Страница 79 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Шойынбеков

1. Как можно определить возрастание или убывание показательной функции?

2. Почему графики всех показательных функций проходят через точку $(0; 1)$? Ответ обоснуйте.

3. Почему функция $y = a^x$, $a > 0$, $a \ne 1$ ограничена снизу, но неограничена сверху (рассмотрите случаи $a > 1$ и $0 < a < 1)$?

1. Как можно определить возрастание или убывание показательной функции?

Монотонность (возрастание или убывание) показательной функции $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$) полностью определяется значением её основания $a$.
1. Если основание $a > 1$, то функция является возрастающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} < a^{x_2}$. То есть, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Например, для функции $y = 2^x$, если взять $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$, то $y_1 = 2^2 = 4$, а $y_2 = 2^3 = 8$. Поскольку $2 < 3$ и $4 < 8$, функция возрастает.
2. Если основание $0 < a < 1$, то функция является убывающей. Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $a^{x_1} > a^{x_2}$. То есть, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Например, для функции $y = (\frac{1}{2})^x$, если взять $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$, то $y_1 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$, а $y_2 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$. Поскольку $2 < 3$, но $\frac{1}{4} > \frac{1}{8}$, функция убывает.
Ответ: Возрастание или убывание показательной функции определяется ее основанием $a$: если $a > 1$, функция возрастает; если $0 < a < 1$, функция убывает.

2. Почему графики всех показательных функций проходят через точку (0; 1)? Ответ обоснуйте.

График любой функции проходит через некоторую точку, если координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции. Показательная функция имеет вид $y = a^x$, где $a > 0$ и $a \neq 1$. Рассмотрим точку с координатами $(0; 1)$.
Чтобы проверить, принадлежит ли эта точка графику, подставим её координаты в уравнение функции. Абсцисса точки $x = 0$, а ордината $y = 1$.
Подставляем $x = 0$ в формулу $y = a^x$:
$y = a^0$.
Согласно свойству степени, любое число (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице. Так как по определению показательной функции её основание $a$ строго положительно ($a > 0$), то $a^0 = 1$ для любого допустимого значения $a$.
Таким образом, при $x = 0$ значение функции $y$ всегда равно 1, независимо от основания $a$. Это означает, что точка $(0; 1)$ принадлежит графику любой показательной функции.
Ответ: График любой показательной функции $y = a^x$ проходит через точку $(0; 1)$, потому что при подстановке $x = 0$ в уравнение функции получается $y = a^0 = 1$, что справедливо для любого основания $a > 0, a \neq 1$.

3. Почему функция $y=a^x, a>0, a\neq1$ ограничена снизу, но неограничена сверху (рассмотрите случаи $a>1$ и $0

Функция $y = a^x$ (где $a > 0, a \neq 1$) ограничена снизу, потому что значение $a^x$ всегда положительно. Основание $a$ — положительное число, и возведение положительного числа в любую действительную степень всегда дает положительный результат. Таким образом, $y = a^x > 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Это означает, что все значения функции лежат выше оси абсцисс, и функция ограничена снизу, например, числом 0. Область значений функции — $(0; +\infty)$.
Чтобы доказать, что функция не ограничена сверху, рассмотрим два случая для основания $a$.
1. Случай $a > 1$. В этом случае показательная функция является возрастающей. При неограниченном увеличении аргумента $x$ (когда $x \to +\infty$), значение функции $a^x$ также неограниченно возрастает. Математически это записывается как $\lim_{x \to +\infty} a^x = +\infty$. Это означает, что для любого, сколь угодно большого числа $M$, можно найти такое значение $x$, что $a^x > M$. Следовательно, функция не ограничена сверху.
2. Случай $0 < a < 1$. В этом случае показательная функция является убывающей. Рассмотрим поведение функции при неограниченном уменьшении аргумента $x$ (когда $x \to -\infty$). Пусть $x = -t$, где $t \to +\infty$. Тогда $y = a^x = a^{-t} = (\frac{1}{a})^t$. Поскольку $0 < a < 1$, то основание новой степени $b = \frac{1}{a}$ будет больше единицы ($b > 1$). При $t \to +\infty$, значение $b^t$ неограниченно возрастает. Таким образом, $\lim_{x \to -\infty} a^x = +\infty$. Это означает, что и в этом случае для любого, сколь угодно большого числа $M$, можно найти такое значение $x$, что $a^x > M$. Следовательно, функция не ограничена сверху.
Ответ: Функция $y = a^x$ ограничена снизу числом 0, так как $a > 0$ и, следовательно, $a^x > 0$ для любого $x$. Она не ограничена сверху, потому что при $a > 1$ значения функции неограниченно растут при $x \to +\infty$, а при $0 < a < 1$ — при $x \to -\infty$.

