Вопросы, страница 85 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Существует ли логарифм отрицательного числа? Ответ обоснуйте.

2. В каких случаях применяется свойство перехода к новому основанию?

3. Учитывается ли основание логарифма при потенцировании? Ответ обоснуйте.

1. В области действительных чисел логарифм отрицательного числа не существует. Это следует непосредственно из определения логарифма.

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется такое число $c$, что при возведении основания $a$ в степень $c$ получается число $b$. Математически это записывается так: $c = \log_a b \Leftrightarrow a^c = b$.

По определению, основание логарифма $a$ должно быть положительным и не равным единице ($a > 0, a \neq 1$). Когда положительное число $a$ возводится в любую действительную степень $c$, результат $a^c$ всегда будет положительным числом. Следовательно, число $b$, стоящее под знаком логарифма (аргумент логарифма), также должно быть строго положительным ($b > 0$).

Таким образом, не существует такого действительного числа $c$, которое было бы логарифмом отрицательного числа, так как равенство $a^c = b$ не может быть выполнено для положительного $a$ и отрицательного $b$.

Ответ: Нет, в области действительных чисел логарифм отрицательного числа не существует, так как по определению основание логарифма — положительное число, а любое положительное число в любой действительной степени также является положительным числом.

2. Свойство перехода к новому основанию, выраженное формулой $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ (где $c$ — новое основание, $c > 0, c \neq 1$), применяется в нескольких ключевых случаях:

1. Для вычислений на калькуляторе. Большинство инженерных калькуляторов имеют клавиши только для натурального логарифма (по основанию $e$, обозначается $\ln$) и десятичного логарифма (по основанию 10, обозначается $\lg$ или $\log$). Чтобы вычислить логарифм по другому основанию, например $\log_5 125$, его нужно привести к основанию $e$ или 10. Например: $\log_5 125 = \frac{\ln 125}{\ln 5}$ или $\log_5 125 = \frac{\lg 125}{\lg 5}$.

2. Для упрощения логарифмических выражений. Если в выражении содержатся логарифмы с разными основаниями, их приведение к одному основанию часто позволяет значительно упростить выражение. Например, для вычисления $\log_2 3 \cdot \log_3 16$:$\log_2 3 \cdot \log_3 16 = \log_2 3 \cdot \frac{\log_2 16}{\log_2 3} = \log_2 16 = 4$.

3. Для решения логарифмических уравнений и неравенств. Если в уравнении или неравенстве есть логарифмы с разными основаниями, их необходимо привести к одному основанию, чтобы можно было применить свойства логарифмов и решить задачу. Например, в уравнении $\log_3 x + \log_9 x = 6$ можно перейти к основанию 3:$\log_3 x + \frac{\log_3 x}{\log_3 9} = 6 \Rightarrow \log_3 x + \frac{\log_3 x}{2} = 6 \Rightarrow \frac{3}{2}\log_3 x = 6 \Rightarrow \log_3 x = 4 \Rightarrow x=81$.

Ответ: Свойство перехода к новому основанию применяется для вычисления значений логарифмов на калькуляторе, для упрощения выражений, содержащих логарифмы с разными основаниями, а также для решения логарифмических уравнений и неравенств.

3. Да, основание логарифма обязательно учитывается при потенцировании.

Потенцирование — это операция, обратная логарифмированию. Она заключается в нахождении числа по известному значению его логарифма. Если дано логарифмическое равенство $\log_a b = c$, то операция потенцирования — это нахождение числа $b$.

Исходя из определения логарифма, равенство $\log_a b = c$ эквивалентно равенству $b = a^c$. Как видно из этой формулы, для нахождения числа $b$ необходимо знать не только значение логарифма $c$, но и его основание $a$. Значение $b$ напрямую зависит от основания $a$.

Рассмотрим пример. Пусть известно, что логарифм некоторого числа $x$ равен 2:

• Если это десятичный логарифм ($\log_{10} x = 2$), то $x = 10^2 = 100$.
• Если это натуральный логарифм ($\ln x = 2$), то $x = e^2 \approx 7.389$.
• Если это логарифм по основанию 2 ($\log_2 x = 2$), то $x = 2^2 = 4$.

Как показывают примеры, результат потенцирования кардинально меняется в зависимости от основания логарифма.

Ответ: Да, основание логарифма обязательно учитывается при потенцировании, поскольку эта операция заключается в возведении основания логарифма в степень, равную значению логарифма ($b = a^c$), и результат напрямую зависит от значения основания $a$.