Страница 52 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

114. Упростите:

1) $(1 + \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}) : (1 - \sqrt{\frac{a-b}{a+b}});$

2) $(a-b) \cdot \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} + a-b \left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} - 1\right).$

1)

Решение:

Исходное выражение: $ (1 + \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}) : (1 - \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}) $.

Запишем это выражение в виде дроби:

$ \frac{1 + \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}}{1 - \sqrt{\frac{a-b}{a+b}}} $

Приведем к общему знаменателю в числителе и в знаменателе основной дроби. Для этого представим $ 1 $ как $ \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}} $. Обратите внимание, что $ \sqrt{\frac{a-b}{a+b}} = \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}} $.

Преобразуем числитель:

$ 1 + \sqrt{\frac{a-b}{a+b}} = \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}} + \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}} = \frac{\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}} $

Преобразуем знаменатель:

$ 1 - \sqrt{\frac{a-b}{a+b}} = \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}} - \frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}} = \frac{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}} $

Подставим преобразованные части обратно в дробь и выполним деление:

$ \frac{\frac{\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}}{\frac{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}}} = \frac{\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}} \cdot \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}} = \frac{\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}} $

Теперь избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $ \sqrt{a+b} + \sqrt{a-b} $.

$ \frac{(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b}) \cdot (\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})}{(\sqrt{a+b} - \sqrt{a-b}) \cdot (\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})} = \frac{(\sqrt{a+b} + \sqrt{a-b})^2}{(\sqrt{a+b})^2 - (\sqrt{a-b})^2} $

В числителе используем формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 $, а в знаменателе — формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y) = x^2-y^2 $.

Числитель: $ (\sqrt{a+b})^2 + 2\sqrt{a+b}\sqrt{a-b} + (\sqrt{a-b})^2 = (a+b) + 2\sqrt{(a+b)(a-b)} + (a-b) = 2a + 2\sqrt{a^2-b^2} = 2(a+\sqrt{a^2-b^2}) $.

Знаменатель: $ (a+b) - (a-b) = a+b-a+b = 2b $.

Собираем дробь:

$ \frac{2(a+\sqrt{a^2-b^2})}{2b} = \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b} $

Ответ: $ \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{b} $

2)

Решение:

Исходное выражение: $ ((a-b) \cdot \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} + a-b) (\sqrt{\frac{a+b}{a-b}} - 1) $.

В первом множителе (в больших скобках) вынесем общий множитель $ (a-b) $ за скобки:

$ (a-b) \left( \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} + 1 \right) $

Теперь всё выражение выглядит так:

$ (a-b) \left( \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} + 1 \right) \left( \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} - 1 \right) $

Произведение двух последних скобок представляет собой формулу разности квадратов $ (x+1)(x-1) = x^2-1 $, где $ x = \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} $.

$ \left( \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} + 1 \right) \left( \sqrt{\frac{a+b}{a-b}} - 1 \right) = \left(\sqrt{\frac{a+b}{a-b}}\right)^2 - 1^2 = \frac{a+b}{a-b} - 1 $

Упростим полученное выражение, приведя его к общему знаменателю:

$ \frac{a+b}{a-b} - \frac{a-b}{a-b} = \frac{(a+b) - (a-b)}{a-b} = \frac{a+b-a+b}{a-b} = \frac{2b}{a-b} $

Наконец, умножим результат на множитель $ (a-b) $, который мы вынесли в самом начале:

$ (a-b) \cdot \frac{2b}{a-b} $

Сократим дробь на $ (a-b) $, при условии, что $ a \neq b $ (что необходимо для существования исходного выражения):

$ 2b $

Ответ: $ 2b $