Постройте графики функции $y = f(x)$ (150–151):

150. 1) $f(x) = 5^x;$

2) $f(x) = (1,5)^x;$

3) $f(x) = (0,85)^x;$

4) $f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^x.$

Решение

Все представленные функции являются показательными функциями вида $y = a^x$. Для построения их графиков необходимо проанализировать свойства каждой функции, составить таблицу значений, а затем нанести точки на координатную плоскость и соединить их плавной кривой.

Основные свойства показательной функции $y = a^x$ ($a > 0, a \neq 1$):

• Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(f) = (0; +\infty)$.
• График всегда проходит через точку $(0; 1)$, так как $a^0 = 1$.
• Если основание $a > 1$, функция является возрастающей.
• Если $0 < a < 1$, функция является убывающей.
• Ось $Ox$ является горизонтальной асимптотой графика.

1) $f(x) = 5^x$

Это показательная функция с основанием $a = 5$. Так как $a > 1$, функция возрастающая. График проходит через точку $(0; 1)$ и расположен в I и II координатных четвертях.Составим таблицу значений:

Построим график функции.

Ответ:

2) $f(x) = (1.5)^x$

Это показательная функция с основанием $a = 1.5$. Так как $a > 1$, функция возрастающая. График проходит через точку $(0; 1)$.

Составим таблицу значений:

Построим график функции.

Ответ:

3) $f(x) = (0.85)^x$

Это показательная функция с основанием $a = 0.85$. Так как $0 < a < 1$, функция убывающая. График проходит через точку $(0; 1)$.

Составим таблицу значений:

Построим график функции.

Ответ:

4) $f(x) = (\frac{2}{3})^x$

Это показательная функция с основанием $a = \frac{2}{3} \approx 0.67$. Так как $0 < a < 1$, функция убывающая. График проходит через точку $(0; 1)$.

Составим таблицу значений:

Построим график функции.

Ответ:

151.1) $f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x;$

2) $f(x) = \left(1\frac{1}{6}\right)^x;$

3) $f(x) = \left(\frac{81}{27}\right)^x;$

4) $f(x) = (135)^x.$

1) $f(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^x$

Решение

Данная функция является показательной функцией вида $f(x)=a^x$. Характер монотонности такой функции, то есть является ли она возрастающей или убывающей, определяется значением ее основания $a$.

Если основание $a > 1$, функция возрастает на всей области определения.

Если $0 < a < 1$, функция убывает на всей области определения.

В данном случае основание $a = \frac{1}{4}$. Так как выполняется условие $0 < \frac{1}{4} < 1$, функция является убывающей.

Ответ: функция убывающая.

2) $f(x) = \left(1\frac{1}{6}\right)^x$

Решение

Определим основание $a$. Для этого преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $a = 1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$.

Так как $a = \frac{7}{6} > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: функция возрастающая.

3) $f(x) = \left(\frac{81}{27}\right)^x$

Решение

Определим основание $a$. Для этого упростим дробь: $a = \frac{81}{27} = 3$.

Так как $a = 3 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: функция возрастающая.

4) $f(x) = (135)^x$

Решение

Основание данной функции $a = 135$.

Так как $a = 135 > 1$, функция является возрастающей.

Ответ: функция возрастающая.

