Номер 174, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Вычислите (174—177):

174. 1) $ \log_{12} 3 + \log_{12} 4; $

2) $ \log_7 98 - \log_7 2; $

3) $ \log_2 5 - \log_2 35 + \log_2 56; $

4) $ \log_{\frac{1}{3}} 5 - \log_{\frac{1}{3}} 405 + \log_{\frac{1}{3}} 9. $

1)

Дано:
$log_{12} 3 + log_{12} 4$

Найти:
Значение выражения.

Решение:
Для решения используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b + log_a c = log_a (b \cdot c)$.
Применим это свойство к данному выражению:
$log_{12} 3 + log_{12} 4 = log_{12} (3 \cdot 4) = log_{12} 12$.
По определению логарифма, логарифм числа по основанию, равному этому числу, равен единице: $log_a a = 1$.
Следовательно, $log_{12} 12 = 1$.
Ответ: 1

2)

Дано:
$log_7 98 - log_7 2$

Найти:
Значение выражения.

Решение:
Для решения используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b - log_a c = log_a (b / c)$.
Применим это свойство к данному выражению:
$log_7 98 - log_7 2 = log_7 (98 / 2) = log_7 49$.
Теперь вычислим значение логарифма. Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 7, чтобы получить 49. Так как $7^2 = 49$, то $log_7 49 = 2$.
Ответ: 2

3)

Дано:
$log_2 5 - log_2 35 + log_2 56$

Найти:
Значение выражения.

Решение:
Для решения используем свойства суммы и разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b - log_a c + log_a d = log_a ((b \cdot d) / c)$.
Применим эти свойства к данному выражению:
$log_2 5 - log_2 35 + log_2 56 = log_2 \frac{5 \cdot 56}{35}$.
Упростим выражение под знаком логарифма:
$\frac{5 \cdot 56}{35} = \frac{5 \cdot 56}{5 \cdot 7} = \frac{56}{7} = 8$.
Получаем $log_2 8$.
Теперь вычислим значение логарифма. Нам нужно найти степень, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 8. Так как $2^3 = 8$, то $log_2 8 = 3$.
Ответ: 3

4)

Дано:
$log_{1/3} 5 - log_{1/3} 405 + log_{1/3} 9$

Найти:
Значение выражения.

Решение:
Для решения используем свойства суммы и разности логарифмов с одинаковым основанием: $log_a b - log_a c + log_a d = log_a ((b \cdot d) / c)$.
Применим эти свойства к данному выражению:
$log_{1/3} 5 - log_{1/3} 405 + log_{1/3} 9 = log_{1/3} \frac{5 \cdot 9}{405}$.
Упростим выражение под знаком логарифма:
$\frac{5 \cdot 9}{405} = \frac{45}{405}$.
Разделим числитель и знаменатель на 45: $405 \div 45 = 9$. Таким образом, $\frac{45}{405} = \frac{1}{9}$.
Получаем $log_{1/3} (\frac{1}{9})$.
Теперь вычислим значение логарифма. Нам нужно найти степень $x$, в которую нужно возвести основание $\frac{1}{3}$, чтобы получить $\frac{1}{9}$.
Уравнение имеет вид: $(\frac{1}{3})^x = \frac{1}{9}$.
Так как $(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$, то $x = 2$.
Следовательно, $log_{1/3} (\frac{1}{9}) = 2$.
Ответ: 2