Номер 160, страница 80 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

160. Найдите множество значений функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = 4^x - 5,6$;

2) $f(x) = (0,35)^x + 3$;

3) $f(x) = \left(\frac{2}{5}\right)^{x+1} - 1$;

4) $f(x) = 1 - 3^x$.

1) $f(x) = 4^x - 5,6$

Решение:

Множество значений показательной функции $y = a^x$ при $a > 0$ и $a \ne 1$ является интервалом $(0; +\infty)$.

Для функции $g(x) = 4^x$ (основание $a=4 > 1$) множество значений $E(g) = (0; +\infty)$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ справедливо неравенство:

$4^x > 0$

Функция $f(x) = 4^x - 5,6$ получается из функции $g(x) = 4^x$ путем сдвига графика вниз по оси Oy на 5,6 единиц. Чтобы найти новое множество значений, вычтем 5,6 из обеих частей неравенства:

$4^x - 5,6 > 0 - 5,6$

$f(x) > -5,6$

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие -5,6.

Ответ: $E(f) = (-5,6; +\infty)$.

2) $f(x) = (0,35)^x + 3$

Решение:

Рассмотрим показательную функцию $g(x) = (0,35)^x$. Основание $a=0,35$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Множество значений этой функции также является интервалом $(0; +\infty)$. Таким образом, для любого действительного $x$:

$(0,35)^x > 0$

Функция $f(x) = (0,35)^x + 3$ получается из функции $g(x)$ путем сдвига графика вверх по оси Oy на 3 единицы. Чтобы найти новое множество значений, прибавим 3 к обеим частям неравенства:

$(0,35)^x + 3 > 0 + 3$

$f(x) > 3$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие 3.

Ответ: $E(f) = (3; +\infty)$.

3) $f(x) = (\frac{2}{5})^{x+1} - 1$

Решение:

Рассмотрим функцию $g(x) = (\frac{2}{5})^{x+1}$. Она является показательной функцией с основанием $a = \frac{2}{5} = 0,4$. Горизонтальный сдвиг на 1 единицу влево (замена $x$ на $x+1$) не влияет на множество значений функции. Множество значений для любой показательной функции вида $y=a^z$ (где $a>0, a \ne 1$) есть $(0; +\infty)$.

Следовательно, для любого действительного $x$ выполняется неравенство:

$(\frac{2}{5})^{x+1} > 0$

Функция $f(x)$ получается из функции $g(x)$ путем сдвига графика вниз по оси Oy на 1 единицу. Вычтем 1 из обеих частей неравенства:

$(\frac{2}{5})^{x+1} - 1 > 0 - 1$

$f(x) > -1$

Таким образом, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго большие -1.

Ответ: $E(f) = (-1; +\infty)$.

4) $f(x) = 1 - 3^x$

Решение:

Перепишем функцию в виде $f(x) = -3^x + 1$.

Рассмотрим базовую показательную функцию $g(x) = 3^x$. Ее множество значений $E(g) = (0; +\infty)$.

$3^x > 0$

Теперь рассмотрим функцию $h(x) = -3^x$. Ее график получается из графика $g(x)$ путем симметричного отражения относительно оси Ox. Чтобы найти ее множество значений, умножим неравенство на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$-3^x < 0$

Множество значений функции $h(x)$ есть $(-\infty; 0)$.

Наконец, функция $f(x) = -3^x + 1$ получается из $h(x)$ сдвигом графика вверх по оси Oy на 1 единицу. Прибавим 1 к обеим частям последнего неравенства:

$-3^x + 1 < 0 + 1$

$f(x) < 1$

Следовательно, множество значений функции $f(x)$ — это все числа, строго меньшие 1.

Ответ: $E(f) = (-\infty; 1)$.