152. Перечислите свойства функции по ее графику (рис. 29).

1 $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x - 2$

2 $y = 4^{x-1} - 1$

Рис. 29

1)

Проанализируем график функции $y = (\frac{1}{2})^x - 2$ и перечислим ее свойства.
- Область определения: график функции простирается неограниченно влево и вправо, поэтому функция определена для всех действительных значений $x$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: график функции полностью лежит выше пунктирной линии $y=-2$ (горизонтальной асимптоты). Значения функции строго больше -2. Таким образом, $E(y) = (-2; +\infty)$.
- Нули функции: график пересекает ось абсцисс (Ox) в точке, где $x=-1$. Это нуль функции.
- Промежутки знакопостоянства: график находится выше оси Ox (т.е. $y>0$) для всех $x$ левее точки пересечения, и ниже оси Ox (т.е. $y<0$) для всех $x$ правее. Таким образом, $y>0$ при $x \in (-\infty; -1)$, и $y<0$ при $x \in (-1; +\infty)$.
- Монотонность: при увеличении $x$ (движении по графику слева направо), значение $y$ постоянно уменьшается. Следовательно, функция является убывающей на всей своей области определения.
- Точки пересечения с осями координат: из графика видно, что пересечение с осью Ox происходит в точке $(-1; 0)$, а с осью Oy — в точке $(0; -1)$.
- Асимптоты: при $x \to +\infty$ график неограниченно приближается к горизонтальной прямой $y=-2$. Эта прямая является горизонтальной асимптотой.
- Четность и нечетность: график не является симметричным ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат, следовательно, это функция общего вида.
Ответ: Свойства функции $y = (\frac{1}{2})^x - 2$:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-2; +\infty)$.
3. Функция убывающая на всей области определения.
4. Нуль функции: $x=-1$.
5. $y > 0$ при $x \in (-\infty; -1)$; $y < 0$ при $x \in (-1; +\infty)$.
6. Пересечение с осями: с осью Ox в точке $(-1; 0)$, с осью Oy в точке $(0; -1)$.
7. Горизонтальная асимптота: $y=-2$.
8. Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

2)

Проанализируем график функции $y = 4^{x-1} - 1$ и перечислим ее свойства.
- Область определения: функция определена для всех действительных значений $x$. Таким образом, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
- Область значений: график функции полностью лежит выше пунктирной линии $y=-1$. Значения функции строго больше -1. Таким образом, $E(y) = (-1; +\infty)$.
- Нули функции: график пересекает ось абсцисс (Ox) в точке, где $x=1$. Это нуль функции.
- Промежутки знакопостоянства: график находится ниже оси Ox ($y<0$) при $x < 1$, и выше оси Ox ($y>0$) при $x > 1$. Таким образом, $y<0$ на $(-\infty; 1)$, $y>0$ на $(1; +\infty)$.
- Монотонность: при увеличении $x$ (движении по графику слева направо), значение $y$ постоянно увеличивается. Следовательно, функция является возрастающей на всей своей области определения.
- Точки пересечения с осями координат: с осью Ox пересечение в точке $(1; 0)$. Для нахождения пересечения с Oy подставим $x=0$: $y=4^{0-1}-1 = 4^{-1}-1 = \frac{1}{4}-1 = -0.75$. Точка пересечения с Oy: $(0; -0.75)$.
- Асимптоты: при $x \to -\infty$ график неограниченно приближается к горизонтальной прямой $y=-1$. Эта прямая является горизонтальной асимптотой.
- Четность и нечетность: график не симметричен ни относительно оси Oy, ни относительно начала координат, следовательно, это функция общего вида.
Ответ: Свойства функции $y = 4^{x-1} - 1$:
1. Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(y) = (-1; +\infty)$.
3. Функция возрастающая на всей области определения.
4. Нуль функции: $x=1$.
5. $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$; $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$.
6. Пересечение с осями: с осью Ox в точке $(1; 0)$, с осью Oy в точке $(0; -0.75)$.
7. Горизонтальная асимптота: $y=-1$.
8. Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной).

