Номер 118, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

118.1) $\sqrt{3x+4} = 2-x;$

2) $\sqrt{2x^2-3x+2} = 2x-2;$

3) $\sqrt{7-3x} = 1-x;$

4) $\sqrt{2x^2-5x+4} = 2x+2.$

1) $\sqrt{3x+4} = 2-x$
Данное иррациональное уравнение равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, и квадрат левой части равен квадрату правой:
$\begin{cases} 2-x \ge 0 \\ (\sqrt{3x+4})^2 = (2-x)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство системы:
$2-x \ge 0 \implies x \le 2$
Решим второе уравнение системы, возведя обе части в квадрат:
$3x+4 = 4 - 4x + x^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 - 4x - 3x + 4 - 4 = 0$
$x^2 - 7x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(x-7) = 0$
Это дает нам два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \le 2$.
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию, так как $0 \le 2$.
Корень $x_2 = 7$ не удовлетворяет условию, так как $7 > 2$. Следовательно, $x=7$ является посторонним корнем.
Единственным решением является $x=0$.

Ответ: $0$.

2) $\sqrt{2x^2-3x+2} = 2x-2$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 2x-2 \ge 0 \\ 2x^2-3x+2 = (2x-2)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$2x-2 \ge 0 \implies 2x \ge 2 \implies x \ge 1$
Решим второе уравнение:
$2x^2-3x+2 = 4x^2 - 8x + 4$
Приведем подобные члены:
$2x^2 - 5x + 2 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2-4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$
Проверим корни на соответствие условию $x \ge 1$:
Корень $x_1 = 0.5$ не удовлетворяет условию, так как $0.5 < 1$. Это посторонний корень.
Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет условию, так как $2 \ge 1$.
Единственным решением является $x=2$.

Ответ: $2$.

3) $\sqrt{7-3x} = 1-x$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 1-x \ge 0 \\ 7-3x = (1-x)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$1-x \ge 0 \implies x \le 1$
Решим второе уравнение:
$7-3x = 1 - 2x + x^2$
$x^2 - 2x + 3x + 1 - 7 = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2-4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$
Проверим корни на соответствие условию $x \le 1$:
Корень $x_1 = -3$ удовлетворяет условию, так как $-3 \le 1$.
Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию, так как $2 > 1$. Это посторонний корень.
Единственным решением является $x=-3$.

Ответ: $-3$.

4) $\sqrt{2x^2-5x+4} = 2x+2$
Уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} 2x+2 \ge 0 \\ 2x^2-5x+4 = (2x+2)^2 \end{cases}$
Решим первое неравенство:
$2x+2 \ge 0 \implies 2x \ge -2 \implies x \ge -1$
Решим второе уравнение:
$2x^2-5x+4 = 4x^2 + 8x + 4$
$2x^2 + 13x = 0$
$x(2x+13) = 0$
Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $2x+13=0 \implies x_2 = -13/2 = -6.5$.
Проверим корни на соответствие условию $x \ge -1$:
Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию, так как $0 \ge -1$.
Корень $x_2 = -6.5$ не удовлетворяет условию, так как $-6.5 < -1$. Это посторонний корень.
Единственным решением является $x=0$.

Ответ: $0$.