Номер 161, страница 81 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

161. Сравните:

1) $((\sqrt{3})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ и $3^{1,5}$,

2) $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}}$ и $6^{-2,25}$,

3) $(7 - 4\sqrt{3})^{-3,5}$ и $(7 - 4\sqrt{3})^{3,5}$;

4) $(5+2\sqrt{6})^{3,3}$ и $(5+2\sqrt{6})^{-3,1}$.

1)Дано: Два числа $((\sqrt{3})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}$ и $3^{1.5}$. Найти: Сравнить данные числа. Решение: Упростим первое выражение, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Получаем: $((\sqrt{3})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} = (\sqrt{3})^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = (\sqrt{3})^2 = 3$. Теперь необходимо сравнить $3^1$ и $3^{1.5}$. Так как основание степени $3$ больше $1$, показательная функция $y = 3^x$ является возрастающей. Сравнивая показатели степеней, видим, что $1 < 1.5$. Следовательно, $3^1 < 3^{1.5}$. Ответ: $((\sqrt{3})^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}} < 3^{1.5}$.

2)Дано: Два числа $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}}$ и $6^{-2.25}$. Найти: Сравнить данные числа. Решение: Приведем оба выражения к одному основанию $6$. Первое выражение: $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}} = (6^{-1})^{\sqrt{5}} = 6^{-\sqrt{5}}$. Второе выражение: $6^{-2.25}$. Теперь сравним $6^{-\sqrt{5}}$ и $6^{-2.25}$. Так как основание степени $6$ больше $1$, показательная функция $y = 6^x$ является возрастающей. Сравним показатели степеней: $-\sqrt{5}$ и $-2.25$. Для этого сначала сравним положительные значения $\sqrt{5}$ и $2.25$. Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{5})^2 = 5$; $(2.25)^2 = (\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16} = 5.0625$. Так как $5 < 5.0625$, то $\sqrt{5} < 2.25$. Умножив неравенство на $-1$, получим $-\sqrt{5} > -2.25$. Поскольку основание $6 > 1$ и показатель $-\sqrt{5}$ больше, чем $-2.25$, то $6^{-\sqrt{5}} > 6^{-2.25}$. Ответ: $(\frac{1}{6})^{\sqrt{5}} > 6^{-2.25}$.

3)Дано: Два числа $(7 - 4\sqrt{3})^{-3.5}$ и $(7 - 4\sqrt{3})^{3.5}$. Найти: Сравнить данные числа. Решение: Обозначим основание степени $a = 7 - 4\sqrt{3}$. Нам нужно сравнить $a^{-3.5}$ и $a^{3.5}$. Сначала определим, является ли основание $a$ больше $1$ или находится в интервале $(0, 1)$. Сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Возведем оба положительных числа в квадрат: $7^2 = 49$; $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, следовательно, $a = 7 - 4\sqrt{3} > 0$. Теперь сравним $a$ с $1$. Неравенство $7 - 4\sqrt{3} < 1$ равносильно $6 < 4\sqrt{3}$, или $3 < 2\sqrt{3}$. Возведем в квадрат: $3^2 = 9$; $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$. Так как $9 < 12$, то $3 < 2\sqrt{3}$, значит, $7 - 4\sqrt{3} < 1$. Таким образом, $0 < a < 1$. Для основания $a \in (0, 1)$ показательная функция $y = a^x$ является убывающей. Это означает, что большему показателю степени соответствует меньшее значение функции. Сравним показатели: $-3.5$ и $3.5$. Так как $-3.5 < 3.5$, то для убывающей функции $a^{-3.5} > a^{3.5}$. Ответ: $(7 - 4\sqrt{3})^{-3.5} > (7 - 4\sqrt{3})^{3.5}$.

4)Дано: Два числа $(5 + 2\sqrt{6})^{3.3}$ и $(5 + 2\sqrt{6})^{-3.1}$. Найти: Сравнить данные числа. Решение: Обозначим основание степени $a = 5 + 2\sqrt{6}$. Нам нужно сравнить $a^{3.3}$ и $a^{-3.1}$. Очевидно, что $5 > 0$ и $2\sqrt{6} > 0$, поэтому их сумма $a = 5 + 2\sqrt{6} > 5$. Следовательно, основание $a > 1$. Для основания $a > 1$ показательная функция $y = a^x$ является возрастающей. Это означает, что большему показателю степени соответствует большее значение функции. Сравним показатели степеней: $3.3$ и $-3.1$. Так как $3.3 > -3.1$, то для возрастающей функции $a^{3.3} > a^{-3.1}$. Ответ: $(5 + 2\sqrt{6})^{3.3} > (5 + 2\sqrt{6})^{-3.1}$.