Номер 139, страница 68 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

139. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$:

1)

$f(x) = x^{\frac{1}{2}}$, $[1; 4]$;

2)

$f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$, $[1; 8]$;

3)

$f(x) = x^{\frac{2}{3}}$, $[-8; -1]$;

4)

$f(x) = x^{\frac{1}{4}}$, $[1; 16]$;

1) f(x) = x^1/2, [1; 4]

Дано:

Функция $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ на отрезке $[1; 4]$.

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции на отрезке, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. Находим критические точки. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.

Производная $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ никогда не обращается в ноль, так как числитель равен 1.

Производная не существует в точке $x=0$. Однако, эта точка не входит в интервал $(1; 4)$.

Таким образом, на интервале $(1; 4)$ критических точек нет. Это означает, что функция на отрезке $[1; 4]$ является монотонной.

Поскольку $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} > 0$ для всех $x$ из отрезка $[1; 4]$, функция является строго возрастающей на этом отрезке. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[1; 4]$:

При $x=1$: $f(1) = 1^{\frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$.

При $x=4$: $f(4) = 4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.

Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение функции на отрезке равно 1, а наибольшее равно 2.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 1$, наибольшее значение функции $y_{max} = 2$.

2) f(x) = x^-1/3, [1; 8]

Дано:

Функция $f(x) = x^{-\frac{1}{3}}$ на отрезке $[1; 8]$.

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^{-\frac{1}{3}})' = -\frac{1}{3}x^{-\frac{1}{3}-1} = -\frac{1}{3}x^{-\frac{4}{3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$

2. Находим критические точки.

Производная $f'(x) = -\frac{1}{3\sqrt[3]{x^4}}$ не равна нулю ни при каких значениях $x$.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 8]$.

Критических точек внутри интервала $(1; 8)$ нет. Значит, функция монотонна на отрезке.

Так как $x^4 \geq 0$ для любых $x$, то и $\sqrt[3]{x^4} \geq 0$. На отрезке $[1; 8]$ $x \neq 0$, поэтому знаменатель $3\sqrt[3]{x^4}$ положителен. Следовательно, $f'(x) < 0$ на всем отрезке. Это означает, что функция является строго убывающей. Поэтому наибольшее значение она принимает в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[1; 8]$:

При $x=1$: $f(1) = 1^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{1}} = 1$.

При $x=8$: $f(8) = 8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2}$.

Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение функции равно $1/2$, а наибольшее равно 1.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = \frac{1}{2}$, наибольшее значение функции $y_{max} = 1$.

3) f(x) = x^2/3, [-8; -1]

Дано:

Функция $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ на отрезке $[-8; -1]$.

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^{\frac{2}{3}})' = \frac{2}{3}x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

2. Находим критические точки.

Производная $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ не равна нулю ни при каких значениях $x$.

Производная не существует при $x=0$. Точка $x=0$ не принадлежит отрезку $[-8; -1]$.

Критических точек внутри интервала $(-8; -1)$ нет. Значит, функция монотонна на отрезке.

Для любого $x$ из отрезка $[-8; -1]$, $x$ является отрицательным числом. Следовательно, $\sqrt[3]{x}$ также отрицателен. Тогда $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} < 0$. Это означает, что функция является строго убывающей на данном отрезке. Поэтому наибольшее значение она принимает в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[-8; -1]$:

При $x=-8$: $f(-8) = (-8)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-8})^2 = (-2)^2 = 4$.

При $x=-1$: $f(-1) = (-1)^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{-1})^2 = (-1)^2 = 1$.

Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение функции равно 1, а наибольшее равно 4.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 1$, наибольшее значение функции $y_{max} = 4$.

4) f(x) = x^1/4, [1; 16]

Дано:

Функция $f(x) = x^{\frac{1}{4}}$ на отрезке $[1; 16]$.

Найти:

Наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке.

Решение:

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$

2. Находим критические точки.

Производная $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$ не равна нулю ни при каких значениях $x$.

Производная не существует при $x=0$, но эта точка не принадлежит отрезку $[1; 16]$.

Критических точек внутри интервала $(1; 16)$ нет. Значит, функция монотонна на отрезке.

На отрезке $[1; 16]$ значение $x > 0$, следовательно $\sqrt[4]{x^3} > 0$. Тогда $f'(x) = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}} > 0$. Это означает, что функция является строго возрастающей на данном отрезке. Поэтому наименьшее значение она принимает в левой границе отрезка, а наибольшее — в правой.

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка $[1; 16]$:

При $x=1$: $f(1) = 1^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{1} = 1$.

При $x=16$: $f(16) = 16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = 2$.

Сравнивая эти значения, получаем, что наименьшее значение функции равно 1, а наибольшее равно 2.

Ответ: наименьшее значение функции $y_{min} = 1$, наибольшее значение функции $y_{max} = 2$.