Номер 146, страница 69 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

146. Напишите общий вид первообразных функции $y = f(x):$

1) $f(x) = x^{-1 + \sqrt{5}} + x^{2.5};$

2) $f(x) = -2x^{-53} + \sqrt{x};$

3) $f(x) = x^{3 + \sqrt{2}} + \sqrt[4]{x^3};$

4) $f(x) = 5x^{-\sqrt{6} - 1} - \sqrt[5]{x^2}.$

Общий вид первообразных $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем нахождения неопределенного интеграла $\int f(x)dx$. Для решения используется формула первообразной для степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (где $n \neq -1$) и свойство линейности интеграла, которое позволяет находить первообразную суммы функций как сумму их первообразных. $C$ — произвольная постоянная.

1) $f(x) = x^{-1+\sqrt{5}} + x^{2.5}$

Для нахождения общего вида первообразной $F(x)$ проинтегрируем функцию $f(x)$:

$F(x) = \int (x^{-1+\sqrt{5}} + x^{2.5}) dx = \int x^{-1+\sqrt{5}} dx + \int x^{2.5} dx$

Применяя формулу для степенной функции для каждого слагаемого, получаем:

$F(x) = \frac{x^{-1+\sqrt{5}+1}}{-1+\sqrt{5}+1} + \frac{x^{2.5+1}}{2.5+1} + C = \frac{x^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}} + \frac{x^{3.5}}{3.5} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{x^{\sqrt{5}}}{\sqrt{5}} + \frac{x^{3.5}}{3.5} + C$.

2) $f(x) = -2x^{-53} + \sqrt{x}$

Сначала представим функцию в виде суммы степенных функций: $f(x) = -2x^{-53} + x^{1/2}$.

Теперь находим первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (-2x^{-53} + x^{1/2}) dx = -2 \int x^{-53} dx + \int x^{1/2} dx$

Интегрируем каждое слагаемое:

$F(x) = -2 \cdot \frac{x^{-53+1}}{-53+1} + \frac{x^{1/2+1}}{1/2+1} + C = -2 \cdot \frac{x^{-52}}{-52} + \frac{x^{3/2}}{3/2} + C$

Упростив выражение, получим:

$F(x) = \frac{1}{26}x^{-52} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{1}{26}x^{-52} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

3) $f(x) = x^{3+\sqrt{2}} + \sqrt[4]{x^3}$

Представим функцию в виде суммы степенных функций: $f(x) = x^{3+\sqrt{2}} + x^{3/4}$.

Находим первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (x^{3+\sqrt{2}} + x^{3/4}) dx = \int x^{3+\sqrt{2}} dx + \int x^{3/4} dx$

Интегрируем каждое слагаемое:

$F(x) = \frac{x^{3+\sqrt{2}+1}}{3+\sqrt{2}+1} + \frac{x^{3/4+1}}{3/4+1} + C = \frac{x^{4+\sqrt{2}}}{4+\sqrt{2}} + \frac{x^{7/4}}{7/4} + C$

Упростив второе слагаемое, получим:

$F(x) = \frac{x^{4+\sqrt{2}}}{4+\sqrt{2}} + \frac{4}{7}x^{7/4} + C$

Ответ: $F(x) = \frac{x^{4+\sqrt{2}}}{4+\sqrt{2}} + \frac{4}{7}x^{7/4} + C$.

4) $f(x) = 5x^{-\sqrt{6}-1} - \sqrt[5]{x^2}$

Представим функцию в виде степенных функций: $f(x) = 5x^{-\sqrt{6}-1} - x^{2/5}$.

Находим первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (5x^{-\sqrt{6}-1} - x^{2/5}) dx = 5 \int x^{-\sqrt{6}-1} dx - \int x^{2/5} dx$

Интегрируем каждое слагаемое:

$F(x) = 5 \cdot \frac{x^{-\sqrt{6}-1+1}}{-\sqrt{6}-1+1} - \frac{x^{2/5+1}}{2/5+1} + C = 5 \cdot \frac{x^{-\sqrt{6}}}{-\sqrt{6}} - \frac{x^{7/5}}{7/5} + C$

Упростим выражение и избавимся от иррациональности в знаменателе первого слагаемого:

$F(x) = -\frac{5}{\sqrt{6}}x^{-\sqrt{6}} - \frac{5}{7}x^{7/5} + C = -\frac{5\sqrt{6}}{6}x^{-\sqrt{6}} - \frac{5}{7}x^{7/5} + C$

Ответ: $F(x) = -\frac{5\sqrt{6}}{6}x^{-\sqrt{6}} - \frac{5}{7}x^{7/5} + C$.