Номер 162, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

162. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

$y = g(x):$

1) $g(x) = 3^{\cos x};$

2) $g(x) = 2^{\sin x};$

3) $g(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^{2 \sin x};$

4) $g(x) = 4 - 16^{\frac{1}{2}\cos x};$

1) g(x) = 3^{cos x}

Решение: Функция $g(x) = 3^{\cos x}$ является показательной функцией с основанием $a=3$, которое больше 1. Такая функция является возрастающей. Это означает, что ее наибольшее значение достигается при наибольшем значении показателя, а наименьшее — при наименьшем значении показателя. Показателем является функция $\cos x$. Область значений функции косинуса — отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, наименьшее значение показателя равно $-1$, а наибольшее равно $1$. Наибольшее значение функции $g(x)$ будет при $\cos x = 1$: $g_{наиб} = 3^1 = 3$. Наименьшее значение функции $g(x)$ будет при $\cos x = -1$: $g_{наим} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$. Ответ: Наибольшее значение: $3$, наименьшее значение: $\frac{1}{3}$.

2) g(x) = 2^{sin x}

Решение: Функция $g(x) = 2^{\sin x}$ является показательной функцией с основанием $a=2 > 1$, поэтому она возрастающая. Ее наибольшее и наименьшее значения достигаются при наибольшем и наименьшем значениях показателя $\sin x$ соответственно. Область значений функции $\sin x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Наибольшее значение показателя равно $1$. Наименьшее значение показателя равно $-1$. Таким образом, наибольшее значение функции $g(x)$ равно: $g_{наиб} = 2^1 = 2$. Наименьшее значение функции $g(x)$ равно: $g_{наим} = 2^{-1} = \frac{1}{2}$. Ответ: Наибольшее значение: $2$, наименьшее значение: $\frac{1}{2}$.

3) g(x) = (1/8)^{2 sin x}

Решение: Функция $g(x) = \left(\frac{1}{8}\right)^{2 \sin x}$ является показательной функцией с основанием $a = \frac{1}{8}$. Так как $0 < a < 1$, функция является убывающей. Это означает, что наибольшее значение функции достигается при наименьшем значении показателя, а наименьшее значение функции — при наибольшем значении показателя. Показатель степени равен $2 \sin x$. Поскольку область значений $\sin x$ есть $[-1, 1]$, то область значений показателя $2 \sin x$ есть $[2 \cdot (-1), 2 \cdot 1]$, то есть $[-2, 2]$. Наименьшее значение показателя равно $-2$. Наибольшее значение показателя равно $2$. Следовательно, наибольшее значение функции $g(x)$ (при показателе $-2$): $g_{наиб} = \left(\frac{1}{8}\right)^{-2} = (8^{-1})^{-2} = 8^2 = 64$. Наименьшее значение функции $g(x)$ (при показателе $2$): $g_{наим} = \left(\frac{1}{8}\right)^{2} = \frac{1}{64}$. Ответ: Наибольшее значение: $64$, наименьшее значение: $\frac{1}{64}$.

4) g(x) = 4 - 16^{(1/2)cos x}

Решение: Сначала преобразуем функцию $g(x) = 4 - 16^{\frac{1}{2}\cos x}$. Упростим показательное выражение: $16^{\frac{1}{2}\cos x} = (4^2)^{\frac{1}{2}\cos x} = 4^{2 \cdot \frac{1}{2}\cos x} = 4^{\cos x}$. Таким образом, функция имеет вид $g(x) = 4 - 4^{\cos x}$. Найдем область значений выражения $h(x) = 4^{\cos x}$. Это показательная функция с основанием $a=4 > 1$, которая является возрастающей. Область значений показателя $\cos x$ — это отрезок $[-1, 1]$. Наименьшее значение $h(x)$ достигается при $\cos x = -1$ и равно $4^{-1} = \frac{1}{4}$. Наибольшее значение $h(x)$ достигается при $\cos x = 1$ и равно $4^1 = 4$. Значит, область значений $h(x)$ есть $[\frac{1}{4}, 4]$. Теперь найдем наибольшее и наименьшее значения исходной функции $g(x) = 4 - h(x)$. Наибольшее значение $g(x)$ достигается, когда вычитаемое $h(x)$ минимально: $g_{наиб} = 4 - \min(h(x)) = 4 - \frac{1}{4} = \frac{16-1}{4} = \frac{15}{4}$. Наименьшее значение $g(x)$ достигается, когда вычитаемое $h(x)$ максимально: $g_{наим} = 4 - \max(h(x)) = 4 - 4 = 0$. Ответ: Наибольшее значение: $\frac{15}{4}$, наименьшее значение: $0$.