Номер 184, страница 87 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

184. Напишите выражение через десятичный логарифм:

1) $N = 100 \sqrt{ab^3c}$;

2) $N = \frac{a^6}{0,1c^3\sqrt{6}};

3) $N = \sqrt[4]{10 a^3 b^4 c^{-\frac{1}{2}}};

4) $N = \frac{0,001 \cdot a^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{c} \cdot b^3};

5) $N = 10^4 a^5 \sqrt{b} c^{-4};

6) $N = \frac{c^{\frac{2}{3}}}{10^3 b^6 c^4};

7) $N = 10^{-4} \cdot a^3 b^3 c^{\frac{2}{3}};$

8) $N = \frac{c^{\frac{4}{7}}}{10^7 a^2 b^{\frac{3}{9}}}$.

1) Дано выражение $N = 100 \sqrt{ab^3} c$. Прологарифмируем обе части по основанию 10 (десятичный логарифм, lg): $lg N = lg(100 \sqrt{ab^3} c)$. Используем свойство логарифма произведения $lg(x \cdot y \cdot z) = lg(x) + lg(y) + lg(z)$: $lg N = lg(100) + lg(\sqrt{ab^3}) + lg(c)$. Так как $100 = 10^2$, $lg(100)=2$. Представим корень как степень $\frac{1}{2}$ и используем свойство логарифма степени $lg(x^p) = p \cdot lg(x)$: $lg N = 2 + lg((ab^3)^{1/2}) + lg(c)$ $lg N = 2 + \frac{1}{2} lg(ab^3) + lg(c)$. Снова применим свойство логарифма произведения: $lg N = 2 + \frac{1}{2} (lg(a) + lg(b^3)) + lg(c)$. Используем свойство логарифма степени для $lg(b^3)$: $lg N = 2 + \frac{1}{2} (lg(a) + 3lg(b)) + lg(c)$. Раскроем скобки: $lg N = 2 + \frac{1}{2}lg(a) + \frac{3}{2}lg(b) + lg(c)$.
Ответ: $lg N = 2 + \frac{1}{2}lg(a) + \frac{3}{2}lg(b) + lg(c)$.

2) Дано выражение $N = \frac{a^6}{0,1 c^3 \sqrt{6}}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg\left(\frac{a^6}{0,1 c^3 \sqrt{6}}\right)$. Используем свойство логарифма частного $lg(\frac{x}{y}) = lg(x) - lg(y)$: $lg N = lg(a^6) - lg(0,1 c^3 \sqrt{6})$. Применим свойство логарифма степени к первому слагаемому и свойство логарифма произведения ко второму: $lg N = 6lg(a) - (lg(0,1) + lg(c^3) + lg(\sqrt{6}))$. Так как $0,1 = 10^{-1}$, $lg(0,1)=-1$. Корень представим как степень $\frac{1}{2}$: $lg N = 6lg(a) - (-1 + 3lg(c) + lg(6^{1/2}))$. $lg N = 6lg(a) - (-1 + 3lg(c) + \frac{1}{2}lg(6))$. Раскроем скобки: $lg N = 6lg(a) + 1 - 3lg(c) - \frac{1}{2}lg(6)$.
Ответ: $lg N = 6lg(a) + 1 - 3lg(c) - \frac{1}{2}lg(6)$.

3) Дано выражение $N = \sqrt[4]{10 a^{1/3} b^4 c^{-1/2}}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg\left(\sqrt[4]{10 a^{1/3} b^4 c^{-1/2}}\right)$. Представим корень как степень $\frac{1}{4}$ и применим свойство логарифма степени: $lg N = \frac{1}{4} lg(10 a^{1/3} b^4 c^{-1/2})$. Используем свойство логарифма произведения: $lg N = \frac{1}{4} (lg(10) + lg(a^{1/3}) + lg(b^4) + lg(c^{-1/2}))$. Применим свойство логарифма степени к каждому слагаемому в скобках: $lg N = \frac{1}{4} \left(1 + \frac{1}{3}lg(a) + 4lg(b) - \frac{1}{2}lg(c)\right)$. Раскроем скобки: $lg N = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}lg(a) + lg(b) - \frac{1}{8}lg(c)$.
Ответ: $lg N = \frac{1}{4} + \frac{1}{12}lg(a) + lg(b) - \frac{1}{8}lg(c)$.

