куб: $1^3 = 2x-1 \Rightarrow 1 = 2x-1 \Rightarrow 2x=2 \Rightarrow x=1$.

Из $v = \sqrt[3]{3y+1}$ получаем $1 = \sqrt[3]{3y+1}$. Возводим в куб: $1^3 = 3y+1 \Rightarrow 1 = 3y+1 \Rightarrow 3y=0 \Rightarrow y=0$.

Проверка:

Первое уравнение: $\sqrt[3]{2(1)-1} - 4\sqrt[3]{3(0)+1} = \sqrt[3]{1} - 4\sqrt[3]{1} = 1 - 4 = -3$. Верно.

Второе уравнение: $4\sqrt[3]{2(1)-1} - 2\sqrt[3]{3(0)+1} = 4\sqrt[3]{1} - 2\sqrt[3]{1} = 4 - 2 = 2$. Верно.

Ответ: $(1; 0)$.

4)

Дано:

Система уравнений: $\begin{cases} 2\sqrt[4]{15+x} - 1 = \sqrt[4]{y}, \\ 2\sqrt[4]{y} + 1 = 3\sqrt[4]{15+x}. \end{cases}$

Найти:

Значения переменных $x$ и $y$.

Решение:

Определим ОДЗ: $15+x \ge 0 \Rightarrow x \ge -15$ и $y \ge 0$.

Введем новые переменные: $u = \sqrt[4]{15+x}$ и $v = \sqrt[4]{y}$. С учетом ОДЗ, $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Перепишем систему в новых переменных:

$\begin{cases} 2u - 1 = v, \\ 2v + 1 = 3u. \end{cases}$

Подставим выражение для $v$ из первого уравнения во второе:

$2(2u-1) + 1 = 3u$

$4u - 2 + 1 = 3u$

$4u - 1 = 3u$

$u = 1$

Теперь найдем $v$:

$v = 2u - 1 = 2(1) - 1 = 1$

Значения $u=1$ и $v=1$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Выполним обратную замену:

Из $u = \sqrt[4]{15+x}$ получаем $1 = \sqrt[4]{15+x}$. Возводим в четвертую степень: $1^4 = 15+x \Rightarrow 1 = 15+x \Rightarrow x = -14$.

Из $v = \sqrt[4]{y}$ получаем $1 = \sqrt[4]{y}$. Возводим в четвертую степень: $1^4 = y \Rightarrow y=1$.

Найденные значения $x=-14$ и $y=1$ удовлетворяют ОДЗ ($-14 \ge -15$ и $1 \ge 0$).

Проверка:

Первое уравнение: $2\sqrt[4]{15+(-14)} - 1 = 2\sqrt[4]{1} - 1 = 2 - 1 = 1$. $\sqrt[4]{y} = \sqrt[4]{1} = 1$. $1=1$. Верно.

Второе уравнение: $2\sqrt[4]{1} + 1 = 2+1=3$. $3\sqrt[4]{15+(-14)} = 3\sqrt[4]{1} = 3$. $3=3$. Верно.

Ответ: $(-14; 1)$.