Номер 136, страница 67 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите производную функции $y = f(x)$ (136—137):

136.1) $f(x) = x^{\frac{5}{6}}$; 2) $f(x) = x^{-\frac{3}{7}}$; 3) $f(x) = x^{\sqrt{5}}$; 4) $f(x) = x^{-1+\sqrt{3}}$.

Для нахождения производной во всех случаях используется формула производной степенной функции: $(x^p)' = p \cdot x^{p-1}$, где $p$ - любое действительное число.

1)

Дано:

$f(x) = x^{\frac{5}{6}}$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Используем формулу производной степенной функции, где показатель степени $p = \frac{5}{6}$.

$f'(x) = (x^{\frac{5}{6}})' = \frac{5}{6} \cdot x^{\frac{5}{6} - 1}$

Вычислим новый показатель степени:

$\frac{5}{6} - 1 = \frac{5}{6} - \frac{6}{6} = -\frac{1}{6}$

Следовательно, производная функции равна:

$f'(x) = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$

Ответ: $f'(x) = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$.

2)

Дано:

$f(x) = x^{-\frac{3}{7}}$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Используем формулу производной степенной функции, где показатель степени $p = -\frac{3}{7}$.

$f'(x) = (x^{-\frac{3}{7}})' = -\frac{3}{7} \cdot x^{-\frac{3}{7} - 1}$

Вычислим новый показатель степени:

$-\frac{3}{7} - 1 = -\frac{3}{7} - \frac{7}{7} = -\frac{10}{7}$

Следовательно, производная функции равна:

$f'(x) = -\frac{3}{7}x^{-\frac{10}{7}}$

Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{7}x^{-\frac{10}{7}}$.

3)

Дано:

$f(x) = x^{\sqrt{5}}$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Используем формулу производной степенной функции, где показатель степени $p = \sqrt{5}$.

$f'(x) = (x^{\sqrt{5}})' = \sqrt{5} \cdot x^{\sqrt{5} - 1}$

Выражение является окончательным.

Ответ: $f'(x) = \sqrt{5}x^{\sqrt{5}-1}$.

4)

Дано:

$f(x) = x^{-1+\sqrt{3}}$

Найти:

$f'(x)$

Решение:

Используем формулу производной степенной функции, где показатель степени $p = -1+\sqrt{3}$.

$f'(x) = (x^{-1+\sqrt{3}})' = (-1+\sqrt{3}) \cdot x^{(-1+\sqrt{3}) - 1}$

Вычислим новый показатель степени:

$(-1+\sqrt{3}) - 1 = \sqrt{3} - 2$

Следовательно, производная функции равна:

$f'(x) = (\sqrt{3}-1)x^{\sqrt{3}-2}$

Ответ: $f'(x) = (\sqrt{3}-1)x^{\sqrt{3}-2}$.