Номер 124, страница 58 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

124.1) $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + \left(\frac{3}{4}x+2\right) \cdot \sqrt{9x^2-25} = 0;$

2) $\sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} + (3x+4) \cdot \sqrt{36x^2-25} = 0;$

3) $\frac{2}{\sqrt{2-x}} = \sqrt{\frac{x+6}{x+3}};$

4) $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1}.$

1)

Дано:Уравнение $ \sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} + (\frac{3}{4}x+2) \cdot \sqrt{9x^2-25} = 0 $

Найти:Значение $x$.

Решение:
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под знаком корня должны быть неотрицательными, а знаменатели не должны равняться нулю.
1. $9x^2-25 \ge 0 \implies (3x-5)(3x+5) \ge 0$. Решением этого неравенства является $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}] \cup [\frac{5}{3}, \infty)$.
2. $\frac{3x-5}{3x+5} \ge 0$. Решением этого неравенства методом интервалов является $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}) \cup [\frac{5}{3}, \infty)$.
Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -\frac{5}{3}) \cup [\frac{5}{3}, \infty)$.
Преобразуем уравнение. Заметим, что $\sqrt{9x^2-25} = \sqrt{(3x-5)(3x+5)}$.
Уравнение можно переписать как:
$\frac{\sqrt{3x-5}}{\sqrt{3x+5}} + (\frac{3x+8}{4}) \sqrt{(3x-5)(3x+5)} = 0$
Вынесем общий множитель $\sqrt{3x-5}$ за скобки (в рамках ОДЗ):
$\sqrt{3x-5} \left( \frac{1}{\sqrt{3x+5}} + \frac{3x+8}{4} \sqrt{3x+5} \right) = 0$
Это равенство выполняется в двух случаях:
a) $\sqrt{3x-5} = 0 \implies 3x-5 = 0 \implies x = \frac{5}{3}$. Этот корень входит в ОДЗ.
b) $\frac{1}{\sqrt{3x+5}} + \frac{3x+8}{4} \sqrt{3x+5} = 0$.
Умножим обе части на $4\sqrt{3x+5}$ (это выражение не равно нулю в ОДЗ):
$4 + (3x+8)(3x+5) = 0$
$4 + 9x^2 + 15x + 24x + 40 = 0$
$9x^2 + 39x + 44 = 0$
Найдем дискриминант: $D = 39^2 - 4 \cdot 9 \cdot 44 = 1521 - 1584 = -63$.
Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.
Данное преобразование было справедливо для случая $x \ge 5/3$, когда $3x+5 > 0$.
Рассмотрим случай $x < -5/3$. В этом случае $3x-5<0$ и $3x+5<0$. Тогда $\sqrt{\frac{3x-5}{3x+5}} = \sqrt{\frac{-(5-3x)}{-( -3x-5)}} = \frac{\sqrt{5-3x}}{\sqrt{-3x-5}}$. А $\sqrt{9x^2-25} = \sqrt{(5-3x)(-5-3x)}$.
Уравнение примет вид:$\frac{\sqrt{5-3x}}{\sqrt{-3x-5}} + (\frac{3x+8}{4}) \sqrt{(5-3x)(-5-3x)} = 0$
$\sqrt{5-3x} \left( \frac{1}{\sqrt{-3x-5}} + \frac{3x+8}{4} \sqrt{-3x-5} \right) = 0$
Множитель $\sqrt{5-3x}$ не равен нулю при $x < -5/3$. Значит, выражение в скобках равно нулю:
$1 + \frac{3x+8}{4}(-3x-5) = 0$
$4 - (3x+8)(3x+5) = 0$
$4 - (9x^2+39x+40) = 0$
$-9x^2 - 39x - 36 = 0$
$3x^2 + 13x + 12 = 0$
$D = 13^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{-13-5}{6} = -3$. Этот корень входит в ОДЗ ($x < -5/3$).
$x_2 = \frac{-13+5}{6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$. Этот корень не входит в ОДЗ ($-4/3 > -5/3$).
Таким образом, получаем два корня.

Ответ: $x_1 = -3, x_2 = \frac{5}{3}$.

2)

Дано:Уравнение $ \sqrt{\frac{6x-5}{6x+5}} + (3x+4) \cdot \sqrt{36x^2-25} = 0 $

Найти:Значение $x$.

