Номер 170, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

170.1) $\log_{\sqrt{2}} 16 = 8;$

2) $\log_{\sqrt{3}} 9 = 4;$

3) $\log_{3} 243 = 5;$

4) $\lg 0,1 = -1.$

1) $\log_{\sqrt{2}} 16 = 8$

Решение

По определению логарифма, равенство $\log_a b = c$ эквивалентно равенству $a^c = b$.

Применим это определение к данному выражению. Основание логарифма $a = \sqrt{2}$, значение логарифма $c = 8$, а число под знаком логарифма $b = 16$.

Проверим, выполняется ли равенство $(\sqrt{2})^8 = 16$.

Представим $\sqrt{2}$ как $2$ в степени $1/2$: $\sqrt{2} = 2^{1/2}$.

Тогда $(\sqrt{2})^8 = (2^{1/2})^8$.

Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, получаем: $2^{(1/2) \cdot 8} = 2^4$.

Вычисляем $2^4 = 16$.

Так как $16 = 16$, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство верное.

2) $\log_{\sqrt{3}} 9 = 4$

Решение

Используем определение логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

В данном случае $a = \sqrt{3}$, $c = 4$, $b = 9$.

Проверим равенство $(\sqrt{3})^4 = 9$.

Представим $\sqrt{3}$ как $3^{1/2}$.

Тогда $(\sqrt{3})^4 = (3^{1/2})^4 = 3^{(1/2) \cdot 4} = 3^2$.

Вычисляем $3^2 = 9$.

Так как $9 = 9$, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство верное.

3) $\log_3 243 = 5$

Решение

Используем определение логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

Здесь $a = 3$, $c = 5$, $b = 243$.

Проверим равенство $3^5 = 243$.

Вычисляем $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.

Так как $243 = 243$, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство верное.

4) $\lg 0,1 = -1$

Решение

Обозначение $\lg$ означает десятичный логарифм, то есть логарифм по основанию 10: $\lg x = \log_{10} x$.

Таким образом, данное равенство можно переписать как $\log_{10} 0,1 = -1$.

Используем определение логарифма: $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$.

В этом случае $a = 10$, $c = -1$, $b = 0,1$.

Проверим равенство $10^{-1} = 0,1$.

По определению степени с отрицательным показателем, $x^{-n} = 1/x^n$.

Следовательно, $10^{-1} = \frac{1}{10^1} = \frac{1}{10} = 0,1$.

Так как $0,1 = 0,1$, исходное равенство верно.

Ответ: Равенство верное.