Номер 133, страница 63 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

133.1) $f(x) = \frac{2}{(x-1)^2} + 4;$

2) $f(x) = - \frac{3}{(x+2)^3} + 1,5;$

3) $f(x) = (x+1)^{\frac{3}{4}} - 2,5;$

4) $f(x) = (x+1)^{-\frac{3}{4}} + 3,5.$

Поскольку в задании не указано, что именно нужно сделать с функциями, наиболее вероятной задачей является нахождение области определения для каждой из них.

1) $f(x) = \frac{2}{(x-1)^2} + 4$

Решение:
Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. В данном случае функция представляет собой дробь, знаменатель которой не должен быть равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль:
$(x-1)^2 = 0$
$x-1 = 0$
$x = 1$
Таким образом, $x=1$ является недопустимым значением. Область определения функции — это все действительные числа, кроме 1.
Ответ: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

2) $f(x) = -\frac{3}{(x+2)^3} + 1,5$

Решение:
Аналогично первому случаю, функция содержит дробь, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$(x+2)^3 = 0$
$x+2 = 0$
$x = -2$
Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, за исключением $x=-2$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

3) $f(x) = (x+1)^{\frac{3}{4}} - 2,5$

Решение:
Данная функция является степенной с дробным показателем $3/4$. Функцию можно записать в виде $f(x) = \sqrt[4]{(x+1)^3} - 2,5$.
Поскольку в знаменателе показателя степени стоит четное число (4), это означает наличие корня четной степени. Выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательным.
$x+1 \ge 0$
$x \ge -1$
Область определения функции — все числа, большие или равные $-1$.
Ответ: $D(f) = [-1; +\infty)$.

4) $f(x) = (x+1)^{-\frac{3}{4}} + 3,5$

Решение:
В этой функции степенной показатель является отрицательным и дробным. Отрицательная степень $a^{-n}$ эквивалентна $\frac{1}{a^n}$.
$f(x) = \frac{1}{(x+1)^{\frac{3}{4}}} + 3,5 = \frac{1}{\sqrt[4]{(x+1)^3}} + 3,5$
Здесь возникают два ограничения:
1. Выражение под корнем четной степени (четвертой) должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю: $(x+1)^{\frac{3}{4}} \ne 0 \implies x+1 \ne 0 \implies x \ne -1$.
Объединяя оба условия ($x \ge -1$ и $x \ne -1$), получаем, что $x$ должен быть строго больше $-1$.
$x > -1$
Таким образом, область определения функции — это все числа, строго большие $-1$.
Ответ: $D(f) = (-1; +\infty)$.