153. Найдите множество значений функции $y=f(x)$:

1) $f(x) = 0,24^x + 3$;

2) $f(x) = \left(\frac{3}{4}\right)^x - 2$;

3) $f(x) = -7^x + 1$;

4) $f(x) = 36^x - 4$.

1) f(x) = 0,24^x + 3;
Чтобы найти множество значений функции, проанализируем её структуру. Она состоит из показательной части $0,24^x$ и константы +3.
Множество значений для любой показательной функции вида $y=a^x$ (где $a>0$ и $a \neq 1$) есть интервал $(0; +\infty)$. В нашем случае, основание $a=0,24$.
Следовательно, $0,24^x > 0$ для любого действительного $x$.
Прибавление константы +3 к функции сдвигает её график на 3 единицы вверх. Таким образом, мы прибавляем 3 к обеим частям неравенства:
$0,24^x + 3 > 0 + 3$
$f(x) > 3$
Множество значений функции - это все числа, строго большие 3.
Ответ: $E(f) = (3; +\infty)$.

2) f(x) = (\frac{3}{4})^x - 2;
Данная функция является показательной функцией $(\frac{3}{4})^x$, смещенной по вертикали.
Множество значений показательной функции $g(x) = (\frac{3}{4})^x$ (основание $a = \frac{3}{4}$ удовлетворяет $0 < a < 1$) — это интервал $(0; +\infty)$.
Таким образом, $(\frac{3}{4})^x > 0$ для всех $x \in R$.
Вычитание константы 2 из функции соответствует сдвигу её графика на 2 единицы вниз. Вычтем 2 из обеих частей неравенства:
$(\frac{3}{4})^x - 2 > 0 - 2$
$f(x) > -2$
Следовательно, множество значений функции — это все числа, строго большие -2.
Ответ: $E(f) = (-2; +\infty)$.

3) f(x) = -7^x + 1;
Рассмотрим сначала функцию $g(x) = 7^x$. Её множество значений — $(0; +\infty)$, так как $7^x > 0$ для любого $x$.
Функция $h(x) = -7^x$ получается из $g(x)$ путем отражения относительно оси абсцисс. Это означает, что все значения становятся отрицательными.
Умножая неравенство $7^x > 0$ на -1, получаем: $-7^x < 0$. Множество значений $h(x)$ — это $(-\infty; 0)$.
Функция $f(x) = -7^x + 1$ получается из $h(x)$ сдвигом на 1 единицу вверх. Прибавим 1 к обеим частям неравенства:
$-7^x + 1 < 0 + 1$
$f(x) < 1$
Таким образом, множество значений функции — это все числа, строго меньшие 1.
Ответ: $E(f) = (-\infty; 1)$.

4) f(x) = 36^x - 4.
Эта функция является показательной функцией $36^x$, смещенной по вертикали.
Множество значений показательной функции $g(x) = 36^x$ (основание $a = 36 > 1$) — это интервал $(0; +\infty)$.
Следовательно, $36^x > 0$ для всех действительных $x$.
Вычитание константы 4 из функции соответствует сдвигу её графика на 4 единицы вниз. Вычтем 4 из обеих частей неравенства:
$36^x - 4 > 0 - 4$
$f(x) > -4$
Следовательно, множество значений функции — это все числа, строго большие -4.
Ответ: $E(f) = (-4; +\infty)$.

154. Сравните числа:

1) $1,8^3$ и $2^3$;

2) $0,8^2$ и $0,54$;

3) $0,5^3$ и $0,5^7$;

4) $3,2^{1,6}$ и $3,2^{1,7}$;

5) $0,2^{\sqrt{2}}$ и $0,2^{1,4}$;

6) $3^\pi$ и $3^{3,149}$.

1) Сравнить числа $1,8^3$ и $2^3$.

Решение:

Для сравнения двух степеней с одинаковыми положительными показателями, нужно сравнить их основания. Рассмотрим степенную функцию $y = x^3$. Эта функция является возрастающей на всей числовой оси, так как для любых $x_1 < x_2$ выполняется $x_1^3 < x_2^3$.

