Номер 159, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

159.Используя простейшие преобразования к графику функции $y = a^x$, постройте график функции $y = g(x)$:

1) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$;

2) $g(x) = 4^x + 3$;

3) $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$;

4) $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4.$

1) $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$

Для построения графика функции $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$ выполним преобразования графика базовой функции $y = a^x$.

1. В качестве базовой функции возьмем $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$. Так как основание $a = \frac{1}{2}$ находится в пределах $0 < a < 1$, функция является убывающей. Ее график проходит через точку $(0, 1)$, а ось абсцисс ($y=0$) служит горизонтальной асимптотой.

2. График функции $g(x)$ получается из графика базовой функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ путем сдвига (параллельного переноса) на 2 единицы вниз вдоль оси ординат. При этом каждая точка графика $(x, y)$ переходит в точку $(x, y-2)$. Например, точка $(0, 1)$ переходит в $(0, -1)$, а точка $(-1, 2)$ — в $(-1, 0)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается на 2 единицы вниз и становится прямой $y=-2$.

На рисунке ниже график базовой функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ показан синей пунктирной линией, а искомый график $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$ — красной сплошной линией. Серой пунктирной линией показана новая горизонтальная асимптота.

Ответ: График функции $g(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$ получается из графика функции $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x$ путем параллельного переноса на 2 единицы вниз. График представлен на рисунке выше.

2) $g(x) = 4^x + 3$

Для построения графика функции $g(x) = 4^x + 3$ выполним преобразования графика базовой функции $y = a^x$.

1. В качестве базовой функции возьмем $y = 4^x$. Так как основание $a = 4 > 1$, функция является возрастающей. Ее график проходит через точку $(0, 1)$, а ось абсцисс ($y=0$) служит горизонтальной асимптотой.

2. График функции $g(x)$ получается из графика базовой функции $y = 4^x$ путем сдвига на 3 единицы вверх вдоль оси ординат. Каждая точка графика $(x, y)$ переходит в точку $(x, y+3)$. Например, точка $(0, 1)$ переходит в $(0, 4)$, а точка $(1, 4)$ — в $(1, 7)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ также смещается на 3 единицы вверх и становится прямой $y=3$.

На рисунке ниже график базовой функции $y = 4^x$ показан синей пунктирной линией, а искомый график $g(x) = 4^x + 3$ — красной сплошной линией. Серой пунктирной линией показана новая горизонтальная асимптота.

Ответ: График функции $g(x) = 4^x + 3$ получается из графика функции $y = 4^x$ путем параллельного переноса на 3 единицы вверх. График представлен на рисунке выше.

3) $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$

Для построения графика функции $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$ выполним преобразования графика базовой функции $y = a^x$.

1. В качестве базовой функции возьмем $y = (2,5)^x$. Так как основание $a = 2,5 > 1$, функция является возрастающей. Ее график проходит через точку $(0, 1)$, а ось абсцисс ($y=0$) служит горизонтальной асимптотой.

2. График функции $g(x)$ получается из графика базовой функции $y = (2,5)^x$ в два этапа:

а) Сдвиг на 1 единицу вправо вдоль оси абсцисс. Это преобразование соответствует замене $x$ на $x-1$ и дает нам график промежуточной функции $y = (2,5)^{x-1}$.

б) Сдвиг полученного графика на 2 единицы вверх вдоль оси ординат. Это преобразование соответствует добавлению 2 к функции.

В результате этих двух преобразований каждая точка $(x, y)$ базового графика переходит в точку $(x+1, y+2)$. Например, точка $(0, 1)$ переходит в $(1, 3)$, а точка $(1, 2.5)$ — в $(2, 4.5)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 2 единицы вверх и становится прямой $y=2$.

На рисунке ниже график базовой функции $y = (2,5)^x$ показан синей пунктирной линией, а искомый график $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$ — красной сплошной линией. Серой пунктирной линией показана новая горизонтальная асимптота.

Ответ: График функции $g(x) = (2,5)^{x-1} + 2$ получается из графика функции $y = (2,5)^x$ путем параллельного переноса на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх. График представлен на рисунке выше.

4) $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$

Для построения графика функции $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$ выполним преобразования графика базовой функции $y = a^x$.

1. В качестве базовой функции возьмем $y = (2,25)^x$. Так как основание $a = 2,25 > 1$, функция является возрастающей. Ее график проходит через точку $(0, 1)$, а ось абсцисс ($y=0$) служит горизонтальной асимптотой.

2. График функции $g(x)$ получается из графика базовой функции $y = (2,25)^x$ в два этапа:

а) Сдвиг на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс. Это преобразование соответствует замене $x$ на $x+3$ и дает нам график промежуточной функции $y = (2,25)^{x+3}$.

б) Сдвиг полученного графика на 4 единицы вниз вдоль оси ординат. Это преобразование соответствует вычитанию 4 из функции.

В результате этих двух преобразований каждая точка $(x, y)$ базового графика переходит в точку $(x-3, y-4)$. Например, точка $(0, 1)$ переходит в $(-3, -3)$, а точка $(1, 2.25)$ — в $(-2, -1.75)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ смещается на 4 единицы вниз и становится прямой $y=-4$.

На рисунке ниже график базовой функции $y = (2,25)^x$ показан синей пунктирной линией, а искомый график $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$ — красной сплошной линией. Серой пунктирной линией показана новая горизонтальная асимптота.

Ответ: График функции $g(x) = (2,25)^{x+3} - 4$ получается из графика функции $y = (2,25)^x$ путем параллельного переноса на 3 единицы влево и на 4 единицы вниз. График представлен на рисунке выше.