Номер 117, страница 57 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

117.1) $x + \sqrt{x + 3} = 3;$

2) $\sqrt{2x + 18} - 5 = x;$

3) $\sqrt[3]{x^3 - 8} + 2 = x;$

4) $\sqrt[3]{4x + 3x^2} = x.$

1) $x + \sqrt{x + 3} = 3$

Дано:

$x + \sqrt{x + 3} = 3$

Найти:

$x$

Решение:

Перенесем $x$ в правую часть уравнения, чтобы изолировать радикал:

$\sqrt{x + 3} = 3 - x$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 3 \ge 0$, откуда $x \ge -3$. Также правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным: $3 - x \ge 0$, откуда $x \le 3$. Таким образом, ОДЗ: $-3 \le x \le 3$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{x + 3})^2 = (3 - x)^2$

$x + 3 = 9 - 6x + x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($-3 \le x \le 3$):

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $-3 \le 1 \le 3$.

Корень $x_2 = 6$ не удовлетворяет условию $x \le 3$. Следовательно, это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=1$ подстановкой в исходное уравнение:

$1 + \sqrt{1 + 3} = 1 + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3$.

$3 = 3$ (верно).

Ответ: $1$.

2) $\sqrt{2x + 18} - 5 = x$

Дано:

$\sqrt{2x + 18} - 5 = x$

Найти:

$x$

Решение:

Изолируем радикал в левой части уравнения:

$\sqrt{2x + 18} = x + 5$

Определим ОДЗ. Выражение под корнем: $2x + 18 \ge 0 \implies 2x \ge -18 \implies x \ge -9$. Правая часть: $x + 5 \ge 0 \implies x \ge -5$. Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \ge -5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{2x + 18})^2 = (x + 5)^2$

$2x + 18 = x^2 + 10x + 25$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$x^2 + 8x + 7 = 0$

Найдем корни по теореме Виета. Сумма корней равна -8, произведение равно 7. Корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge -5$):

Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию $-1 \ge -5$.

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию $-7 \ge -5$, значит это посторонний корень.

Выполним проверку для $x=-1$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{2(-1) + 18} - 5 = \sqrt{-2 + 18} - 5 = \sqrt{16} - 5 = 4 - 5 = -1$.

$-1 = -1$ (верно).

Ответ: $-1$.

3) $\sqrt[3]{x^3 - 8} + 2 = x$

Дано:

$\sqrt[3]{x^3 - 8} + 2 = x$

Найти:

$x$

Решение:

Изолируем радикал:

$\sqrt[3]{x^3 - 8} = x - 2$

Так как корень кубический, ОДЗ для $x$ — все действительные числа ($x \in R$).

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x^3 - 8})^3 = (x - 2)^3$

$x^3 - 8 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3$

$x^3 - 8 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

Упростим уравнение:

$-6x^2 + 12x = 0$

$-6x(x - 2) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

При возведении в нечетную степень посторонние корни не появляются, но сделаем проверку:

Для $x=0$: $\sqrt[3]{0^3 - 8} + 2 = \sqrt[3]{-8} + 2 = -2 + 2 = 0$. $0=0$ (верно).

Для $x=2$: $\sqrt[3]{2^3 - 8} + 2 = \sqrt[3]{8 - 8} + 2 = \sqrt[3]{0} + 2 = 2$. $2=2$ (верно).

Ответ: $0; 2$.

4) $\sqrt[3]{4x + 3x^2} = x$

Дано:

$\sqrt[3]{4x + 3x^2} = x$

Найти:

$x$

Решение:

Корень уже изолирован. ОДЗ: $x \in R$.

Возведем обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{4x + 3x^2})^3 = x^3$

$4x + 3x^2 = x^3$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^3 - 3x^2 - 4x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x^2 - 3x - 4) = 0$

Получаем, что либо $x_1 = 0$, либо $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$. $\sqrt{D}=5$.

$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 \pm 5}{2}$

$x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$

$x_3 = \frac{3 - 5}{2} = -1$

Таким образом, у уравнения три корня: -1, 0 и 4. Сделаем проверку:

Для $x=-1$: $\sqrt[3]{4(-1) + 3(-1)^2} = \sqrt[3]{-4 + 3} = \sqrt[3]{-1} = -1$. $-1=-1$ (верно).

Для $x=0$: $\sqrt[3]{4(0) + 3(0)^2} = \sqrt[3]{0} = 0$. $0=0$ (верно).

Для $x=4$: $\sqrt[3]{4(4) + 3(4)^2} = \sqrt[3]{16 + 48} = \sqrt[3]{64} = 4$. $4=4$ (верно).

Ответ: $-1; 0; 4$.