Решение:
ОДЗ: $36x^2-25 \ge 0$ и $\frac{6x-5}{6x+5} \ge 0$ и $6x+5 \ne 0$.
Это дает $x \in (-\infty, -5/6) \cup [5/6, \infty)$.
Преобразуем уравнение, вынеся общий множитель $\sqrt{6x-5}$ за скобки (аналогично предыдущей задаче, рассматривая ОДЗ).
$\sqrt{6x-5} \left( \frac{1}{\sqrt{6x+5}} + (3x+4)\sqrt{6x+5} \right) = 0$
Получаем два случая:
a) $\sqrt{6x-5} = 0 \implies 6x-5 = 0 \implies x = \frac{5}{6}$. Этот корень входит в ОДЗ.
b) $\frac{1}{\sqrt{6x+5}} + (3x+4)\sqrt{6x+5} = 0$.
Умножим на $\sqrt{6x+5}$:
$1 + (3x+4)(6x+5) = 0$
$1 + 18x^2 + 15x + 24x + 20 = 0$
$18x^2 + 39x + 21 = 0$
$6x^2 + 13x + 7 = 0$
$D = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 7 = 169 - 168 = 1$.
$x_1 = \frac{-13-1}{12} = -\frac{14}{12} = -\frac{7}{6}$.
$x_2 = \frac{-13+1}{12} = -1$.
Эти вычисления верны для случая $x \ge 5/6$, когда $6x+5 > 0$. Ни один из найденных корней ($-7/6$ и $-1$) не удовлетворяет условию $x \ge 5/6$.
Теперь рассмотрим случай $x < -5/6$. В этом случае $6x+5 < 0$, и уравнение преобразуется к виду:
$1 + (3x+4)(-(6x+5)) = 0$
$1 - (18x^2 + 39x + 20) = 0$
$-18x^2 - 39x - 19 = 0$
$18x^2 + 39x + 19 = 0$
$D = 39^2 - 4 \cdot 18 \cdot 19 = 1521 - 1368 = 153$.
$x = \frac{-39 \pm \sqrt{153}}{36} = \frac{-39 \pm 3\sqrt{17}}{36} = \frac{-13 \pm \sqrt{17}}{12}$.
Проверим корни на принадлежность к ОДЗ ($x < -5/6 \approx -0.833$).
$x_1 = \frac{-13 + \sqrt{17}}{12} \approx \frac{-13 + 4.12}{12} \approx -0.74$. Этот корень не входит в интервал $x < -5/6$.
$x_2 = \frac{-13 - \sqrt{17}}{12} \approx \frac{-13 - 4.12}{12} \approx -1.42$. Этот корень входит в интервал $x < -5/6$.
Итого, два корня.

Ответ: $x_1 = \frac{5}{6}, x_2 = \frac{-13-\sqrt{17}}{12}$.

3)

Дано:Уравнение $ \frac{2}{\sqrt{2-x}} = \sqrt{\frac{x+6}{x+3}} $

Найти:Значение $x$.

Решение:
Найдем ОДЗ:
1. $2-x > 0 \implies x < 2$.
2. $\frac{x+6}{x+3} \ge 0 \implies x \in (-\infty, -6] \cup (-3, \infty)$.
Общее ОДЗ: $x \in (-\infty, -6] \cup (-3, 2)$.
Возведем обе части уравнения в квадрат, так как они обе неотрицательны в ОДЗ:
$\frac{4}{2-x} = \frac{x+6}{x+3}$
Используем свойство пропорции:
$4(x+3) = (x+6)(2-x)$
$4x + 12 = 2x - x^2 + 12 - 6x$
$4x + 12 = -x^2 - 4x + 12$
$x^2 + 8x = 0$
$x(x+8) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -8$.
Проверим их по ОДЗ:
$x_1 = 0$: $0 \in (-3, 2)$, корень подходит.
$x_2 = -8$: $-8 \in (-\infty, -6]$, корень подходит.

Ответ: $x_1 = -8, x_2 = 0$.

4)

Дано:Уравнение $ \frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} = \sqrt{2x+1} $

Найти:Значение $x$.

Решение:
Найдем ОДЗ:
1. $3x+1 > 0 \implies x > -1/3$.
2. $2x+1 \ge 0 \implies x \ge -1/2$.
3. Правая часть $\sqrt{2x+1} \ge 0$, значит и левая часть должна быть неотрицательной: $\frac{x+1}{\sqrt{3x+1}} \ge 0$. Так как знаменатель всегда положителен, то $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
Объединяя все условия ($x > -1/3$, $x \ge -1/2$, $x \ge -1$), получаем ОДЗ: $x > -1/3$.
Возведем обе части в квадрат:
$\frac{(x+1)^2}{3x+1} = 2x+1$
$(x+1)^2 = (2x+1)(3x+1)$
$x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + 2x + 3x + 1$
$x^2 + 2x + 1 = 6x^2 + 5x + 1$
$5x^2 + 3x = 0$
$x(5x+3) = 0$
Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3/5$.
Проверим их по ОДЗ ($x > -1/3$):
$x_1 = 0$: $0 > -1/3$, корень подходит.
$x_2 = -3/5 = -0.6$: $-0.6 \ngtr -1/3 \approx -0.33$, корень не подходит (посторонний).

Ответ: $x = 0$.