Номер 172, страница 86 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

Найдите логарифмы данных чисел по основанию a (172–173):

172.1) $5$; $\frac{1}{5}$; $\sqrt{5}$, $a=5$;

2) $64$; $\frac{1}{8}$; $128$, $a=2$;

3) $7$; $\frac{1}{7}$; $49$, $a=7$;

4) $4$; $\frac{1}{16}$; $\frac{1}{64}$, $a=2$.

1)

Дано: Числа $5; \frac{1}{5}; \sqrt{5}$ и основание логарифма $a = 5$.

Найти: $\log_5 5$, $\log_5 \frac{1}{5}$, $\log_5 \sqrt{5}$.

Решение:

По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$ есть показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $\log_a b = x \iff a^x = b$.

1. Найдем $\log_5 5$.
Пусть $\log_5 5 = x$. Тогда по определению $5^x = 5$. Отсюда $x=1$.
Следовательно, $\log_5 5 = 1$.

2. Найдем $\log_5 \frac{1}{5}$.
Пусть $\log_5 \frac{1}{5} = y$. Тогда по определению $5^y = \frac{1}{5}$.
Представим $\frac{1}{5}$ как степень с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Получаем уравнение $5^y = 5^{-1}$, откуда $y=-1$.
Следовательно, $\log_5 \frac{1}{5} = -1$.

3. Найдем $\log_5 \sqrt{5}$.
Пусть $\log_5 \sqrt{5} = z$. Тогда по определению $5^z = \sqrt{5}$.
Представим $\sqrt{5}$ как степень с основанием 5: $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$.
Получаем уравнение $5^z = 5^{\frac{1}{2}}$, откуда $z=\frac{1}{2}$.
Следовательно, $\log_5 \sqrt{5} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $1; -1; \frac{1}{2}$.

2)

Дано: Числа $64; \frac{1}{8}; 128$ и основание логарифма $a = 2$.

Найти: $\log_2 64$, $\log_2 \frac{1}{8}$, $\log_2 128$.

Решение:

По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$ есть показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $\log_a b = x \iff a^x = b$.

1. Найдем $\log_2 64$.
Пусть $\log_2 64 = x$. Тогда по определению $2^x = 64$.
Представим 64 как степень с основанием 2: $64 = 2^6$.
Получаем уравнение $2^x = 2^6$, откуда $x=6$.
Следовательно, $\log_2 64 = 6$.

2. Найдем $\log_2 \frac{1}{8}$.
Пусть $\log_2 \frac{1}{8} = y$. Тогда по определению $2^y = \frac{1}{8}$.
Представим $\frac{1}{8}$ как степень с основанием 2: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$.
Получаем уравнение $2^y = 2^{-3}$, откуда $y=-3$.
Следовательно, $\log_2 \frac{1}{8} = -3$.

3. Найдем $\log_2 128$.
Пусть $\log_2 128 = z$. Тогда по определению $2^z = 128$.
Представим 128 как степень с основанием 2: $128 = 2^7$.
Получаем уравнение $2^z = 2^7$, откуда $z=7$.
Следовательно, $\log_2 128 = 7$.

Ответ: $6; -3; 7$.

3)

Дано: Числа $7; \frac{1}{7}; 49$ и основание логарифма $a = 7$.

Найти: $\log_7 7$, $\log_7 \frac{1}{7}$, $\log_7 49$.

Решение:

По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$ есть показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $\log_a b = x \iff a^x = b$.

1. Найдем $\log_7 7$.
Пусть $\log_7 7 = x$. Тогда по определению $7^x = 7$. Отсюда $x=1$.
Следовательно, $\log_7 7 = 1$.

2. Найдем $\log_7 \frac{1}{7}$.
Пусть $\log_7 \frac{1}{7} = y$. Тогда по определению $7^y = \frac{1}{7}$.
Представим $\frac{1}{7}$ как степень с основанием 7: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.
Получаем уравнение $7^y = 7^{-1}$, откуда $y=-1$.
Следовательно, $\log_7 \frac{1}{7} = -1$.

3. Найдем $\log_7 49$.
Пусть $\log_7 49 = z$. Тогда по определению $7^z = 49$.
Представим 49 как степень с основанием 7: $49 = 7^2$.
Получаем уравнение $7^z = 7^2$, откуда $z=2$.
Следовательно, $\log_7 49 = 2$.

Ответ: $1; -1; 2$.

4)

Дано: Числа $4; \frac{1}{16}; \frac{1}{64}$ и основание логарифма $a = 2$.

Найти: $\log_2 4$, $\log_2 \frac{1}{16}$, $\log_2 \frac{1}{64}$.

Решение:

По определению, логарифм числа $b$ по основанию $a$ есть показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $\log_a b = x \iff a^x = b$.

1. Найдем $\log_2 4$.
Пусть $\log_2 4 = x$. Тогда по определению $2^x = 4$.
Представим 4 как степень с основанием 2: $4 = 2^2$.
Получаем уравнение $2^x = 2^2$, откуда $x=2$.
Следовательно, $\log_2 4 = 2$.

2. Найдем $\log_2 \frac{1}{16}$.
Пусть $\log_2 \frac{1}{16} = y$. Тогда по определению $2^y = \frac{1}{16}$.
Представим $\frac{1}{16}$ как степень с основанием 2: $\frac{1}{16} = \frac{1}{2^4} = 2^{-4}$.
Получаем уравнение $2^y = 2^{-4}$, откуда $y=-4$.
Следовательно, $\log_2 \frac{1}{16} = -4$.

3. Найдем $\log_2 \frac{1}{64}$.
Пусть $\log_2 \frac{1}{64} = z$. Тогда по определению $2^z = \frac{1}{64}$.
Представим $\frac{1}{64}$ как степень с основанием 2: $\frac{1}{64} = \frac{1}{2^6} = 2^{-6}$.
Получаем уравнение $2^z = 2^{-6}$, откуда $z=-6$.
Следовательно, $\log_2 \frac{1}{64} = -6$.

Ответ: $2; -4; -6$.