Сравним основания степеней: $1,8$ и $2$.

Очевидно, что $1,8 < 2$.

Поскольку функция $y=x^3$ возрастающая, то из неравенства $1,8 < 2$ следует, что $1,8^3 < 2^3$.

Ответ: $1,8^3 < 2^3$.

2) Сравнить числа $0,82^2$ и $0,54$.

Решение:

Для сравнения этих чисел, вычислим значение $0,82^2$.

$0,82^2 = 0,82 \times 0,82 = 0,6724$.

Теперь сравним полученное число с $0,54$.

$0,6724 > 0,54$.

Следовательно, $0,82^2 > 0,54$.

Ответ: $0,82^2 > 0,54$.

3) Сравнить числа $0,5^3$ и $0,5^7$.

Решение:

Для сравнения двух степеней с одинаковым основанием, нужно рассмотреть свойства показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание $a = 0,5$. Так как $0 < 0,5 < 1$, показательная функция $y = 0,5^x$ является убывающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует меньшее значение функции.

Сравним показатели степеней: $3$ и $7$.

$3 < 7$.

Поскольку функция убывающая, то из неравенства $3 < 7$ следует, что $0,5^3 > 0,5^7$.

Ответ: $0,5^3 > 0,5^7$.

4) Сравнить числа $3,21^{1,6}$ и $3,21^{1,7}$.

Решение:

Для сравнения двух степеней с одинаковым основанием, рассмотрим свойства показательной функции $y = a^x$.

В данном случае основание $a = 3,21$. Так как $3,21 > 1$, показательная функция $y = 3,21^x$ является возрастающей. Это означает, что большему значению показателя степени соответствует большее значение функции.

Сравним показатели степеней: $1,6$ и $1,7$.

$1,6 < 1,7$.

Поскольку функция возрастающая, то из неравенства $1,6 < 1,7$ следует, что $3,21^{1,6} < 3,21^{1,7}$.

Ответ: $3,21^{1,6} < 3,21^{1,7}$.

5) Сравнить числа $0,2^{\sqrt{2}}$ и $0,2^{1,4}$.

Решение:

Рассмотрим показательную функцию $y = 0,2^x$. Основание $a = 0,2$, и так как $0 < 0,2 < 1$, функция является убывающей.

Теперь сравним показатели степеней: $\sqrt{2}$ и $1,4$.

Мы знаем, что $\sqrt{2} \approx 1,414...$

Следовательно, $\sqrt{2} > 1,4$.

Другой способ сравнить - возвести оба числа в квадрат: $(\sqrt{2})^2 = 2$ и $1,4^2 = 1,96$. Так как $2 > 1,96$, то и $\sqrt{2} > 1,4$.

Поскольку функция $y = 0,2^x$ убывающая, то большему показателю степени соответствует меньшее значение функции. Из $\sqrt{2} > 1,4$ следует, что $0,2^{\sqrt{2}} < 0,2^{1,4}$.

Ответ: $0,2^{\sqrt{2}} < 0,2^{1,4}$.

6) Сравнить числа $3^{\pi}$ и $3^{3,149}$.

Решение:

Рассмотрим показательную функцию $y = 3^x$. Основание $a = 3$, и так как $3 > 1$, функция является возрастающей.

Теперь сравним показатели степеней: $\pi$ и $3,149$.

Число $\pi$ (пи) — это иррациональное число, его значение приблизительно равно $3,14159...$

Сравнивая десятичные представления, получаем:

$\pi \approx 3,14159...$

$3,149 = 3,14900...$

Так как в третьем знаке после запятой $1 < 9$, то $\pi < 3,149$.

Поскольку функция $y = 3^x$ возрастающая, то большему показателю степени соответствует большее значение функции. Из $\pi < 3,149$ следует, что $3^{\pi} < 3^{3,149}$.

Ответ: $3^{\pi} < 3^{3,149}$.