Номер 126, страница 59 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

126.1)

$\begin{cases} \sqrt{x+1} \cdot \sqrt[3]{y} = 6, \\ \sqrt{x+1} + 3\sqrt[3]{y} = 9; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt{y+2} = 4, \\ \sqrt[4]{x} - 4\sqrt{y+2} = -15; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[4]{y} = -18, \\ \sqrt[3]{x} + 5\sqrt[4]{y} = 7; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{1}{2}\sqrt[5]{3+x} - \sqrt[5]{y-8} = \frac{1}{2}, \\ -5\sqrt[3]{3+x} + 4\sqrt[5]{y-8} = 1. \end{cases}$

1)

Дано:

$ \begin{cases} \sqrt{x+1} + \sqrt[3]{y} = 6, \\ \sqrt{x+1} + 3\sqrt[3]{y} = 9; \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt{x+1}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Так как по определению арифметического квадратного корня $ \sqrt{x+1} \ge 0 $, то $ a \ge 0 $. Система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 6, \\ a + 3b = 9. \end{cases} $

Вычтем из второго уравнения первое:

$ (a + 3b) - (a + b) = 9 - 6 $

$ 2b = 3 $

$ b = \frac{3}{2} $

Подставим значение $b$ в первое уравнение системы:

$ a + \frac{3}{2} = 6 $

$ a = 6 - \frac{3}{2} = \frac{12}{2} - \frac{3}{2} = \frac{9}{2} $

Мы получили $a = \frac{9}{2}$ и $b = \frac{3}{2}$. Условие $a \ge 0$ выполняется. Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$ \sqrt{x+1} = a = \frac{9}{2} $

Возведем обе части в квадрат:

$ x+1 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 = \frac{81}{4} $

$ x = \frac{81}{4} - 1 = \frac{77}{4} $

$ \sqrt[3]{y} = b = \frac{3}{2} $

Возведем обе части в куб:

$ y = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8} $

Проверим область допустимых значений (ОДЗ): $x+1 \ge 0 \Rightarrow \frac{77}{4}+1 = \frac{81}{4} \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = \frac{77}{4}, y = \frac{27}{8}$.

2)

Дано:

$ \begin{cases} \sqrt[4]{x} \cdot \sqrt{y+2} = 4, \\ \sqrt[4]{x} - 4\sqrt{y+2} = -15; \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \sqrt{y+2}$. По определению арифметического корня, $a \ge 0$ и $b \ge 0$. Система примет вид:

$ \begin{cases} ab = 4, \\ a - 4b = -15. \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $a$:

$ a = 4b - 15 $

Подставим это выражение в первое уравнение:

$ (4b - 15)b = 4 $

$ 4b^2 - 15b - 4 = 0 $

Решим квадратное уравнение относительно $b$:

$ D = (-15)^2 - 4(4)(-4) = 225 + 64 = 289 = 17^2 $

$ b = \frac{15 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 4} = \frac{15 \pm 17}{8} $

Получаем два возможных значения для $b$:

$ b_1 = \frac{15 + 17}{8} = \frac{32}{8} = 4 $

$ b_2 = \frac{15 - 17}{8} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4} $

Так как $b = \sqrt{y+2} \ge 0$, то значение $b_2 = -\frac{1}{4}$ не подходит. Рассмотрим $b = 4$. Найдем соответствующее значение $a$:

$ a = 4b - 15 = 4(4) - 15 = 16 - 15 = 1 $

Значение $a=1$ удовлетворяет условию $a \ge 0$. Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$ \sqrt[4]{x} = a = 1 \implies x = 1^4 = 1 $

$ \sqrt{y+2} = b = 4 \implies y+2 = 4^2 = 16 \implies y = 14 $

Проверим ОДЗ: $x \ge 0$ и $y+2 \ge 0$. $1 \ge 0$ и $14+2=16 \ge 0$. Условия выполняются.

Ответ: $x = 1, y = 14$.

3)

Дано:

$ \begin{cases} 3\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[4]{y} = -18, \\ \sqrt[3]{x} + 5\sqrt[4]{y} = 7; \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$. По определению арифметического корня, $b = \sqrt[4]{y} \ge 0$. Для $a$ ограничений нет. Система примет вид:

$ \begin{cases} 3ab = -18, \\ a + 5b = 7. \end{cases} $

Из первого уравнения $ab = -6$. Из второго уравнения $a = 7 - 5b$. Подставим второе в первое:

$ (7 - 5b)b = -6 $

$ 7b - 5b^2 = -6 $

$ 5b^2 - 7b - 6 = 0 $

Решим квадратное уравнение относительно $b$:

$ D = (-7)^2 - 4(5)(-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2 $

$ b = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{7 \pm 13}{10} $

Получаем два возможных значения для $b$:

$ b_1 = \frac{7 + 13}{10} = \frac{20}{10} = 2 $

$ b_2 = \frac{7 - 13}{10} = \frac{-6}{10} = -\frac{3}{5} $

Так как $b = \sqrt[4]{y} \ge 0$, то значение $b_2 = -\frac{3}{5}$ не подходит. Рассмотрим $b = 2$. Найдем соответствующее значение $a$:

$ a = 7 - 5b = 7 - 5(2) = 7 - 10 = -3 $

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$ \sqrt[3]{x} = a = -3 \implies x = (-3)^3 = -27 $

$ \sqrt[4]{y} = b = 2 \implies y = 2^4 = 16 $

Проверим ОДЗ: $y \ge 0$. $16 \ge 0$. Условие выполняется.

Ответ: $x = -27, y = 16$.

4)

Дано:

$ \begin{cases} \frac{1}{2}\sqrt[5]{3+x} - \sqrt[5]{y-8} = \frac{1}{2}, \\ -5\sqrt[5]{3+x} + 4\sqrt[5]{y-8} = 1. \end{cases} $

Найти:

$x, y$

Решение:

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[5]{3+x}$ и $b = \sqrt[5]{y-8}$. Так как корень пятой степени (нечетной) определен для любых действительных чисел, ограничений на $a$ и $b$ нет. Система примет вид:

$ \begin{cases} \frac{1}{2}a - b = \frac{1}{2}, \\ -5a + 4b = 1. \end{cases} $

Умножим первое уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$ a - 2b = 1 $

Получаем систему:

$ \begin{cases} a - 2b = 1, \\ -5a + 4b = 1. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$: $a = 1 + 2b$. Подставим это выражение во второе уравнение:

$ -5(1 + 2b) + 4b = 1 $

$ -5 - 10b + 4b = 1 $

$ -6b = 6 $

$ b = -1 $

Найдем $a$:

$ a = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1 $

Теперь вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$ \sqrt[5]{3+x} = a = -1 $

Возведем обе части в пятую степень:

$ 3+x = (-1)^5 = -1 \implies x = -4 $

$ \sqrt[5]{y-8} = b = -1 $

Возведем обе части в пятую степень:

$ y-8 = (-1)^5 = -1 \implies y = 7 $

Ответ: $x = -4, y = 7$.