Номер 180, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

180.1) $\frac{1}{\log_9 27}$;

2) $\frac{1}{\log_{16} 8}$;

3) $\log_2 128 \cdot \log_5 \frac{1}{125}$;

4) $\log_3 (\log_2 5 \cdot \log_5 8)$.

1) Решение:
Вычислим значение выражения $\frac{1}{\log_9 27}$.
Сначала упростим знаменатель. Представим основание 9 и число 27 как степени числа 3: $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.
Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, получаем:
$\log_9 27 = \log_{3^2} 3^3 = \frac{3}{2}\log_3 3 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.
Теперь подставим найденное значение обратно в исходное выражение:
$\frac{1}{\log_9 27} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.

2) Решение:
Вычислим значение выражения $\frac{1}{\log_{16} 8}$.
Сначала упростим знаменатель. Представим основание 16 и число 8 как степени числа 2: $16 = 2^4$ и $8 = 2^3$.
Используя свойство логарифма $\log_{a^k} b^m = \frac{m}{k}\log_a b$, получаем:
$\log_{16} 8 = \log_{2^4} 2^3 = \frac{3}{4}\log_2 2 = \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{4}$.
Теперь подставим найденное значение обратно в исходное выражение:
$\frac{1}{\log_{16} 8} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.
Ответ: $\frac{4}{3}$.

3) Решение:
Вычислим значение выражения $\log_2 128 \cdot \log_5 \frac{1}{125}$.
Вычислим каждый множитель отдельно.
Первый множитель: $\log_2 128$. Так как $128 = 2^7$, то $\log_2 128 = \log_2 2^7 = 7$.
Второй множитель: $\log_5 \frac{1}{125}$. Так как $\frac{1}{125} = 125^{-1} = (5^3)^{-1} = 5^{-3}$, то $\log_5 \frac{1}{125} = \log_5 5^{-3} = -3$.
Теперь перемножим полученные значения:
$7 \cdot (-3) = -21$.
Ответ: $-21$.

4) Решение:
Вычислим значение выражения $\log_3 (\log_2 5 \cdot \log_5 8)$.
Сначала упростим выражение в скобках: $\log_2 5 \cdot \log_5 8$.
Воспользуемся свойством логарифма $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$.
Применяя это свойство, получаем:
$\log_2 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8$.
Вычислим $\log_2 8$. Так как $8 = 2^3$, то $\log_2 8 = 3$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$\log_3 (3)$.
По определению логарифма, $\log_a a = 1$, поэтому $\log_3 3 = 1$.
Ответ: $1$.