4) Дано выражение $N = \frac{0,001 \cdot a^{2/3}}{\sqrt{c \cdot b^3}}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg\left(\frac{0,001 \cdot a^{2/3}}{\sqrt{c \cdot b^3}}\right)$. Используем свойство логарифма частного: $lg N = lg(0,001 \cdot a^{2/3}) - lg(\sqrt{c \cdot b^3})$. Применим свойство логарифма произведения к первому слагаемому, а корень представим как степень $\frac{1}{2}$: $lg N = (lg(0,001) + lg(a^{2/3})) - lg((c b^3)^{1/2})$. Так как $0,001=10^{-3}$, $lg(0,001)=-3$. Применим свойство логарифма степени: $lg N = (-3 + \frac{2}{3}lg(a)) - \frac{1}{2}lg(c b^3)$. Применим свойство логарифма произведения к последнему члену: $lg N = -3 + \frac{2}{3}lg(a) - \frac{1}{2}(lg(c) + lg(b^3))$. $lg N = -3 + \frac{2}{3}lg(a) - \frac{1}{2}(lg(c) + 3lg(b))$. Раскроем скобки: $lg N = -3 + \frac{2}{3}lg(a) - \frac{1}{2}lg(c) - \frac{3}{2}lg(b)$.
Ответ: $lg N = -3 - \frac{3}{2}lg(b) - \frac{1}{2}lg(c) + \frac{2}{3}lg(a)$.

5) Дано выражение $N = 10^4 a^5 \sqrt{b} c^{-4}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg(10^4 a^5 \sqrt{b} c^{-4})$. Используем свойство логарифма произведения: $lg N = lg(10^4) + lg(a^5) + lg(\sqrt{b}) + lg(c^{-4})$. Представим корень как степень $\frac{1}{2}$ и применим свойство логарифма степени: $lg N = 4 + 5lg(a) + lg(b^{1/2}) - 4lg(c)$. $lg N = 4 + 5lg(a) + \frac{1}{2}lg(b) - 4lg(c)$.
Ответ: $lg N = 4 + 5lg(a) + \frac{1}{2}lg(b) - 4lg(c)$.

6) Дано выражение $N = \frac{c^{2/3}}{10^3 b^6 c^4}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg\left(\frac{c^{2/3}}{10^3 b^6 c^4}\right)$. Используем свойство логарифма частного: $lg N = lg(c^{2/3}) - lg(10^3 b^6 c^4)$. Применим свойство логарифма степени к первому слагаемому и свойство логарифма произведения ко второму: $lg N = \frac{2}{3}lg(c) - (lg(10^3) + lg(b^6) + lg(c^4))$. Применим свойство логарифма степени: $lg N = \frac{2}{3}lg(c) - (3 + 6lg(b) + 4lg(c))$. Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $lg(c)$: $lg N = \frac{2}{3}lg(c) - 3 - 6lg(b) - 4lg(c)$. $lg N = \left(\frac{2}{3} - 4\right)lg(c) - 3 - 6lg(b)$. $lg N = \left(\frac{2}{3} - \frac{12}{3}\right)lg(c) - 3 - 6lg(b)$. $lg N = -\frac{10}{3}lg(c) - 3 - 6lg(b)$.
Ответ: $lg N = -3 - 6lg(b) - \frac{10}{3}lg(c)$.

7) Дано выражение $N = 10^{-4} \cdot a^3 b^3 c^{2/3}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg(10^{-4} \cdot a^3 b^3 c^{2/3})$. Используем свойство логарифма произведения: $lg N = lg(10^{-4}) + lg(a^3) + lg(b^3) + lg(c^{2/3})$. Применим свойство логарифма степени: $lg N = -4 + 3lg(a) + 3lg(b) + \frac{2}{3}lg(c)$.
Ответ: $lg N = -4 + 3lg(a) + 3lg(b) + \frac{2}{3}lg(c)$.

8) Дано выражение $N = \frac{c^{4/7}}{10^7 a^{2/3} b^9}$. Прологарифмируем обе части: $lg N = lg\left(\frac{c^{4/7}}{10^7 a^{2/3} b^9}\right)$. Используем свойство логарифма частного: $lg N = lg(c^{4/7}) - lg(10^7 a^{2/3} b^9)$. Применим свойство логарифма степени к первому слагаемому и свойство логарифма произведения ко второму: $lg N = \frac{4}{7}lg(c) - (lg(10^7) + lg(a^{2/3}) + lg(b^9))$. Применим свойство логарифма степени: $lg N = \frac{4}{7}lg(c) - \left(7 + \frac{2}{3}lg(a) + 9lg(b)\right)$. Раскроем скобки: $lg N = \frac{4}{7}lg(c) - 7 - \frac{2}{3}lg(a) - 9lg(b)$.
Ответ: $lg N = -7 - \frac{2}{3}lg(a) - 9lg(b) + \frac{4}{7}lg(c)$.